Vignetti taloustieteestä ja argumentaatiosta

Taloustiede, englanniksi Economics on sosiaalitiede, joka tutkii käyttäytymistä, lähinnä taloudellisten toimijoiden kohtaamien erilaisten kannustinvaikutusten näkökulmasta. Taloustiede leikkaa todella monta muuta sosiaalitiedettä ja sitä pidetään monin tavoin yhtenä "kovimmista" sosiaalitieteista siinä mielessä, että taloudelliset tunnusluvut ovat ns. kovaa dataa.

Taloustieteellä on myös perinteisesti hyvin vahva poliittinen ja yhteiskuntafilosofinen ulottuvuus, ja taloustieteen eri koulukunnat ovatkin pääsääntöisesti muodostuneet pikemminkin poliittisten näkemysten ympärille (ja toisin päin) kuin minkään partikulaarisen teorian tai tutkimuksellisen tai metodologisen lähtökohdan mukaisesti. Taloustiedettä myös usein kritisoidaan siitä, että se on politisoitunutta ja että taloustieteilijöiden näkemykset itsessään juurtuvat lähinnä poliittiseen maailmankuvaan. Tämän seurauksena usein ajatellaan, että taloustieteelliset näkemykset ovat lähinnä poliittisia mielipiteitä joiden profiilia on vain yritetty nostaa akateemisilla viittauksilla.

Tämä kritiikki on joiltain osin toki perusteltua (joskin palaan tähän myöhemmin), ja kritiikki heijastelee luonteeltaan osin muihin sosiaalitieteisiin ja ennenkaikkea ns. grievance-studies- aloihin viimeaikoina kohdistunutta arvostelua siitä, että näissä kyse ei ole lainkaan tutkimuksellisuudesta vaan pikemminkin vain puhtaasti yrityksestä politisoida akateemista maailmaa. Olisi kuitenkin virhe kuvitella että taloustiede toimisi samaan tapaan politisoiduista lähtökohdista kuin vaikkapa naistutkimus tai vastaavat täysin eksplisiittisesti poliittiset oppiaineet.

Olen itse opiskellut aikanaan taloustiedettä aineopintojen verran -- lopetin opinnot tavoitellaksani toista sittemmin jossain määrin tyssännyttä akateemista uraani tietojenkäsittelijänä. Metodologisesti taloustiede on kuten mikä hyvänsä muukin sellainen tiede joka pyrkii abstrahoimaan hyvin kompleksisesta ilmiöstä yksinkertaisen mallin joka vastaa johonkin hyvin rajalliseen kysymykseen. Keskeistä taloustieteessä on mallin käsite. Malli esittää eksplisiittisesti joukon oletuksia, ja näiden oletusten kokonaisuus esitetään yleensä matemaattisesti esimerkiksi joukkona yhtälöitä. Mallin validiteettia tutkitaan sitten useammalla eri tavalla. Kuten Popperilaisessa tieteenfilofiassa yleensäkin, malli tulisi voida osoittaa vääräksi empiirisesti.

Tässä joudumme kuitenkin mielenkiintoisen kysymyksen eteen; jos me esitämme mallin ennusteen, ja ennuste ei vastaa todellisuutta, miten tunnistamme syyn tähän? Vääräkin malli kertoo meille jotain ollessaan väärä, nimittäin jos malli on mielekkäällä tavalla operationalisoitu ja kykenemme toteamaan että sen ennuste on väärä, meidän tulisi voida jäljittää ne oletukset jotka mallia rakennettaessa on tehty, ja jotka osoittautuvat empiirisessä tarkastelussa vääriksi.

Käytän yhteiskunnallisia asioita tarkastellessani usein taloustieteen käsitteistöä ja oletuksia, yhtäältä koska ne ovat minulle tuttuja, ja toisaalta koska niiden kautta pääsemme helposti käsiksi niihin oletuksiin joita tulee tehtyä. Olen opiskellut aikanaan myös esimerkiksi sosiologiaa, ja vaikka se on mielenkiintoinen ala joka kykenee tarjomaan loputtomasti erilaisia näkökulmia yhteiskuntaan, ei sen käsitteistön kautta pysty tällaiseen analyysiin lainkaan yhtä suoraviivaisesti.

Paralleelina voimme ottaa uskonnollisen maailmankuvan niiltä osin kun se on ristiriidassa jonkin aikalaistieteen yleisesti hyväksytyn teorian kanssa. Otetaan esimerkkinä vaikkapa luonnonvalinnan teoria selityksenä sille, miten eliöt ovat kehittyneet yhteisistä kantamuodoista. Tämä teoria on varsin monipolvinen ja sisältää paljon empiiristä evidenssiä; en mene tässä nyt rakentamaan tätä kiistaa ja sen kaikkia rakennuspalikoita. Me joko hyväksymme teorian oletukset ja sen millä kriteereillä teorian validiteettia voidaan koetella, tai sitten emme hyväksy. Ongelmalliseksi muodostuu usein kritiikki, joka perustuu epävarmuuden hyväksymiseen. Esimerkiksi emme voi kovin suurella varmuudella sanoa erilaisten fossiilimuotojen sukulaisuussuhteista, sillä yksittäinen vanhempi fossiili voi olla vaikkapa sellaisen haaran edustaja josta kaikki polveutuneet lajit ovat kuolleet ennen kuin nuorempi, sukulaiselta näyttävä fossiili on syntynyt.

"Tiede on ennenkin ollut väärässä" tai "teette oletuksia jotka voivat olla vääriä" eivät ole argumentteja, vaikka ne sellaisina esitetäänkin. Näiden esittäjä janoaa varmuutta ja suojelee samalla jotakin uskomustaan jonka uskoo olevan uhattuna jos tämä hyväksyisi teorian olevan edes PAC (Probably Approximately Correct).

Hieman samaan tapaan muiden, hatarammalla pohjalla olevien sosiaalitieteiden kautta maailmaa hahmottava henkilö saattaa kieltäytyä hyväksymästä taloustieteen piirissä esitetyn teorian PAC-luonnetta edes rajallisessa empiirisesti koetellussa kontekstissa perustelunaan se että "mitä tahansa voidaan olettaa poliittisista lähtökohdista". Nämäkään eivät ole oikeastaan argumentteja, vaan blanket-väittämiä joiden tarkoitus on suojella omaa mielipidettä kritiikiltä, pikemminkin kuin tarjota jotakin mielekästä kritiikkiä esitettyyn argumenttiin.

Siksi vertailu, jonka yllä mainitsin, ns. grievance-alojen ja taloustieteen välillä ei ole täysin reilu. Grievance-aloilla oletukset pyritään muotoilemaan niin, että ne ovat yhtäältä mahdollisimman poliittiset ja toisaalta ripoteltu argumentaation sekaan niin, että oma positio saadaan näyttämään mahdollisimman "oikealta". Taloustieteessä -- jos puhutaan oikeasti tieteellisestä tekstistä eikä vain yrityksistä vääntää sellaista oman poliittisen mielipiteen keppihevoseksi -- nämä oletukset ovat eksplisiittiset ja ne pyritään muotoilemaan siten että ne ovat mahdollisimman totuuudenmukaisia ja silloinkin kun ne ovat "poliittisia", ne täytyy voida esittää mallissa siten, että jos ne ovat virheellisiä tämä jotenkin ilmenee. 

Olen itse käyttänyt taloustieteen piiristä tuotua tehokkuuden käsitettä yhteiskuntafilosofisessa tarkastelussa. Tärkein sovellus sille on ollut erilaisten poliittisten toimenpide-ehdotusten analyysi. Niin kutsuttu Kaldor-Hicks- tehokkuuskriteeri sanoo, että siirtyminen tilasta A tilaan B on tehokas jos kokonaishyvinvointi kasvaa. Tämä tarkoittaa sitä, että jos siirtymä hyödyttää tahoja X ja haittaa tahoja Y, niin tahon X siirtymästä saama hyöty on niin suuri, että he voisivat (teoriassa) siirtää osan tästä hyödystä tahoilla Y siten, että kaikkien hyvinvointi kasvaisi siirtymän myötä.

Tästä metriikasta voidaan tietenkin sanoa että se on (tällaisena) huonosti määritelty ja niin se onkin. Me emme kykene tosiasiallisesti määrällistämään mittaamaan eri tahojen kokemia hyötyjä ja haittoja luotettavasti. Me voimme kuitenkin mitata suurta osaa ja merkittäviä komponentteja useimpien tilanteiden koskettamien tahojen hyvinvoinnista.  Ajan- ja rahankäyttö, erilaisten hyödykkeiden markkinahinnat, kysynnän ja tuotannon muutokset, jne voidaan useimmiten määrällistää ja havaita.

Jos esimerkiksi joudumme keskusteluun työmarkkinoiden toiminnasta -- tämä oli annettu esimerkkinä eräässä kommentissa joka inspiroi minua kirjoittamaan tämän kirjoituksen -- saatamme joutua tilanteeseen jossa teoriamme työn kysynnästä ja tarjonnasta tulee kyseenalaistettua. Argumentti jonka mukaan "teoria ei pysty vastaamaan todellisuutta" on ns. blanket-argumentti, joka tulisi aina kyetä palauttamaan johonkin tiettyihin oletuksiin joiden esittäjä uskoo olevan todellisuuden vastaisia.

Esimerkkinä voisi olla työmarkkinatilannetta koskeva keskustelu, jossa pohditaan missä määrin kannustinvaikutukset muuttavat työmarkkinoiden tasapainotilannetta. Jollakin keskustelun osapuolella saattaa olla liian karkea teoria työmarkkinoista, eli että esimerkiksi "koska korkeat palkat vähentävät työn kysyntää, tulisi kaikkia palkkoja laskea ja näin työllisyys paranisi". Tähän joku saattaisi vastata esimerkiksi että "meillä on samanaikaisesti avoimia työpaikkoja ja työttömyyttä, joten meillä ei selvästikään ole yhtä ainoaa työmarkkinaa, vaan tietynlaiselle työlle on enemmän kysyntää kuin muille"

Kaikissa mahdollisissa ehdotuksissa sille, miten työmarkkinoiden toimintaa tulisi tehostaa, on aina joku taho, joka hyötyy ja joku joka joko ei hyödy tai kokee peräti haittaa. Se, miten päädymme analysoimaan sen, kuka hyötyjä ja haittoja kokee tai kuinka paljon, riippuu analysoinnissamme käyttämästämme mallista, ja malli puolestaa sisältää ne oletukset jotka teemme. Ja on huomionarvoista että kuten aina tämäntyyppisessä analyysissä ja sen operationaalisessa tarkastelussa, tällöin aina oletukset ovat yksinkertaistuksia ja niitä on mahdollista kritisoida.

Kritiikki on kuitenkin usein ymmärretty väärin. Pelkästään se, että joku voi a priori esittää että oletus on kyseenalainen, ei tarkoita ensinnäkään että malli on väärä. Mallin oikeellisuus ei ole selvitettävissä ilman empiiristä analyysiä. Valitettavasti (onneksi?) taloustieteiljöitä ei yleensä päästetä tekemään kontrolloituja kokeita joilla voitaisiin validoida vaihtoehtoisia malleja. Eikä ole olemassa placebo-rahaa tai placebo-työehtosopimuksia joiden avulla voimme tutkittavien tietämättä tarkastella toimenpiteiden vaikutuksia näiden käyttäytymiseen.

Mallin oletukset voidaan kuitenkin validoida jo olemassaolevasta datasta. Tässä kirjoituksessa ei ole tarpeeksi tilaa käsitellä kaikkia näitä tapoja, eikä sitä miten voimme tehdä rajoitetusti jopa kausaalista päättelyä olemassaolevata datasta. Näin kuitenkin tulisi aina tehdä ennen kuin toden teolla pohditaan voiko jonkin mallin ennusteisiin luottaa ja siten niiden pohjalta tehdä päätöksiä.

Jos kuitenkin saavutamme kohtuullisen luottamuksen oletuksiin, niin mihin kutakin toimenpidettä tulisi verrata? Tyypillisesti ihmiset vertaavat olemassaolevaa tilannetta ja ehdotetun poliittisen tms päätöksen jälkeistä tilannetta. Tämä on luontevaa silloin jos pöydällä on yksittäinen ehdotus.

Olen itse kuitenkin ehdottanut ns. libertaaria benchmarkia. En tunnustaudu libertaariksi itse, mutta olen silti sitä mieltä että jokaista poliittista toimenpidettä tulisi verrata, ei niinkään nykyiseen tilanteeseen, vaan siihen, että jonkin päätöksen sijaan puretaan siinä tilanteessa relevantit valtion tai muun julkisen vallan asiaa koskevat säännöt, rajoitukset, tai panostukset. Tämä tulisi olla kaikessa politiikassa alin taso johon vertaamme, ja johon ennen kaikkea palaamme silloin, kun emme kykene uskottavasti perustelemaan uutta tai nykyistä tilannetta tehokkaammaksi kuin tämä benchmark- politiikka on.

Esimerkkinä voidaan ottaa jälleen yllä mainittu työmarkkinan sääntely. Jos kiistaa on siitä, toteutetaanko toimenpide A vai ei, niin nykytilanteen ei pitäisi olla ainoa pöydällä oleva politiikka. Toimenpiteen A lopputulemaa pitäisi verrata paitsi nykyiseen, myös liberaariin benchmarkiin, hieman samaan tapaan kuin vertaamme lääkettä placeboon tai johonkin olemassaolevaan lääkkeeseen.

Entä sitten yllä mainitu haitat tai hyödyt joita emme välttämättä kykene suoraan määrällistämään? Tämä on asia, jossa mielestäni tulisikin huomioida mahdollisimman laaja näkökohta. On jotenkin jopa vähän traagista että moni selvästi ympäristöstä huolissaan oleva henkilö sanoo ettei puhtaalle ilmalle tai luonnon monimuotoisuudelle voi asettaa hintaa. Mielestäni sille nimenomaan pitäisi asettaa hinta; tuo hinta on hyvin korkea, ja tästä meidän toki tulisi olla kaikkien yhtä mieltä -- en mene tämän perusteluihin nyt sen kummemmin. Sillä vain jos me todella tekemässämme analyysissä huomioimme sen, että tämän tyyppiset asiat todella ovat erittäin arvokkaita, kykenemme lopulta puolustamaan näitä arvokkaita asioita.

Kuulen jo vastalauseet tälle. Tässä on kieltämättä iso kuilu oman, melko teknokraattisen, ajatteluni ja "tunnepuheen" tai ehdottomuuksien sävyttämän "arvopuheen" välillä.  Minulla ei ole vastausta siihen, miten tämä kuilu ylitetään. Olen yrittänyt tehdä niin lukemalla tekstejä kuilun molemmin puolin. Nerokkaimmat ajattelijat, kuten vaikkapa Robin Hanson tai Tyler Cowen, ovat onnistuneet tuomaan monia näkökulmia minun ajatteluuni, mutten ole vielä oikein päässyt sellaiseen anlyysiin kertaakaan käsiksi joka pystyisi esittämään uskottavassa valossa sellaisten tahojen näkemykset jotka toistuvasti vetoavat toisaalla talousnäkökulman kategoriseen virheellisyyteen tai mielivaltaisuuteen.

Eli, vaikka inspiraatio tähän kirjoitukseen tuli hyvin mielenkiintoisen kommentissa esitetyn kysymyksen kautta, huomaan etten kykene siihen tyhjentävästi vastaamaan.

Invariantti

Olen kirjoittanut aiemminkin invarianteista. Olen tutkinut jonkin verran ns. Craig:in interpolantteja ja niiden induktiivisia invariantteja, ja yksi julkaisuni käsittelee induktiivisten interpolanttien löytämistä.

Olen tehnyt jonkin verran käytännön ohjelmointityötä (sellaista josta joku muu jopa maksaa). Muutoin kokemukseni rajoittuu pitkälti akateemisiin ympyröihin ja melko simppeleihin pikkunäppäriin koodinpätkiin. Käytännön työssä havaitsin hyvin nopeasti hyödylliseksi ajattelutavan, jonka opin Ralph-Johan Backin luennolla.  Tästä on aikaa liki 15 vuotta, joten en muista tilannetta tarkkaan; Olin Turussa konferenssissa jossa yksi workshop käsitteli ohjelmoinnin opettamista. Back kertoi heidän kokeilleen sellaista pedagogista tyyliä, jossa opiskelijoiden kehotettiin aina ennen minkäänlaisen silmukkarakenteen kirjoittamista ensin miettimään kyseisen silmukan silmukkainvariantin.

Ihmisen ajattelu on luonteeltaan abstraktia ja usein rekursiivista. Rekursiivisuus on kuitenkin yleensä tiedostamatonta, ja sen nouseminen tietoisuuteen synnyttää usein kokemattomalla ihmisellä hämmenystä. Merkittävä osa huumorista perustuu itse asiassa rekursiivisuuteen, ja rekursiovitsit ovat nörttivitsien aatelia. Klassinen vitsi on, että kun kysytään "Mikä on rekursiivinen määritelmä?", niin vastaus on "Perustapaus, jota seuraa rekursiivinen määritelmä".

Ihmisillä on voimakas tarve operationalisoida rekursio iteraatioksi, prosessilla jota kutsun usein aukikelaamiseksi. Esimerkiksi jos joku kysyy miten löydämme polun paikasta A paikkaan B, niin voimme vastata "Jos A = B, ollaan jo perillä. Muutoin otetaan A:sta yksi askel kohti B:tä, ja etsitään tästä uudesta paikasta polku B:hen". Tämä on rekursiivinen määritelmä, mutta se ei tietenkään aina toimi, koska termi "Kohti B:tä" on epämääräinen. Jos me kelaamme tämän implisiittisen prosessin auki, niin usein teemme sen niin, että samalla esimerkiksi kiellämme käymästä samassa paikassa kahdesti.

Jos lähdemme oletuksesta että polku aina löytyy, niin tässä aukikelauksessa voidaan ilmaista invariantti  joka sanoo, että missä ikinä olemmekin, sieltä pääsee paikkaan B. Jotta se tapa jolla toteutamme tämän iteraation olisi oikea, sen täytyy säilyttää tämä invariantti. Näinollen, jos kiellämme esimerkiksi käymästä samassa paikassa kahdesti, voi invariantti helposti mennä rikki: Kuvitellaan että meillä on polku A-->C --> D ---> B, ja sen lisäksi polku C --> E ja E--> C. Jos me lähdemme C:stä tä E:hen, emmekä saa palata C:hen, on invariantti efektiivisesti rikki kun olemme E:ssä.

Tätä ongelmaa ei korjaa esimerkiksi se, että tarkennamme "askel kohti B:tä" siten, että sanomme että pisteen johon siirrymme pitää olla "lähempänä" B;tä. Jos esimerkiksi piste E esimerkissämme on aivan B:n vieressä, mutta näiden välillä vain on ylipääsemätön este, emme tiedä tätä ennen kuin tulemme pisteeseen E ja huomaamme että olisi palattava pisteeseen C, mikä puolestaan on kiellettyä.

Olen jumissa työssäni seuraavanlaisen ongelman kanssa. Meillä on graafi -- sivuutan ison läjän itse ongelman kannalta merkityksettömiä yksityiskohtia -- jossa on solmuja ja kaaria. Kaarilla on jonkinlainen pituus ja jokainen kaari yhdistää kaksi solmua, sillä on siis alku- ja loppupää. Teemme graafille kontraktiohierarkian. Tämä tarkoittaa että "poistamme" solmuja iteratiivisesti ja aina poistaessamme lisäämme oikopolun kahden sen naapurin välille, jos näiden välinen lyhin polku (jäljellä olevassa graafissa) kulki poistetun solmun kautta.

Invariantti tässä prosessissa on, että vielä poistamattomien solmujen väliset lyhimmät polut ovat saman pituisia kuin alkuperäisessä graafissa. Tämän invariantin voimassaolo on helppo todeta: Jos invariantti on voimassa ja poistamme solmun x, niin jokainen lyhin polku kahden solmun a ja b välillä joka ei kulkenut x:n kautta, säilyy sellaisenaan. Jos taas se kulki x:n kautta, niin se kulki ensin johonkin solmuun u, sieltä x:ään ja sieltä v:hen, missä u ja v jäävät graafiin. Jos u:n ja v:n välinen lyhin reitti kulkee u->x->v, niin jokainen polku joka kulkee siten että se käy ensin u:ssa ja sitten v:ssä, voidaan tehdä lyhyemmäksi vaihtamalla osareittu u:sta v:hen reitiksi u->x->v. Tässä tilanteessa lisäämme oikopolun u-->v, ja tämä reitti on yhtä pitkä kuin ennenkin. Toisaalta jos lyhin reitti ei kulje x:n kautta, niin x:n poistaminen ei vaikuta mitenkään.

Solmut muodostavat poistamisjärjestyksensä mukaisen hierarkian. Solmu, joka poistetaan aiemmin, on hierarkiassa alempana, ja myöhemmin poistettu solmu ylempänä. Kun estimme kahden solmun välistä lyhintä polkua, etsimme  ns konkaavin polun. Tämä polku on sellainen, että sen alkuosa kulkee lähtösolmusta aina hierarkiassa ylöspäin, ja kun se saavuttaa polun "korkeimman" solmun, se tämän jälkeen kulkee aina alaspäin kunnes se saavuttaa maalisolmun.

Voimme todistaa että tällainen polku on olemassa ja se vastaa alkuperäisen graafin lyhintä polkua: olkoon lähtösolmu u ja maalisolmu v. Näiden välillä on alkuperäisessa graafissa jokin lyhin polku v1, v2, ... , vn, missä v1 = u ja vn =v. Olkoon vk näistä se, joka on hierarkiassa korkeimmalla. Voimme osoittaa, että meillä on oikopolkuja hierarkiassa ylöspäin kulkeva polku u:sta vk:hon (ja samalla tavalla voimme osoittaa että sellainen on alaspäin vk:stä v:hen) seuraavasti:

olkoon vi se solmu, joka on hierarkiassa korkeimmalla välillä v1..vk-1. Edellä mainitun invariantin nojalla, ennen vi:n poistamista, meillä oli jäjellä lyhin polku vi-->vk. Koska välissä ei voinut tuolloin olla muita solmuja, meillä on oltava oikokaari vi-->vk. Nyt voimme rekursiivisesti todeta taas, että saman argumentin nojalla meillä on jokin solmu välillä v1 ... vi-1 jne.

Kirjoitin tämän blogikirjoituksen, koska kaikesta tästä huolimatta, testiaineistossa on tapaus, jossa erään sillan yli kulkevaa lyhintä polkua ei hierarkia säilytä. Se on olemassa alla olevassa graafissa, mutta sitä ei löydy hierarkian avulla. Jossakin kohtaa koodia siis jokin näistä asioista tehdään siten, että invariantti rikkoutuu.

Kun kirjoitin koodin, mielestäni pidin koko ajan tämän invariantin mielessä ja pidin huolen ettei mikään operaatio riko sitä. Tyypillisesti tällaisissa tapauksissa on kyse joko abstraktiorikosta -- esimerkiksi jokin tieto viittaa johonkin mikä on muuttunut välissä -- tai ns reunatapauksesta. Olen mielestäni eliminoinut kummankin vaihtoehdon. Jäljelle jää muutama vaihtoehto. Kyseessä voi olla logiikkavirhe: Jokin ehto on kirjoitettu tavalla, jonka semantiikka on eri kuin se, mitä tarkoitin. Tämä on epätodennäköisen tuntuinen selitys siksi, että virhe on niin harvinainen. Kyseessä voi olla toki jonkin rakenteellinen poikkeama jostain tekemästäni oletuksesta, joka on riittävän harvinainen tuottamaan tällaisen ongelman.

Tämä on kiusallista.

EDIT: Vika liittyi tietorakenteeseen ja algoritmiin. Erässä kohtaa kun graafin kaaria järjesteltiin uudelleen, osa tiedosta jäi päivittämättä. Tietty invariantin kannalta olennainen informaatio ei ollut siellä missä pitää. Virhe myös "piilotti itsensä", sillä kun konstruktion jälkeen graafi luettiin, informaatio meni oikeaan paikkaan. Lopulta löysin sen ja sain korjattua tänä aamuna, useamman tunnin buginmetsästyksen jälkeen.

Huomenna lähden lomalle. 

RPE

Aloitin uuden ohjelman kuntosalilla viime viikolla. Olin grindannut 531-ohjelmaa neljä sykliä, ja aloin olla paitsi kyllästynyt, myös kykenemätön etenemään kyseisellä ohjelmalla. Vaihdoin Barbell Medicinen ilmaiseen The Bridge ohjelmaan.

BBM:n ohjelmafilosofia perustuu niin kutsuttuun Rating of perceived exertion, eli RPE-luokitteluun. Lyhyesti ja yliyksinkertaistaen, RPE 10 tarkoittaa maksimaalista suoritusta, ja RPE 10-n tarkoittaa suoritusta jonka päätteeksi olisi pystynyt tekemään vielä n toistoa lisää. Eli yksi toisto viiden toiston maksimilla vastaa noin tasoa RPE 6, kun taas viisi toistoa kahdeksan toiston maksimilla vastaa noin tasoa RPE 7.

Suurin osa The Bridgen harjoituksista tehdään RPE 8 tasolla. Tämän ideana on karkeasti ilmaistuna se, että harjoitus on kuormittava, muttei täysin maksimaalinen, jolloin sen aiheuttama stressi on riittävä hormeesin aikaansaamiseksi. Tässä yhteydessä hormeesilla viitataan siihen, että stressi on riittävä, jotta siihen sopeutuminen vaatii metabolisia muutoksia, mutta riittävän alhainen jotta se ei aiheuta vahinkoa.

RPE-filosofiaa voi soveltaa myös muilla elämänaloilla. Kaikessa inhimillisessä toiminnassa mukavuusalue viittaa rasitukseen tai kuormitukseen, joka on niin vähäinen ettei sen voittaminen vaadi juurikaan henkistä tai fyysistä ponnistelua. Mukavuusalueella operoitaessa elimistössä yleensä, tai esimerkiksi ajattelussa, ei esiinny sellaisia stressitekijöitä, joihin tarvitsisi sopeutua. RPE tasot 1-4 ovat tällaisia "mukavuusalueen" suoritustasoja. Tavanomaiselle, jonkin verran liikuntaa harrastavalle esimerkiksi lyhyet kävelymatkat tai vastaavat arkiliikkumisen muodot vastaavat näitä tasoja.

Älyllisessä ponnistelussa tämä viittaisi sellaiseen ongelmanratkaisuun, joka ei juurikaan vaadi Kahnemanin systeemin 2 käyttöönottoa tai vaativat sitä vain hyvin vähän.  Erottelu fyysiseen ja henkiseen ponnisteluun ei edes ole kovin relevantti tässä, sillä esimerkiksi voimaharjoittelussa on käytettävä paljonkin systeemi 2:ta kun rasitus ylittää RPE tason 4. Esimerkkejä tällaisista voivat olla hyvin yksinkertaiset pelit joita tietokoneella voi pelata juurikaan ajattelematta, yksinkertaiset kortti- ja seurapelit jotka eivät vaadi monimutkaista analyysiä. 

Nämä alimmat rasitustasot ovat luonteeltaan palauttavia, ja niillä operoiminen sopii saman tyyppisen raskaan rasituksen "vastapainoksi", eli esimerkiksi ankaran henkisen ponnistelun vastapainoksi voi sopia kevyt, lähes ponnistuksesta vapaa pelailu tai vähäistä pohdiskelua herättävän fiktion lukeminen, kun taas rankan fyysisen liikunnan vastapainoksi voi sopia kevyt kävely ulkoilmassa.  

Rasittavuuden "perustasot", eli tasot 4-6, ovat sellaisia joiden tuottamasta stressistä toipuu ilman että täytyy laittaa erikseen panostaa toipumiseen. Tällainen taso voi olla tavanomaisen kevyt hölkkälenkki tai lyhyehkö uintimatka, lyhyehkö hiihtomatka jne. Tällä tasolla voi operoida periaatteessa useita kertoja viikossa, jopa päivittäin  ja pitkiäkin aikoja kerrallaan mikäli välissä on hieman pidempiä aikoja. Tavanomaisten systeemi 2:a hyödyntävien analyysien tekeminen tyypillisesti sijoittuu tälle tasolle.  Blogikirjoituksen laatiminen jostain melko tyhjänpäiväisestä asiasta -- kuten tämä nimenomainen kirjoitus -- sijoittuu tälle tasolle.

Tämä rasitustaso on luonteeltaan ylläpitävää, ja mikäli yksilö ei lainkaan rasita itseään tällä tasolla tai sitä kovemmin, tämän suorituskyky ajan oloon alkaa taantua.  Tämä rasitustaso toimii raskaan, mutta eri tyyppisen rasituksen vastapainoksi, eli esimerkiksi stressaavan henkisen työn vastapainoksi sopii kevyt lenkkeily tai hiihto jne. Tämän rasitustason stressi ei ole luonteeltaan kumuloituvaa, ellei uni tai syöminen ole puuttellista, tai sitten elämässä ole muita äärimmäisiä kuormitustekijöitä.

Rasittavuuden "raskaat" RPE tasot 6-9 viittaavat sellaiseen fyysiseen poinnisteluun joka tuottaa jo merkittävää stressiä. Tässä kohtaa stressaavuus alkaa myös nousta jyrkästi, eli ero tason 6 ja 9 välillä on jo aika huima. Esimerkkejä fyysisestä ponnistelusta tällä tasolla voisi olla voimanosto- tai kehonrakennuspainotteinen harjoittelu tai maksimikestävyysharjoittelu. Älyllistä stressiä tässä kohtaa vastaa hankalien ja monimutkaista päättelyä ja/tai paljon lähimuistia vaativien ongelmien ratkaisu. Erittäin tarkkaa keskittymistä vaativa henkinen työ sijoittuu tälle tasolle. Esimerkiksi tutkimustyö silloin kun deadline on lähestymässä, on luonteeltaan tällaista.

Tämä raskas rasitustaso on luonteeltaan kehittävää. Kun yksilö operoi tällä tasolla, edellyttäen että hänellä on rasituksen jälkeen mahdollisuus toipua rasituksesta riittävästi, hän sopeutuu stressiin ja suoriutuu jatkossa vastaavista haasteista helpommin. Tällainen stressi kuitenkin vaatii erikseen panostamista toipumiseen ainakin jossakin määrin. Levon ja/tai ravinnon ja palauttavan kuormituksen annosteluun täytyy kiinnittää jonkin verran huomiota. Esimerkiksi lihasvoimaa kasvattava harjoittelu lisää unen ja ravinnon tarvetta. Raskas älyllinen ponnistelu vaatii palautumista ja "nollaamista", eli jotain muuta (mutta kevyempää) ajateltavaa.

Ilman tätä kehittävää rasitusta yksilö ei voi kehittyä. Tämä on truismi, joka pätee kaikkeen. Mukavuusalueella operoiminen tai rajoittuminen vain rasittavuuden perustasolle ei kehitä pidemmän päälle taitoja. Toki kehitystä tapahtuu alkuun, mutta kehitys saturoituu nopeasti. Tällainen rasitus ei myöskään tosiasiassa, ainakaan pidemmän päälle, voi toimia "vastapainona" merkittävälle määrälle muunlaista stressiä.

Rasittavuuden "maksimaaliset" tasot 9-10 ovat pikemminkin oman suorituskyvyn rajojen koettelua. Niiden tuottama stressi on luonteeltaan kuluttavaa. Tälle rasitustasolle mennään vain, kun on pakko. Enkä tarkoita pakolla sellaista perinteistä henkisen ponnistelun tasoa, jossa "pakottaudutaan" treenaamaan tai "pakottaudutaan" lenkille, vaan kyse on esimerkiksi kilpailutilanteesta tai uuden ennätyksen yrittämisestä. Älyllisessä ponnistelussa tämä voisi viitata vaikkapa yllättäen tutkimuksesta löytyvään virheeseen joka pitää korjata rajatussa aikaikkunassa, shakkiturnauksen loppuotteluun, tms. Opiskelijoilla usein -- muttei aina -- tenttitilanne saattaa olla tällä rasitustasolla henkisesti.

Maksimaalista ponnistelua tulee annostella hyvin säästeliäästi, sillä siitä toipuminen vaatii niin paljon resursseja, että stressiin ei välttämättä sopeudu lainkaan. Fyysisen ponnistelun puolella liiallinen operointi näillä tasoilla johtaa aina lopulta rasitusvammoihin ja ylikuntoon. Se, kuinka pitkälle tätä "lopulta" vastaan tulevaa pistettä voi venyttää, riippuu tietenkin yksilöstä ja fyysisen rasituksen tapauksessa tätä pistettä voi työntää kauemmas erilaisilla farmakologisilla interventioilla. Pitkittyneestä älyllisestä ponnistelusta tällä tasolla seuraa loppuun palaminen.

RPE:n avulla harjoittelussa -- ja tämä ei rajoitu fyysiseen harjoitteluun -- pyritään autoregulaatioon, eli itsesäätelyyn. Harjoittelu ja toiminta tehdään tiedostaen rasittavuuden taso, ja säännöstellen stressitekijöitä siten, että rasitusta saadaan sopiva määrä. Esimerkiksi yllä mainitsemassani The Bridge- ohjelmassa on matalan, keskitason, ja korkean stressin viikkoja. Matalan stressin viikoilla tehdään joko vähemmän sarjoja tai alemmalla RPE-tasolla. Tyypillisesti työsarjat ovat tasoilla 6-9.

Itsesäätely on sisäänrakennettu RPE-luokitukseen, sillä jos yksilö uhkaa ylirasittua, niin hän pudottaa kuormitusta kunnes RPE osuu kohdalleen. Tämä on yllättävän tehokasta ja säätelee stressiä yllättävän hyvin. Jos vertaan tätä prosenttipohjaisiin ohjelmiin joihin on sisään leivottu progressio -- kuten vaikkapa 531:een -- niin huomaan että toipuminen on paljon paremmalla tolalla. 531:ssä paino ja toistojen määrä on ennalta määrätty, ja sarjat tehdään jos vaan pystytään, vaikka sitten joutuisi turvautumaan maksimaaliseen ponnistukseen. Tämä johtaa ennen pitkää ylirasitukseen. Täytyy toki muistaa että Wendler (531-ohjelman laatija) kehottaa itsesäätelyyn. eli pienentämään painoa, ellei raskaimmassa sarjassa jää "yksi tankkiin". Tämä vastaisi siis ohjetta tehdä viimeinen sarja RPE 9 tasolla.

Opettajana työskennellessäni huomaan että olen usein intuitiivisesti pyrkinyt johonkin mikä muistuttaa tätä. Esimerkiksi jos haluamme että opiskelija oppii tietyn matemaattisen teorian, emme heitä tätä heti ns syvään päähän, vaan annamme tälle vähän kerrassaan vaativampia tehtäviä. Jos huomaan että opiskelija kamppailee vaikeimpien tehtävien kanssa ja esimerkiksi käyttää niihin kohtuuttomasti aikaa, pyrin antamaan tälle hieman (mutta vain hieman) helpompia tehtäviä jotka käsittelevät samaa ilmiötä.

Ihmiset joilla on aversio liikuntaan esimerkiksi siksi että se on heille tukalaa, kivuliasta, tai henkisesti hankalaa, voivat hyötyä RPE-ajattelusta. Tämä toki vaatii hieman kirjanpitoa. Itse pidän mielelläni kirjaa kaikenlaisesta toiminnastani ja tutkin kehitystä. Tiedän etteivät kaikki ihmiset ole tällaisia, eikä minulla ole heille tarjota mitään muuta kuin se että kirjanpidosta on apua. Treenipäiväkirjaan kannattaa merkitä oma käsitys siitä, kuinka raskas harjoite oli, asteikolla 1-10, missä 10 vastaa täysin suorituskykyjen rajoille menemistä (ja jopa hieman yli sen mitä aiemmin uskoi omaksi suorituskyvykseen) ja taso 1 vastaa istumista sohvalla. Päivittäin voi rasittaa itseään tasolla 4 jopa tunteja ilman että tarvitsee pelätä ylirasitusta. Tasolla 8 ei välttämättä kannata operoida päivittäin, pikemminkin muutaman kerran viikossa, eikä tasolle 10 tarvitse mennä välttämättä koskaan.  

Ajan oloon huomaa, että sama suorite, esimerkiksi saman pituinen lenkki tms, osoittautuu helpommaksi kuin aiemmin. Tämä tarkoittaa että kyseiseen rasitukseen on sopeuduttu. Tämän pomminvarma keino saada kunto nousemaan, mikäli ei ole paljoakaan harjoitellut. Ja vähän enemmän harjoitelleellekin myös.

Itse en vielä voi sanoa tekeekö The Bridge minua vahvemmaksi, sillä olen vasta tehnyt sitä yhden viikon. En vielä todennäköisesti osaa luotettavasti arvioida RPE:tä. Lisäksi loukkasin viime keskiviikkona selkäni. Toivuin siitä kyllä nopeasti ja pystyin jo eilen kyykkäämään lähes normaalisti, mutta aika näyttää miten tämä kehittyy.

Sisätulo

Matematiikkaa voi nimitää tai olla nimittämättä "tieteeksi". En ole lopulta kovin kiinnostunut siitä, nimitämmekö sitä vai emme. Ennenkaikkea näen itse matematiikan ajattelun teknologiana.

Laitoksemme -- joskin yliopistomme ei niitä enää kutsu laitoksiksi, mutta käytän tätä termiä silti koska se kuvastaa yksikköä parhaiten -- sai hiljattain muutaman uuden työntekijän, jotka ovat kanssani vastaavassa asemassa, siis yliopistonlehtoreita. Kumpikin on hyvin osaava ja välittömästi huomasin kahvihuoneen keskustelujen ottavan positiivisen suunnan, ennen kaikkea ajatuksia ja ideoita herättävään suuntaan. Tämä ei tietenkään ole tarkoitus olla huomautus pitkäaikaisempien kollegoiden tylsyydestä, mutta uudet näkökulmat ovat aina virkistäviä. Matematiikassa voi nimittäin painottaa niin kovin erilaisia näkökohtia, ja nämä uudet henkilöt olivat tutkineet asioita jotka olivat itselleni joko uusia tai tuttuja eri näkökulmista.

Erään filosofis-painotteisemman keskustelun lomassa oivalsin jälleen jotain siitä, miten yleisluontoisia työkaluja matematiikassa on onnistuttukaan luomaan. Esimerkkinä tästä otan tässä sisätulon.

Sisätuloavaruus on jokin vektoriavaruus jossa on vektoreiden lisäksi määritelty operaatio nimeltä sisätulo. Jos ette muista mikä vektoriavaruus on, niin kerrataan se ensin: Vektoriavaruus on joukko V, jossa on määritelty joukko erilaisia operaatioita, ja jolle on niinkutsuttu kerroinkunta. Kerroinkunnan alkioita kutsutaan skalaareiksi. Yleensä skalaarit ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, mutta teorian hienous piilee siinä, ettei ole yhtään mitään väliä, mitä skalaarit ovat, kunhan ne muodostavat kunnan, eli niissä on yhteen-, kerto-, jako-, ja vähennyslasku ja näille neutraalialkiot -- tutummin niitä merkitään 0:lla ja 1:llä, mutta näiden ei tarvitse välttämättä olla reaalilukujen nolla ja yksi.

Vektoriavaruuden alkioita -- vektoreita -- voi laskea yhteen, jolloin tuloksena on uusia vektoreita, ja niitä voi vähentää. Avaruudesta löytyy myös nollavektori, joka on tämän yhteenlaskun neutraalialkio. Vektoreita voi myös kertoa skalaareilla, ja nämä kertolaskut käyttäytyvät kuten odottaa saattaa, nolla-skalaarilla kertominen tuottaa nollavektorin, ja skalaarilla kertominen on distributiivinen vektorien summan yli, eli jos  a ja b ovat skalaareja ja x ja y vektoreita, niin a(x + y) = ax + ay ja (a + b)x = ax + bx.

Sisätulo on vektoriavaruuden operaatio, joka "kertoo" kaksi vektoria yhteen ja sitä merkitään esim  (x,y), ja tulos on jokin skalaari. Sisätulo on lineaarinen operaattori ensimmäisen tulon tekijän suhteen, eli (x + y, z) = (x,z) + (y,z), ja (ax,y) = a(x,y). Lisäksi (x,x) = 0 jos ja vain jos x on nollavektori. Jos kerroinkunta sisältää alikuntanaan reaaliluvut tai vastaavan järjestetyn kunnan (esimerkiksi rationaaliluvut), niin (x,x) on aina ei-negatiinen.  Lisäksi jos kerroinkunnassa on määritelty ns konjugaatti-operaatio, niin sisätulon pitää olla konjugaattisymmetrinen, eli (x,y) = Conj((y,x)). Käytännössä tämä tapahtuu kun kerroinkunta on kompleksinen. Jos kerroinkunta on esimerkiksi reaaliluvut, niin voidaan yleistyksenä ajatella, että reaaliluvun konjugaatti on luku itse.

Näillä määritelmillä sisätulo indusoi aina normin. Tämä voidaan todistaa osoittamalla että (x,x):n neliöjuuri toteuttaa normin aksioomat. Normi on kansanomaisesti ymmärrettävissä "pituudeksi" tai "suuruudeksi". Sisätulo myös indusoi ortogonaalisuuden käsitteen vektoriavaruuteen, eli voimme sanoa että x ja y ovat ortogonaalisia jos kumpikaan ei ole nolla, ja (x,y) = 0.

Olennaista sisätulossa on se, että mikä hyvänsä operaatio joka toteuttaa sen aksioomat on sisätulo, ja kaikki teoria joka sisätulosta on, pätee. Esimerkiksi jos meillä on mielivaltainen mitta-avaruus X, niin sellaiset funktiot X:ltä reaaliluvuille jotka ovat neliöllisesti integroituvia X:n yli, muodostavat sisätuloavaruuden. Sisätulo (f,g) on tällöin integraali funktioiden tulosta avaruuden X yli. Tämä sisätulo on ns. L2-sisätulo (L tulee nimestä "Lebesgue" ja 2 viittaa neliön integroituvuuteen).  Esimerkiksi jos X on jokin äärellinen reaalilukuväli, vaikkapa [-1,1] tms, niin rajoitetut, paloittain jatkuvat funktiot tällä välillä muodostavat L2-avaruuden.

Sisätuloavaruuksien teoria on varsin yksinkertaista, ja voimme sanoa monia asioita sisätuloavaruudesta ja sen kantavektoreista. Kun tietyt topologiset ehdot toteutuvat, voimme käyttää sisätuloa siihen, että löydämme ortogonaalisen joukon vektoreita niin, että jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista tämän joukon vektorien lineaarikombinaationa. Tuttu karteesinen koordinaatisto esimerkiksi perustuu siihen, että voimme jokaisen tasoon piirretyn "nuolen" ilmaista vaaka- ja pystysuunnan avulla. Voimme myös vaihtaa näitä suuntia (esim, kääntämällä paperia) ja löytää miten sama "nuoli" esitetään eri suuntien avulla, esimerkiksi "luode"/"lounas"- suunnassa.

Ja, mainitsemani rajoitettujen, paloittain jatkuvien funktioiden joukko voidaan esittää kompleksisten eksponenttifunktioiden avulla; en mene tässä yksityiskohtiin, sillä niihin menisi liiaksi aikaa ja tilaa. Olennaista on, että voimme osoittaa että tietynlainen sisätulon soveltaminen aivan samalla teoreettisella sapluunalla kuin tason kantavektoreiden vaihtamisessa, on mahdollista myös L2-avaruudessa, ja että kun "kantavektorit" -- siis tietty funktioperhe -- on sopivasti valittu, niin funktio esitetään sen eri pisteissä saamien arvojen sijaan esimerkiksi siinä esiintyvien "taajuuksien" avulla. Tämä tapahtuu ns. Fourier-muunnoksessa.

Se mikä tässä on olennaista, ei ole se miten tällainen muunnos lasketaan tietyssä partikulaarisessa tapauksessa. Olennaista on se, että tässä "teknologiassa" on tavattoman yksinkertaiset rakennusosaset, eli käytännössä sisätulon aksioomat. Kun löydämme keinon esittää sisätulo-operaattori, meidän täytyy vain osoittaa että se toteuttaa nämä aksioomat ja kaikki se, mitä voimme sanoa tutkimastamme ilmiöstä sisätulon avulla pätee.

Tämä abstrahoinnin idea on sama kuin missä hyvänsä teknologiassa. Ei ole mitään merkitystä sillä, onko auton moottorissa pikkiriikkisiä ukkeleita jotka vääntävät kiertokankea jos saavat juoda bensiiniä, vai onko kyseessä bensiinikäyttöinen polttomoottori. Jos auto kulkee kaasua painamalla ja rattia kääntämällä, sillä pääsee perille.

Näin taannoin taas kerran keskustelun siitä, miten alakoulussa opettajat opettavat että 7*3 on eri asia kuin 3*7 ja rankaisevat lapsia kun nämä laskevat "väärin". Kertolaskun abstraktio on juuri siinä, että se on vaihdannainen. On hyvin vahingollista ajattelulle opettaa että epäolennainen asia on "tärkeä oppia". Abstrahointi on muutenkin vaikeaa suurimmalle osalle ihmisistä. Se, että ihmisen luontainen vaisto abstraktioon pyritään tukahduttamaan, on minusta jonkinlainen rikos ihmisyyttä vastaan. Näen toistuvasti ilmiön jo opiskelijoissa: Hyvin lahjakkaita ja fiksuja ihmisiä, joille on ohjelmoitu päähän aivan turhia esteitä ymmärrykselle, pakkomielteenomainen tarve "ymmärtää" eli purkaa abstraktio pienimpiin yksityiskohtiin, sellaisiinkin joilla ei ole mitään väliä.

Toki tämä tarve purkaa on ymmärrettävä. Lapsi haluaa tietää mistä eri asiat rakentuvat. Kuka meistä ei olisi lapsena purkanut heti tilaisuuden saatuaan kaikki elektroniset ja mekaaniset laitteet nähdäkseen miten ne toimivat sisältä? Mutta lapsi tekee tämän itse, vaistomaisesti. Ei häntä siihen suuntaan tarvitse työntää. Ja aivan erityisesti, ketään ei pitäisi rangaista oikein tehdystä ja käytetystä abstraktiosta.

Tiedän että jotkut ovat tästä "eri mieltä". Mutta tämä ei ole mielipideasia. Ihminen joko oppii tai ei opi ajattelemaan abstraktisti.

Oikea Työ

Ihmisillä on yleensä jonkinlainen intuitiivinen käsitys siitä, mikä juuri heidän mielestään on oikeaa työtä. Olen joskus käsitellyt asiaa taloustieteen keinoin tässäkin blogissa, enkä nyt ole tekemässä syvällisempää analyysiä asiasta. Mainitsen kuitenkin siitä hieman, ennen varsinaista asiaa.

Markkinatalousyhteiskunnassa työksi katsotaan usein sellainen toiminta, josta joku maksaa tai ainakin periaatteessa olisi valmis maksamaan, tai josta on jokin selkeä hyöty, joka ainakin teoriassa olisi siirrettävissä jollekin muulle kuin tekijälle itselleen esimerkiksi myymällä se. Esimerkkinä työstä voisi olla auton korjaaminen. Vaikka auton korjaaminen tehtäisiin itseä varten, siitä on silti taloudellinen hyöty (vaihtoehtoiskustannuksen muodossa).

Toisaalta esimerkiksi kuntosaliharjoittelu ei ole "työtä", vaikka siitä hyötyä onkin, sillä kyseinen hyöty ei ole sinänsä mitenkään myytävissä. Toki voimme ajatella ammattimaisen kehonrakentajan tai valokuvamallin treenaamista "työnä", mutta tällöin se on pikemminkin investointi, ja verrattavissa esimerkiksi opiskeluun.

En tässä käy erittelemään sen laajemmin, olkoon tämä riittävä taustoitus.

Olen ollut palkkatyössä yksityisellä sektorilla nyt reilu vuoden. Vaikka olen tehnyt kokoaikaista työtä palkkaa vastaan käytännössä yhtäjaksoisesti (vanhempainvapaita lukuunottamatta) nyt 19 vuotta, on käytännössä kaikki muu työni tehty erilaisille yliopistoille tai tutkimuslaitoksille, joissa palkanmaksajana on viime kädessä ollut valtio tai muu veroja keräävä instanssi. Nytkin suurin osa palkastani päätoimestani tulee tällaiselta taholta, mutta sivutoimeni on yksityisessä yrityksessä.

Työ on mielenkiintoista ja palkitsevaa. Ei sillä, etteikö yliopistossa työskentely olisi. Esimerkiksi opinnäytetöiden ohjaaminen ja opettaminen, samoin kuin aika-ajoin iso osa tutkimustyöstäkin on mielenkiintoista ja tunnetasolla palkitsevaa. Tutkimuksen ongelma julkisella puolella minulle on ollut se, että minun on ollut vaikea uskoa että se kohdistuu asioihin joilla on suurempi kokonaismerkitys. Jos olen nostanut abstraktiotason riittävän korkealle, olen voinut ajatella palvelevani ihmiskunnan korkeampia hyveitä, tieteellisen tiedon edistämistä, säilyttämistä, ja elävöittämistä. Tarkoitan elävöittämisellä sitä, että sen sijaan että jokin teoreettinen tieto säilytettäisiin kirjoissa ja kansissa puhtaana abstraktiona, sen soveltaminen ja toistaminen uudelleen hieman toisenlaisena pitää sen "elossa", eli että on ihmisiä jotka uudelleen ja uudelleen kokevat "löytäneensä" samat ilmiöt.

Tällainen tuntuu toki helposti haihattelulta, mutta inhimillinen tieto joka on vain kirjoissa ja tiedostoissa, ei ole "tietoa" vaan ainoastaan jonkinlainen indeksi tai avain tietoon; siitä tulee tietoa vasta, kun tietoinen (sic) olento kuten ihminen omaksuu sen ja asettaa kontekstiin jossa se vaikuttaa tämän olennon käyttäytymiseen ja ajatteluun. Mutta jaarittelen jälleen.

Kaikesta ylevästä ajattelusta huolimatta, tutkimus jota olen tehnyt, on vain vähäisessä määrin ollut oikeaa työtä markkinatalouden kontekstissa. En varsinaisesti pidä tätä minään suurena rikoksena, mutta kokisin olevani antisosiaalinen ja moraaliton jos en lainkaan kokisi tätä ongelmaksi. Kovin äänekäs ja vaikutusvaltainen vähemmistö akateemisista ihmisistä käyttää merkittävässä määrin paukkuja julkisuudessa sellaisen ajatuksen ylläpitoon, että koska tieto itsessään on tärkeää, on eräänlainen puhdas arvovalinta, kuinka paljon julkinen valta panostaa akateemiseen tutkimukseen, ja että tämä arvovalinta on valinta jonkinlaisen näköalattoman "taloudellisen" vääjäämättömyyspuheen ja korkeampien inhimillisten ideaalien välillä.

En pidä tätä täysin rehellisenä, vaikka itse peräänkuulutankin näitä korkeampia inhimillisiä ideaaleja. Olen opiskellut aikanaan sosiologiaa, kansantaloustiedettä ja matematiikkaa, olen nuorempana lukenut kaikki vähänkään mielenkiintoiselta kuulostavat tai vaikuttavat teoriaopukset, kohtuullisen määrän kaunokirjallisuutta ja paljon asioita jotka olen jo enemmän tai vähemmän unohtanut. Olen tehnyt keskinkertaisen akateemisen uran, jonka seurauksena olen tällä hetkellä matemaattisen logiikan ja tietojenkäsittelyn dosentti ja yliopistonlehtori; Tutkimukseni ovat perinteisesti keskittyneet siihen, miten logiikkaa voi soveltaa algoritmisesti erilaisten formaalisti määriteltävissä olevien järjestelmien ominaisuuksien spesifiointiin ja verifiointiin (eli suomeksi, sen tarkastamiseen toimiiko jokin kone tai tietokoneohjelma "oikein"). Korkeammat ideaalit joita olen koettanut näistä tutkimuksista jalostaa, ovat epistemologisia: Miten voimme ylipäätään tietää, että olemme tutkimassa oikeaa asiaa, miten voimme tietää että ominaisuus jonka toteamme olevan voimassa, takaa sen toiminnan jota intuitiivisesti toivomme? Miten voimme saada tämän tiedon ulos ja mikä on se "tieto" johon vertaamme?

Nämä asiat ovat inhimillisesti tietämisen arvoisia, mutta ne ovat arvokkaita minulle kokemuksena. Ne eivät ole siirrettävissä kuin hyvin hyvin rajallisesti muille. Olen tätä blogia kirjoittaessani usein ajatellut että kirjoittamani teksti kommunikoi tätä korkeampaa ideaalia ja tietoa muille tai edes dokumentoi sen johonkin muotoon, mutta epäilen että suurin osa lukijoistani ei koskaan lue näitä tekstejä, eikä tällä tiedolla todellisuudessa ole mitään muuta arvoa kuin se arvo joka minulla on henkilökohtaisena kokemuksena. Ja tämä kalvaa minua. Epäilen sen kalvavan monia suulla suuremmalla puhuvia julkkis- ja huippututkijoita, joiden kaunopuheiset akateemisen ajattelun puolustuspuheet "arvovalinnoista" ja pinnallinen kritiikki "taloudellisten arvojen hirmuvaltaa" vastaan herättävät ihastusta. Korkeampien inhimillisten ideaalien puolustajat jakavat näitä puheenvuoroja sosiaalisessa mediassa ja näin viestittävät viiteryhmälleen jakavansa nämä arvot.

En puhu näitä arvoja vastaan. En edes erityisemmin haasta sitä kritiikkiä. Karsastan yksisilmäistä hyötyajattelua ja ajatusta siitä, että akateemisen tutkimuksen tulisi tähdätä taloudelliseen hyötyyn. En esitä että rahoitusta pitäisi suunnata teollisuusyhteistyöhön tai että pitäisi tiukentaa kriteerejä tai esittää lisää vaatimuksia. Mutta puhun sitä vastaan, että näitä puheenvuoroja toistetaan papukaijan lailla pysähtymättä miettimään, mikä inhimillinen kustannus näiden korkeampien ideaalien tavoittelulla on, ja mikä on meidän vastuumme muista ihmisistä ja yhteiskunnasta.

Työni yksityisellä sektorilla tähtää taloudelliseen hyötyyn. Markkinatalous toimii siten, että kun teen jotain jolla on arvoa muille, nämä muut maksavat siitä. Yritys jolle teen työtä, laittaa toteuttamani algoritmin tuotteeseensa. Tuotteen käyttäjät saavat tästä hyötyä itselleen ja ovat siksi valmiita maksamaan yritykselle enemmän. Ketjun päässä jonkun elämä hieman helpottuu. Joku pääsee kotiin viitisen minuuttia aikaisemmin ja on valmis maksamaan tästä muutaman euron viikossa. Tämä tapahtuu tuhansille ihmisille, ja osa tuosta rahasta virtaa yritykselle, joka sitten maksaa minulle palkkaa.

Olemme sokeita arvoille jotka eivät kosketa omaa elämäämme. Korkeita ideaaleja ja meille tärkeitä asioita tavoitellessamme usein jätämme huomiotta kaikki ne, jotka mahdollistavat meille tämän tavoittelun. Saatamme kirjoittaa nasevan kolumnin karvaisista miehistä jotka pitävät infran toiminnassa, muttemme pysähdy miettimään sitä, missä määrin omassa elämässämme vedämme niitä köysiä jotka liikuttavat koko tätä koneistoa. Emmekä me edes teoriassa pysty siihen; Tämän tiedän niistä perustuloksista, joiden parissa olen painiskellut tutkimusta tehdessäni, juuri näitä korkeampia ideaaleja tavoitellessani.

Maailma on monimutkainen paikka. En paheksu hedonisteja. Se ei ole minun tehtäväni. Mutta kummeksun sitä, miten joku voisi edes teoriassa kokea elämänsä merkitykselliseksi ja itsensä arvokkaaksi pelkästään näiden korkeiden ideaalien tavoittelussa, ilman että osallistuu. Enkä sano edes että ihmisen tarvitsee työskennellä yksityiselle sektorille, tai edes yliopistomaailman ulkopuolella tehdäkseen niin. Osallistua voi monella tavalla.

Olen tällä viikolla arvostellut kaksi opinnäytetyötä, antanut 6 tuntia opetusta luokkahuoneessa, ja nyt etsin koodista virheitä (käännös näyttää olevan valmis ja testiajo ohi, joten joudun lopettamaan). Huomenna opetan taas pari tuntia, laadin koko joukon harjoitustehtäviä ensi viikoksi ja kirjoitan vastineen alkusyksyn opiskelijapalautteeseen. En tiedä onko mikään tästä hyödyksi kenellekään muulle. Toivon niin.

Nörtit ja Hyvät Ihmiset, Osa II

Kuten edellisessä kirjoituksessani sanoin, yksi merkittävä sosiaalisen hyvinvoinnin muoto -- eli ihmisen koettu menestys ihmissuhteissa ja erityisesti romanttisissa sellaisissa -- tuntuu olevan analyyttisen tarkastelun kannalta ongelmallinen, jopa jossain määrin tulenarka asia. Tässä analysoin syitä, jotka voivat tähän johtaa.

Robin Hansonin kohtaama someraivokampanja oli case in point, ja hän analysoi syitä osin kirjoituksessaan Why Economics is, and should be, creepy. Siinä Hanson nostaa pointin jonka mukaan yhteiskunnassa vallitsevat normit (World Norms, kuten hän niitä nimittää) ovat joiltain osin sellaisia, että tiettyjä "yhteiskuntasopimuksen" aspekteja ei hyväksytä analysoitaviksi koska analyysi tuo ikään kuin uudelleen neuvoteltavaksi sen sopimuksen osan jota analyysi koskee. Tämä oma karakterisointini on ehkä hieman yksioikoinen, mutta pääpiirteittäin siis. Taloustieteilijä esittää aina analyysissään jonkinlaisen, vähintään implisiittisen, mallin jossa toimijat mahdollisesti toimivat jonkin normin vastaisesti, ja tarkastelee näiden toimintojen seurauksia erilaisten hyvinvointimittareiden valossa.

Tämä herättää ihmisissä hämmennystä ja uhan tuntua. Myös Tommi Uschanov esitti samansisältöisen argumentin rationaalisuudesta ja harkinnasta kirjassaan "Suuri Kaalihuijaus". En muista tarkalleen miten vertaus meni, joten jos Tommi sattuu tätä lukemaan hän korjaa, mutta se meni jotenkin niin, että vaikka sanomme arvostavamme sitä että ihminen harkitsee tekonsa tarkoin, useimmat meistä kokevat jonkinlaisia inhon ja hämmennyksen tunteita jos joku vakavissaan sanoo esimerkiksi harkinneensa perheensä murhaamista ja syömistä, ja tulleensa siihen tulokseen ettei tämä ole tarkoituksenmukaista.  Hansonin "rikos", jos sellaisesta halutaan puhua, oli sen puheenaiheen esille tuominen, että romantiikkaan ja seksiin liittyvän hyvinvoinnin jakaumaan voitaisiin vaikuttaa. Tälle lienee syynä juuri se, mitä Hanson esittääkin, eli että meillä on historiasta esimerkkejä tavoista joilla tätä on tehty, ja nämä tavat ovat olleet nykyisen yhteiskuntasopimuksen näkökulmasta hyvin epäeettisiä.

Otan toisen vastaavanlaisen ajattelumallin, joka herättää ihmisissä vaistonvaraisesti inhoa, eli eugeniikan. Eugeniikka, joka siis usein suomennetaan "rodunjalostukseksi" (nimenomaan ihmisillä) on ollut tapetilla vakavassa yhteiskunnallisessa keskustelussa niinkin myöhään kuin 1960-luvulla. Sen kammottavimmat implementaatiot löytyvät toisen maailmansodan alta, esimerkiksi Natsi-Saksan Aktion T4, eli poliittinen ohjelma jossa pyrittiin eliminoimaan erilaisia epäkelpoina pidettyjä ominaisuuksia kuten kuulo- ja näkövammoja, kehitysvammaisuutta, skitsofreniaa jne, lopulta siis ihan tappamalla näitä ihmisiä. Vastaavia lakeja, jos kohta hivenen "humaanimmassa" muodossa vaikkapa pakkosterilointien tai avioitumiskieltojen muodossa, oli ympäri maailmaa.

Erilaiset sosiobiologiset analyysit, joissa sosiaalisia ilmiöitä, ihmisten tai ihmisryhmien sosiaalisesti hyödyllisiä tai haitallisia piirteitä tms analysoidaan perinnölisyystieteen näkökulmasta, herättävät ihmisissä usein hieman samanlaista kauhua tai inhoa, sillä ne tuovat mieleen eugeniikan. Varsinainen sosiobiologinen analyysi ei tietenkään ole vielä millään tapaa eugeniikkaa, mutta toki sellainen analyysi on välttämätöntä sellaiselle taholle, joka eugeniikkaa jossain merkityksessä haluaisi edistää.  Siksi jo pelkkä analyysi on eräänlainen tabu, tai ainakin hyvin tulenarka aihe. 

Näillä kaikilla on yhteistä se, mitä nimitän usein nörttimentaliteetiksi. Jotkut ovat -- mielestäni hieman väärin tai hätäisesti -- liittäneet ilmiön sosiaaliseen kyvyttömyyteen ja autismiin. Autismikirjon häiriöihin, joihin nyttemmin pahamaineinen ja varsinaisesta diagnostiikasta poistunut Aspergerin oireyhtymä aikanaan laskettiin, liittyy moninaisten muiden käytös- ja kognitiopoikkeamien lisäksi heikentynyt kyky omaksua ääneenlausumattomia ja jatkuvan sanattoman neuvottelun alaisia sosiaalisia normeja. Tästä seuraa usein esimerkiksi taipumus puhua liian suoraan tai esittää asioita tavoilla jotka eivät ole sosiaalisesti hyväksyttäviä.

Itse en käyttäisi tätä ulottuvuutta tässä, sillä autismikirjon häiriöissä on kyse varsin monipuolisesta ja monitahoisesta ilmiöstä, jolle ei tee oikeutta se että nörttimentaliteetti otetaan niiden prototyypiksi. Se ei tee oikeutta kummallekaan ilmiölle. Kuitenkin, yksi aspekti siitä on tarkoituksenmukaista nostaa tässä esiin; ihmisillä todella on neurologisia eroavaisuuksia (puhutaan ns neurodiversiteetistä), ja on ilmeiselvää, että nörttimentaliteettiin liittyy neuropsykologisia eroja. Ainakin jos laskemme erot sosiaalisissa ja kognitiivisissa taidoissa neurologisiksi eroiksi. Joku voi olla haluton tekemään tätäkään, mutta koska hermostomme nyt kiistatta on kaiken kognition kannalta hyvin keskeinen rakenneosamme, käytetään termiä neurodiversiteetti.

Neurodiversiteetti ei tietenkään liity yksinomaan nörtteihin, sillä siihen kuuluu mm ADD/ADHD, erilaiset autismikirjon ongelmat, CP-vammat, jne, ja vaikka näillä on korrelaatioita (en käytä termiä komorbiditeetti, koska puhun myös asioista jotka eivät mielestäni ole psykopatologioita) ja klusteroitumista, olisi epätarkoituksenmukaista ja epäasiallista (minun ainakaan) väittää mitään näiden klusterien rajoista. Voimme tässä sanoa "turvallisesti" ehkä vain, että neurodiversiteetti selittää ainakin osan siitä, miksi jotkut ovat nörttejä ja jotkut eivät.  Sivumennen sanoen, itselläni on diagnostiset kriteerit täyttävä tarkkaavaisuushäiriö ja joitain autismikirjon piirteitä, ei kuitenkaan minkään diagnostisen kriteerin täyttävää määrää.

Usein puhutaan ns. systeemiajattelusta, ja miten se on korostunut autismikirjon häiriöissä. Ehkä voimme ottaa tämän yhteiseksi nimittäjäksi nörttimentaliteettiin. Systeemiajattelu voidaan ymmärtää tarpeena tai taipumuksena nähdä asiat loogisina, mekanistisina kokonaisuuksina joiden toiminta redusoituu osiensa summaksi. Se on välttämätön hahmotustapa ns insinööritieteissä, luonnontieteissä, suuressa osassa lääketiedettä jne. "Nörttimäisyyteen" liittyy nimenomaan viehtymys erilaisiin systeemeihin. Tietokonepelit, ylipäätään tietokoneiden parissa näpertely kuten ohjelmointi, erilaiset lautapelit, matematiikka, fysiikka, roolipelit, jne vetoavat ihmiseen jolla on tämä systeemitarve voimakkaana.

Yhteiskuntamme on viime aikoina teknistynyt huimasti niin, että erilaisten koneiden toimintamekanismit, ohjelmoitavat koneet, jne ovat muodostuneet talouden kannalta erittäin tärkeiksi. Tästä johtuen nörttimentaliteetti yhdessä keskimääräistä parempien kognitiivisten kykyjen kanssa on viime vuosikymmeninä mahdollistanut kohtuullisen hyvän toimeentulon. Kun tällaisen yksilön kohdalle sattuu vielä onnekkuutta ja luovuutta, ovat useat tällaiset yksilöt olleet perustamassa menestyksekkäitä teknologiayrityksiä. Lisäksi nämä yritykset ovat palkanneet sittemmin massoittain nörttimentaliteetin omaavia yksilöitä.

Tämä on myös jossain määrin uhkaavaa ihmisille, joilla ei ole nörttimentaliteettia. Tätä uhkaa ei pidä vähätellä, sillä se on joiltain osin todellinen. Esimerkiksi työllisyysnäkymät nörttialoilla ovat konsistentisti olleet hyvät, ja näiltä aloilta muuallekin talouteen siirtyvä automatisaatio efektiivisesti on muuttanut varallisuuden jakautumista niin että nörtit nähdään nykypäivänä usein taloudellisesti etuoikeutetuiksi.

Nörttimentaliteetti ei ole sinänsä sukupuolikysymys, mutta nörttiys on kiistatta yleisempää miehillä kuin naisilla. Tällaista lausetta ei varmaan pitäisi sen paremmin selventää, mutta korostan nyt vielä silti: Se, että se on yleisempää miehillä, ei tarkoita etteikö olisi runsaasti naisia joilla näitä samoja taipumuksia on yllin kyllin. Pahamaineinen James Damore, kuten muistamme, sai potkut analysoituaan tätä aspektia ns Big Five- persoonallisuuspiirteiden sukupuolijakauman ja teknisten työtehtävien kiinnostavuuden osalta. Itseäni ei kiinnosta väitellä siitä, oliko Damore oikeassa vai väärässä; Olennaista tämän kirjoituksen kannalta on, että Damore yritti soveltaa systeemiajattelua kysymykseen jota useimmat lähestyvät muilla tavoilla.

Aivan kuten Damoren persoonallisuuspiirteiden sukupuolijakauman tarkastelu, Hansonin viileä "distribuution ja redistribuution" pohdinta , tai jonkun satunnaisen nuoren (yleensä mies-) henkilön sosiobiologinen analyysi, nörttimentaliteetin omaksuneen mielenkiinto jonkin ilmiön piirissä keskittyy usein (tarkastelijalle itselleen) selkeisiin käsitteisiin joille annetaan omassa tarkastelussa jokin aivan mekanistinen operationalisointi. Tämä johtaa teknisen laitteen tai tietokoneohjelman tapauksessa erittäin hyviin lopputuloksiin, ja analyysiä eivät häiritse sellaiset seikat kuten sosiaalinen tarkoituksenmukaisuus tai jonkun muun tunteet asiasta.

Tämä seikka on se, missä syntyy valtava, voisi sanoa jopa ylipääsemätön kuilu Hyvien Ihmisten ja Nörttien välille. Useimmat ns. normot, siis ne joiden neurologinen profiili ei ole kovin poikkeava, ovat lähinnä huvittuneita tällaisista analyyseista, sillä se ei kiinnosta heitä silloin kun sillä ei ole mitään ilmeistä sovellusta. On toki syytä huomata että ns. normoja on kaikissa ammattikunnissa, eikä esimerkiksi ohjelmistoinsinöörin tai matemaatikon tarvitse olla nörtti ollakseen hyvä alallaan. Siitä voi olla hyötyä, mutta välttämätöntä se ei ole. Myös normot kykenevät systeemiajatteluun, se vain ei ole heille dominoiva eikä suurta mielihyvää tuottava tarkastelutapa.

Osa Normoista on kuitenkin ns Hyviä Ihmisiä. Tällä viittaan siihen, että heille maailma näyttäytyy -- ja tämä karakterisointi on vähän väärä koska minä en kykene juuri muuhun kuin systeemiajatteluun ja ymmärrän tämän rajoitteen -- jatkuvana merkitysten ja piilotettujen motiivien taistelukenttänä. Toki nörttikin ymmärtää mitä motiivin piilottaminen tai petkuttaminen tarkoittaa, ja osaa petkuttaa ja valehdella motiiveistaan; en yritä väittää etteikö analyysi voisi olla tarkoituhakuista. Tämäkin kirjoitus todennäköisesti pyrkii esittämään minut positiivisessa valossa. En ole tyhmä tai sokea. Mutta ratkaisevaa on se, että nörttimentaliteetin omaava ihminen nauttii analysoimisesta enemmän kun siihen ei tarvitse ladata mitään piiloagendaa, kun taas Hyvät Ihmiset uskovat että kaikessa on piiloagenda, ja kaikki puheenvuorot ovat yrityksiä neuvotella yhteiskuntasopimusta uudelleen.

Seksuaalisuuden ja romantiikan tuominen systeemiajattelun kautta keskusteluun rikkoo joitain sanattomia sopimuksia ja siksi herättää raivoa samalla tavalla kuin mikä tahansa sosiaalisia konventioita rikkova käytös. Koska nörtti rikkoo usein jotain muitakin sosiaalisia konventioita, tämä herättää siksi väistämättä käytöksellään kiukkua. Mutta nämä transgressiot voitaisiin antaa anteeksi, ja niihin voitaisiin jopa suhtautua myötätunnolla, ellei nörteillä olisi aiemmin mainittuja taloudellisia etuja taipumuksistaan. Tämä yhdistelmä epämääräistä transgressiivista käytöstä, "ansiotta" saatua taloudellista etulyöntiasemaa, kun mukaan lisätään myös nörtin oma raportoitu kokemus alhaisesta sosiaalisesta asemasta tai vähintään jonkinlaisista ongelmista, oikeuttaa normojen parissa silmittömän vihan nörttiä kohtaan aina, kun tämä rohkenee puolustautua edes analysoida ilmiötä joka on sanattomalla sopimuksella rajattu nörtiltä pois.

Normon näkökulma on toisenlainen. Tämä todella kokee että nörtti -- usein siis mies -- käyttää etuoikeutettua asemaansa (mies, hyvä taloudellinen asema tai ainakin odotettavissa oleva sellainen) ja sen tuomaa valtaa sanellakseen muille miten asiat ovat. Tämän paksupäinen uhmakkuus Hyvien Ihmisten oikeutetun raivon edessä vain validoi uskomuksen siitä, että nörtti on ylimielinen, pahantahtoinen, ja syyllinen kaikkeen sosiaaliseen epäoikeudenmukaisuuteen jota vastaan Hyvä Ihminen taistelee. Tämä ilmentää käytöksellään sitä etuoikeutta joka on epäoikeudenmukaisesti annettu hänelle, ja samalla kun kiistää puhuvansa etuoikeutetusta asemasta, selvästi pyrkii sitä vahvistamaan.

Nörtille joka ymmärtää kuvion, Hyvän Ihmisen käytös on teatteria, epäloogista ja epärehellistä. Jos hän vain saisi tämän ymmärtämään analyysinsä -- siis omaksumaan sen systeemiajattelun näkökulman, tarkastelemaan analyysin lähtökohtia ilman häiritseviä tunnereaktiota, ja keskittymään loogiseen rakenteeseen -- niin ehkä tämä voisi nähdä totuuden ja ymmärtää ettei tässä ole kyse siitä, mistä Hyvä Ihminen häntä syyttää. Mutta joka kerta kun hän yrittää selittää tarkemmin, hän kietoutuu vain enemmän ja enemmän siihen transgressioiden verkkoon jonka hän on tietämättään punonut.

Kumpikaan ei ymmärrä toista. Usein kumpikaan ei halua ymmärtää, sillä kun toinen osapuoli on sivuuttanut jonkin asiassa itselle tärkeän pointin, niin on syntynyt molemminpuolinen uskomus, että toinen on epärehellinen.

Tässä oletan, että someraivon valtaan joutunut ihminen, joka loukkaantuu analyyttisestä tarkastelusta todella on rehellinen. Tämän oletuksen tekeminen -- ja myönnän tämän avoimesti -- on minulle vaikeaa, enkä ole sen suhteen edes täysin rehellinen, mitä tulee tunteisiin. Minä tunnen syvällä sisimmässäni, että näissä edellä mainituissa esimerkeissä kuvatut Hyvät Ihmiset ovat epärehellisiä, julmia, sadistisia ja typeriä. Mutta minä tiedän, että he eivät itse usko näin. Aivan kuten minä tunnen  luissani ja ytimissäni keskustellessani vaikkapa uskovaisen kreationistin kanssa, että tämä on järjiltään, eikä järjissään ollessan voi mitenkään rehellisesti olla sitä mieltä mitä esitttää, tiedän, että tämä tunne on harhaanjohtava.

Sillä meillä ihmisillä on tällainen tarve; me tunnistamme uhkia toisissa ihmisissä. Pahat aikeet tai jokin sairaus -- esimerkiksi Rabies -- tekee ihmisestä vaarallisen. Primitiiviset aivomme ovat herkistyneet tunnistamaan näitä uhkia joskus esihistorian hämärissä; liiallinen luottamus toisiin on johtanut huijatuksi -- ja ehkä tämän lounaaksi -- tulemiseen. Ja jos minulle, joka olen harjoittanut aivojani erilaisten täysin abstraktien asioiden parissa koko ikäni, näiden tunteiden hallinta ja tunnistaminen on hankalaa, kuinka hankalaa se on ihmiselle, jonka mielihyväkeskus ei aja tätä jatkuvasti tunteettomaan analyysitilaan jossa asiat nähdään puhtaan mekaanisina? Voi se olla toki helpompaakin, koska tällainen ihminen saattaa olla hyvinkin kosketuksissa tunteidensa kanssa paremmin kuin minä. Mutta ei se siltä aina näytä.

Nörtit ja Hyvät Ihmiset

Reilu viikko takaperin Robin Hanson kirjoitti twitterissä ja blogissaan siitä, miten epätasa-arvossa on pääosin keskitytty tulojakaumaan, eikä juurikaan sellaisten sosiaalisten lopputulemien jakaumaan, joilla on vähintään yhtä paljon, ellei enemmän, merkitystä ihmisten hyvinvoinnille, eli ihmissuhteiden jakautumiseen.

Mielestäni ilmiö on aivan ilmeisellä tavalla mielenkiintoinen ja pohtimisen arvoinen, ihan siinä missä tulojakaumakin. Voidaan jopa argumentoida, että ihmissuhdelopputulemien (mitä ikinä ne yksilöillä ovatkaan) jakautuminen ja ihmissuhteissa "menestyminen" voi olla tulevaisuudessa paljon merkityksellisempi kuin tulojakauma. Sitä mukaa kun siirrymme niukkuuden jälkeiseen maailmaan niiltä osin kuin tulee materiaalisiin elämisen edellytyksiin, ihmisten hyvinvointierot tulevat muodostumaan lähes kokonaan sosiaalisten kontaktien ja ihmissuhteiden parissa.

Tämä ilmiö on hyvin todellinen, ja se on mekanismeiltaan mielenkiintoinen, sillä vaikka tällaisten sosiaalisten hyvinvointitulemien analysointi on jossain määrin mahdollista perinteisen talousteorian keinoin, on siinä väistämättä mekanismeja jotka estävät samanlaisen distributiivisen tehokkuuden analysoinnin kuin perinteisten hyödykkeiden osalta.

Hyvinnoinnin peruslause osoittaa että jos abstrahoimme riittävästi, niin markkinamekanismi tuottaa komparatiivis-staattisessa mielessä aina Pareto-tehokkaan lopputuleman, eli lopputuleman jossa kenenkään hyvinvointia ei voi parantaa heikentämättä jonkun muun hyvinvointia. Tässä abstraktissa muotoilussa tietenkin on tietyt ehdot, jotka eivät todellisessa maailmassa toteudu. Esimerkiksi siinä oletetaan (jokseenkin) täydellinen informaatio, nollan suuruiset transaktiokustannukset, ja se ettei kukaan voi määrittää yksin hintoja.

En yritä tässä nyt väittää että teoreemaa voisi soveltaa millään muotoa todelliseen maailmaan; itse asiassa päinvastainen on totta, ja valtava määrä taloustieteen teoriaa onkin kehitetty juurikin niiden mekanismien analysoimiseen, jotka estävät tehokkaan lopputuleman toteutumisen.

Mutta juuri siksi on niin hämmentävää, että yritys avata keskustelua ihmissuhteiden distributiivisesta tehokkuudesta edes sillä tasolla, että vertailisimme perinteisten hyödykkeiden ja ihmisuhteiden mekanismeja, vaikka sitten vain löytääksemme eroja näiden välillä, johtaa sellaiseen ryöpytykseen. Tämän viikon aikana Hyvät Ihmiset ovat kirjoittaneet Hansonista häväistysartikkeleja. En edes viitsinyt hakea niistä pahimpia; Toivon että lukijani lukevat Hansonin kirjoituksen ensin ajatuksen kanssa, ja sitten vertaavat siinä sanottua asiaa artikkeleihin jotka on kirjoitettu Hansonille "vastineeksi".

Karakterisointeja:
"Robin Hanson, the Sex Redistribution Professor"
"Is Robin Hanson America’s Creepiest Economist?"
"Men talking up 'sex distribution' still assume women are their property"

Ilmiö ei ole itsellenikään vieras. Usenetin aikakaudella olin juuri alkanut perehtyä taloustieteeseen ja olin  kiinnostunut analysoimaan ihmisten välisten kanssakäymisen eri aspekteja -- myös romanttisia ja seksuaalisia ihmissuhteita -- eräänlaisina vaihtokauppoina. Tämä on helppo karakterisoida vihamielisesti niin, että analyysi tästä vaihtokauppa-aspektista tarkoittaa että ihmisuhteet eivät sitten olisi mitään muuta kuin tunteetonta vaihtokauppaa. Tämän vastalauseen, ja aivan kuten Hansonin ja kaikkien muidenkin asiaa analysoineiden kohdalla, kuulin myös tästä ikään kuin johdetun korollaarin useaan kertaan: Tällaisen analyysin esittäjän täytyy olla täysin epäkelpo yksilö, joka ei kelpaa kenellekään, ja analyysin ainoana motiivina täytyy olla joko katkeruus naisia kohtaan tai halu "omistaa" naiset.

 Tämän argumenttimuurin läpi pääseminen ei ollut mahdollista vapaamielisellä 1990-luvulla, puhumattakaan siitä että se olisi mahdollista tänä päivänä. Olen kuitenkin edelleen hämmentynyt, Hansonin tavoin, siitä, kuinka vähän tämän hyvinvoinnin muodon jakauman vinous herättää myötätuntoa niissä, joille taloudellisen hyvinvoinnin jakauman vinous on keskeinen poliittinen motivaattori noin ylipäätään.

Jotta en jäisi vain kauhistelemaan asiaa ja sitä, miten hyvesignalointi on sekoittanut ihmisten päät, ehdotan kuitenkin asian selvittämistä. Aivan kuten parikymmentä vuotta sitten esitin kriteerit joilla on helppo osoittaa minun olevan väärässä  -- silloin melko kapeasta näkökulmasta esitetyssä -- analyysissäni, esitän mielelläni nyt muutamia teoriakäsitteitä ja operationalisointeja, joiden avulla voimme vastata (mielestäni) kysymyksiin siitä, millainen tämä sosiaalisen hyvinvoinnin jakauma on, ja myös mahdollisesti löytää selittäviä tekijöitä sen oletetuille vinoumille. Aivan kuten Hansonkaan, minäkään en esitä mitään distributiivista politiikkaa, jolla nämä resurssit "jaettaisiin", vaan pyrin esittämään kriteerejä joilla voimme tutkia jakauman muotoa ja sitä tuottavia ja ylläpitäviä mekanismejä.

Aloitamme itse jakaumasta. Mittareita joilla voimme tutkia asiaa yksilöiden kohdalla, on useita. Henkilökohtainen tyytyväisyys (esimerkiksi asteikolla 0-5) omaan ihmissuhdetilanteeseen voidaan helposti mitata kyselytutkimuksella. Kyselyllä olisi syytä erottaa toisistaan ystävyyssuhteiden ja "romanttisten" ihmissuhteiden tyytyväisyys. Subjektiivisen mittarin lisäksi voidaan mitata ihan suoraan esimerkiksi aikaa jonka yksilö on viettänyt vasten tahtoaan yksin, ihmissuhteiden kestoa ja lukumärää, ihmissuhteiden hankkimiseen ja ylläpitämiseen käytettyä aikaa ja resursseja, ja banaalimmissa muodoissa vaikkapa jonkun ajan sisällä harrastetun seksin määrää ja laatua, hyvin pitkien aikavälien tapauksessa esimerkiksi lasten määrää tai avioliiton kestoa jne.

Jo näistä mittareista saadaan muutamia tutkimisen arvoisia hypoteesejä. Lienee melko todennäköistä, että pitkät omien toiveiden vastaiset yksinäisyys- tai seksittömyysjaksot heikentävät koettua hyvinvointia keskimäärin. Osalla ihmisiä tietenkin on eri asteisia ja erilaisia toiveita näiden asioiden suhteen, sekä lisäksi useita coping-mekanismeja, joten korrelaatio voi osoittautua yllättävänkin pieneksi.

Nämä mittarit voidaan sitten liittää sellaisiin mittareihin kuten sukupuoli, seksuaalinen suuntaus, ikä, sosioekonomiset mittarit ja erilaisten verkostojen koko ja laatu. Vaikeampia mitata ja arvioida ovat sellaiset tekijät kuten käytöksen miellyttävyys tai ulkonäkö, mutta näitä voidaan mitata kontrolloiduissa oloissa jollekin pienelle ryhmälle, ja koettaa löytää sopivia proxyjä helpommin mitattavista suureista kuten painoindeksistä tms. Toki täytyy jokaisessa välissä huomioda se, että jos otamme proxy-muuttujan, niin hävitämme aina jotain informaatiota; Aivan erityisesti, proxy-muuttujaa ei tulisi tulkita kausaaliseksi selittäjäksi, vaikka tämä valitettavan usein on tapana kun tällaisia asioita popularisoidaan.

Voimme näiden mittarien avulla löytää esimerkiksi korrelaation sosioekonomisen aseman ja ihmissuhdetyytyväisyyden välillä, ja jos meillä on riittävän nerokkaasti hankittu aineisto jossa on sekä pitkittäistä (ajan yli muuttuvaa) ja poikittaista dataa, niin voimme saada jonkinlaisen arvion myös siitä, mihin suuntaan mikäkin tekijä vaikuttaa, ainakin ajallisesti.

Parisuhteissa elävillä ihmisillä on ymmärrettävistä syistä keskenään sosioekonomisia mittareita jotka ovat jaettuja. Esimerkiksi lapsiperheen sosioekonomiamittari näyttää kaikille perheenjäsenille samaa, kun taas erillään asuvilla pareilla joilla ei ole lapsia, mittarit ovat erilliset. Tällä on vaikutusta kun tutkitaan näiden muuttujien välisiä suhteita. 

Tästä on helppo muotoilla hypoteeseja joita voidaan tutkia. Esitän pari, ja ne voivat olla vääriä tai oikeita, mutta selvittää ne voidaan: 1) ihmissuhdetyytyväisyydessä on sosioekonomisesta asemasta riippumaton komponentti, joka ajan myötä muuttuu niin, että myöhemmällä aikuisiällä sosioekonomisen aseman ja ihmissuhdetyytyväisyyden korrelaatio on paljon suurempi kuin nuoremmilla ihmisillä. 2) miehillä tämä korrelaatio lisääntyy voimakkaammin kuin naisilla suhteessa omiin taustamuuttujiin, kun taas sukupuolesta riippumatta jaettu sosioekonominen asema on kaikille merkittävä tyytyväisyyttä selittävä tekijä; Pidän mahdollisena että se on naisille vielä merkittävämpi tekijä kuin miehille. (Tästä on heikkona evidenssinä se, että miehen työttömyys lisää avioeron todennäköisyyttä paljon, kun taas naisen työttömyys ei juurikaan)  Kääntäen 3) suoranainen seksittömyys on todennäköisesti vähän (muttei paljon) merkittävämpi ihmissuhdehyvinvointia alentava tekijä miehille kuin naisille, ja että tämä ero todennäköisesti tasoittuu iän myötä, ja voi jopa kääntyä toisin päin myöhemmällä iällä.  

Näille hypoteeseille on hieman perusteluja jo olemassaolevasta empiirisestä aineistosta. Esimerkiksi miehillä korkeampi koulutus korreloi positiivisesti korkeamman lapsiluvun kanssa, kun taas naisilla korrelaatiota ei juuri ole. Tämä oli tilanne ainakin kymmenisen vuotta sitten kun viimeksi tilastoja tutkin.  Tämä viittaa siihen, että miesten mahdollisuudet perustaa perhe paranevat koulutuksen lisääntyessä, ja koulutuksen lisääntyessä myös sosioekonominen asema paranee. Kun aikanaan tutkin aineistoja joissa tulot ja koulutus oli eroteltu, niin minulle jäi mielikuva, että kummallakin sukupuolella tulojen merkitys on lapsiluvun kannalta suurempi ja että samassa tuloluokassa itse asiassa korkeammin koulutettujen lapsiluku on alhaisempi, vaikka se nettona onkin suurempi koko aineistossa. Koulutus siis voi hyvinkin pienentää lapsilukua ceteris paribus, mutta siitä seuraava tulojen kasvu enemmän kuin kompensoi tämän miehillä, kun taas naisilla vaikutukset kumoavat toisensa melko tarkkaan.  Kaikkein suurin lapsiluku oli pariskunnilla, joilla molemmilla oli alhainen koulutus ja miehellä siitä huolimatta suuret tulot; tällaiset pariskunnat vain ovat melko harvinaisia. 

Koska perinteisen taloustieteen hyvinvoinnin peruslause nojaa informaation täydellisyyteen, voisimme olettaa että ihmissuhdetyytyväisyys saattaisi olla suurempi väestönosissa joissa informaatiota on enemmän käytettävissä. Tämä on kuitenkin hatara hypoteesi useammasta syystä. Ihminen ei nimittäin käyttäydy täysin rationaalisesti ihmissuhteiden suhteen. Moraalisen aspektin jätän muiden arvioitavaksi, mutta vaikuttaisi siltä, että yksilön näennäinen ja koettu valinnanvara kumppaneiden suhteen lisää tyytymättömyyttä nykyiseen kumppaniin jossain määrin. Deitti-applikaatioiden aikakaudella ihmiset saattavat elää sellaisessa kuvitelmassa että aina löytyy vielä vähän parempi kumppani, ja tämä voi lisätä tyytymättömyyttä. Siksi voi olla paradoksaalisesti niin, että suurempi määrä informaatiota ei johdakaan parempaan lopputulokseen.

Tämä tietenkin voidaan laittaa myös transaktiokustannusten piikkiin. Parisuhteiden -- kuin myös muunlaisten ihmissuhteiden -- päättymiseen ja uusien alkamiseen liittyy aina merkittäviä transaktiokustannuksia. Näitä voi olla vaikea analysoida, mutta jos tiedämme yksilöiden deittailuun ja kumppanien etsimiseen käyttämän ajan ja vaivan, sen ajan, jonka he ovat käyttäneet asiasta murehtimiseen, sekä sen kuinka usein he ovat vaihtaneet kumppania -- sekä sen kuinka usein tämä on tapahtunut omasta aloitteesta -- voimme arvoida transaktiokustannuksia. Korkeat transaktiokustannukset yhdistettynä suurempaan informaation määrään voivat lisätä tyytymättömyyttä ainakin johonkin rajaan saakka.

Tästä pääsemme poliittisiin ja yhteiskunnallisiin näkökohtiin. Tällä hetkellä on meneilllään muutamia murroksia ja lisäksi osa sellaisista murroksista jotka on käyty läpi, vaikuttavat nyt parisuhteita muodostaviin nuoriin ja osin sellaista vailla oleviin vanhempiin ihmisiin, kun taas osa parisuhteista ja muunlaisista ihmissuhteista on mudostunut aikana jolloin tilanne oli erilainen. En lähde näitä kaikkia erittelemään, mutta yhteiskunnan kannalta suuria murroksia oli esimerkiksi seksin vapautuminen 1960-luvulla kun hormonaalinen ehkäisy yleistyi. Sukupuolitautien ja erityisesti hengenvaarallisten ja parantumattomien sellaisten (lähinnä HIV/AIDS) suhteen taas tietoisuus lisääntyi 1980- ja 90-luvuilla. Erilaisten perhemuotojen yleistyminen ja muuttuminen hyväksyttävämmiksi viimeisten neljän vuosikymmenen aikana on ollut merkillepantavaa. Myös avioliittojen solmimisikä on noussut; en löytänyt kattavaa tilastoa, mutta avioerojen määrä ei ole aivan viime vuosikymmeninä enää kasvanut, ja ihmisten keski-ikä ensimmäisen avioliiton purkautumishetkellä on pysynyt melko tasaisena.

Nämä kaikki ilmiöt tulisi huomioida kun tutkimme ihmissuhteiden jakautumista ja sitä hypoteesia, joka tämänkin kiistan taustalla on, eli onko ihmissuhteiden jakauma muuttunut epätasaisemmaksi?  Itse epäilen, että vastaus on "kyllä", mutta kvantitatiivinen muutos on vielä toistaiseksi pienehkö. Suunta kuitenkin on todenäköisesti selvä: Sekä subjektiivinen tyytymättömyys, että objektiivisemmat mittarit yksinäisyydestä näyttävät todennäköisesti että matalamman sosioekonomisen aseman omaavien miesten asema on heikentynyt eniten ja se myös heikkenee tällä hetkellä kovinta vauhtia.

Nokkelimmat huomaavat, etten ole esittänyt mitään ehdotusta asian korjaamiseksi (jos "asia" siis on todellinen). En aio niin myöskään tehdä. Historiallisesti esimerkiksi jäykästi sanktioitu avioliittoinstituutio joka estää ihmisiä eroamasta on tasoittanut jakaumaa. Ei välttämättä niin, että ihmisten subjektiivinen tyytyväisyys olisi suurempi, mutta mahdollisesti niin että tyytyväisyyden jakautuminen on ollut tasaisempaa. Myös kulttuuri jossa intiimimpi kanssakäyminen (seksistä puhumattakaan) on rajattu sanktioituihin parisuhteisiin kuten avioliittoon, todennäköisesti tuottaa tasaisemman jakauman.

Mutta aivan kuten tulojakauman kanssa, meidän tulisi aina pysähtyä kysymään sitäkin, onko tasaisempi jakauma todella se mitä toivomme?  Tähän kysymykseen on vaikea vastata ykskantaan, sillä emme juurikaan voi tehdä mielekkäitä ceteris paribus-oletuksia. Hansonin ihmetys siitä, että miksi taloudellisten ja ihmissuhteisiin liittyvien hyvinvointimittarien tärkeyteen keskittyvien ihmisten joukot ovat lähes täysin erilliset, on perusteltu. Mutta se voi olla ymmärrettävissä sitä kautta, millaisia ceteris paribus-oletuksia ihmisillä on taipumus tehdä. Ihmissuhteissa ihmiset eivät juuri tee tällaisia oletuksia, kun taas taloudellisissa asioissa näitä tehdään turhankin hanakasti. Ihmissuhteita ei intuitiivisesti mielletä nollasummaisiksi, kun taas ilmiöt joissa raha liikkuu, hahmotetaan nollasummaisiksi silloinkin kun ne eivät sitä ole.

En haluaisi kommentoida ns incel-liikettä tai "manosfääriä". En haluaisi edes sanoa että "sanoudun irti" niistä, koska en halua ankkuroida tätä analyysiä mihinkään sellaiseen nurkkakuntaiseen.  Tällaisten liikkeiden parissa kuitenkin on tärkeitä ajatusvirheitä. Tiukasti Humen giljotiinia käyttäen, nämä ajatusvirheet jakautuvat moraalisiin ja epistemologiisiin. En moraalisista halua puhua, koska en halua sitä ulottuvuutta tähän sotkea; epäselvyyden välttämiseksi sanon kuitenkin etten hyväksy näiden analyysin moraalista ulottuvuutta(kaan). Epistemologisella puolella on kaksi ulottuvuutta. Ensimmäinen on se, että ilmiö itsessään on todellinen tai sitten ei ole, tämä on kontingentti tosiasiaväittämä, jonka selvittämiseen on yllä luonnosteltu empiirisiä kriteereitä. Toinen taas on se, mitä oletamme niistä mekanismeista jotka ilmiön synnyttävät. Tämä jälkimmäinen on mielestäni pielessä suurelta osin. Siinä voi olla tosiasiallisia mekanismeja, jotka on kuitenkin asetettu väärin kontekstiin.

Esimerkiksi, voi hyvinkin olla, että sarjamonogamian hyväksyttävyys, vapaammin liikkuva informaatio ja sosioekonomisten tekijöiden epätasainen jakauma tuottavat yhdessä myös ihmissuhteiden hyvinvoinnissa epätasaisen jakauman. Tähän on turha sotkea mitään sellaista moraalista aspektia joka esittää yksilöitä tai ryhmiä (esim naiset) "syyllisinä" tai "uhreina". Tämä puhetapa on eräänlaisessa vasemmistolaisessa diskurssissa keskiössä, ja olen sitä vastaan argumentoinut aiemmin. Mekanismin tuottamat lopputulemia ei ole yleisestiottaen syytä palauttaa yksilöiden moraaliseen "hyvyyteen".

Jotta emme jäisi henkisesti kiinni siihen, että parisuhteisiin ja niiden muodostumiseen liittyy valtavasti kaikenlaisia tunteita, niin valotan tätä täysin toisenlaisella esimerkillä; Esimerkillä jossa mekanismi tuottaa huonon lopputuloksen ilman yksilöiden pahaa tahtoa tai edes moraalista heikkoutta.  Esimerkki on osin todellinen ja osin kuvitteellinen:  Tampereella asuu Hervannassa paljon ihmisiä, jotka ovat töissä Hervannan ulkopuolella ja toisin päin. Tämä johtuu siitä että Hervannalla on asuinalueena huono maine, mutta siellä on paljon yrityksiä joiden toimintaedellytykset ovat siellä hyvät. Tämän vuoksi Hervannan valtaväylä ruuhkautuu aamuisin.

Jos ihmiset jakaisivat työtuntinsa tasaisemmin työpäivän yli, ruuhkilta vältyttäisiin. Mutta yritysten työajat ovat monilta osin kiinteät siksi, että ne toimittavat toisilleen tavaraa, ja siksi niiden on syytä olla toiminnassa ainakin pääosin samoina aikoina vuorokaudessa. Kukaan ei ole tehnyt mitään yksilömoraalin näkökulmasta "väärin", ja silti järjestelmä aiheuttaa mittavaa kärsimystä kun ihmiset päivästä toiseen joutuvat istumaan ruuhkassa.

Parisuhteiden jakaumassa on nykyjärjestelmässä samankaltaisia mekanismeja. Ihmiset tuntevat vetoa juuri siihen mihin tuntevat. Systeemiä ei ole "suunniteltu" mitenkään. Ei ole mitään keskusauktoriteettia joka voisi määrätä kuka seukkaa kenenkäkin kanssa, eikä tällaista pitäisikään olla. Kukaan ei ole sellaista esittänyt, ainakaan Hanson, minä tai kukaan muukaan edes alkeellisesti analyyttisesti asiaan suhtautuva ei ole. Mutta aivan kuten kaikenlaiset yritykset nostaa ruuhkautuminen edes ongelmana kysymykseksi johtaa vastalauseryöppyyn (Yksityisautoilijoita syyllistetään! Kunnon ihmisiä vainotaan!!) myös yritys puhua tämän toisen systeemin tuottamista systemaattisista vinoumista johtaa selkäydinreaktiona vastalauseryöppyyn (Hanson haluaa pakottaa naiset seksiin!!) ilman minkäänlaista todellista analyyttistä suhdetta itse ilmiöön.

Kuten Hansonkaan, minäkään en tarjoa mitään ratkaisuja. En edes tarjoa sinänsä mitään "ongelmaa", vaan alustavan analyysin mahdollisesta ilmiöstä jonka jotkut kokevat ongelmaksi jo nyt. Pidättäydyn esittämästä mitään ehdotuksia asiantilan muuttamiseksi kunnes tiedän asiantilasta ja siihen johtavista mekanismeista edes jotakin. Ja nyt, riippumatta siitä mitä lukijani ajattelee tästä nimenomaisesti ilmiöstä -- onko se edes todellinen tai ei -- niin olen kokolailla varma, että ensi reaktio on että "no mutta kun tässä pitäisi tehdä X" tai "Mutta kun olet väärässä koska Y".

Mutta olenko väärässä? Jos olen, niin haluaisin tietää missä. Haluaisin myös tietää mikä yllä esittämistäni mekanismeista on olennaisilta osin jotain muuta kuin mitä arvelen, ja että millaisilla kriteereillä tämä asia voitaisiin sitten saada selville.  Joku voisi sanoa että olen väärässä, koska olen katkera ja ruma nörtti. Tähän totean vain, että hieman vierastan sellaista epistemologista maksiimia jossa ihmisen seksikkyys määrittää tämän sanomisen painoarvoa. Vaikka olenkin kuumaa kamaa.

 Edit: Jos joku ihmettelee otsikkoa, niin se johtuu siitä, että Scott Aaronson kirjoitti aiheesta, ja luin hänen tekstinsä ensin. Luulin että haluaisin sanoa jotain samanlaista, mutta päätin pitää näkökulman yleisempänä.

Vignetti: Mitä matematiikka ja ymmärrys "ovat"?

Matematiikka on eräänlainen LEGO-palikoiden kaltainen rakennelma, jonka avulla voi rakentaa koneita. Koneet toimivat pelin sääntöjen mukaisesti ja lopputulos on sääntöjen mukainen.

Oma näkemykseni on, että matematiikkaa opetetaan ja opiskellaan "väärin", koska sitä yritetään "ymmärtää". Katselin joskus kun isäni korjasi moottoripyörän vaihdelaatikkoa. Tajusin jokin aika sitten, että oma tapani hahmottaa matematiikkaa on kokolailla samanlainen kuin isäni tapa hahmottaa koneiden toimintaa.

Ymmärryksen tavoittelu on aidon ymmärryksen kannalta samalla tavalla haitallista kuin onnellisuuden tavoittelu on onnen kannalta haitallista.

Likainen maailma

En ole vuosikausiin analysoinut yhteiskuntaa kovin ekstensiivisesti taloustieteen (tai sen osan siitä, joka minulle on tuttua) näkökulmasta. Syitä tähän omissioon en oikein osaa sanoa; jostain syystä olen kokenut että näkökulma ei ole ollut enää hedelmällinen. En viittaa tällä hedelmällisyyden puutteella siihen, että ko. näkökulma ei voisi paljastaa tärkeitä asioita tai että se olisi jotenkin muuten väärä, vaan että se ei ole enää aikoihin inspiroinut minua.

Identiteettipoliittinen tauhka -- voisi oikeastaan käyttää termiä populismi -- on värittänyt yhteiskunnallista keskustelua jo vuosia. Aikanaan näin taloustieteen näkökulman eräänlaisena vaihtoehtona populistiselle höpötykselle ja tavallaan idealisoituna, puhtaana abstraktiona, näen asian vieläkin näin. Puhtaiden abstraktioiden ja näiden soveltaminen pragmaattisen instrumentalismin hengessä vailla mitään ryhmälojaliteettejä, hyveiden toitottamista, tai vastaavaa painolastia, on edelleen käsitykseni siitä, miten yhteiskunnallista asioita tulisi analysoida.

Yksi esimerkki on taannoinen keskustelu ns. aktiivimallista. Seurasin sitä hetken ja meinasin muotoilla kirjoituksen sen hyvistä ja huonoista puolista, mutta pian tuli selväksi, että sen hyvistä puolista on turha kirjoittaa, sillä niistä ei kukaan ole lopulta kiinnostunut. Eivät siis edes mallin kannattajat, joille mallin huonot puolet tuntuivat olevan tärkein syy kannattaa sitä. Tämä siis siksi, että jos vastustajat esittävät että malli on huono syystä X, niin kannattajat sanovat yksinkertaisesti että se on hyvä syystä X, sillä X:n täytyy olla hyvä koska kerran vastustajat sanovat että se on huono. Sama pätee tietenkin hyviin puoliin; jos kannattajat sanovat että malli on hyvä syystä Y, niin vastustajat ovat sitä mieltä että Y on huono asia, koska kannattajat ovat Pahoja Ihmisiä.

Odotankin kauhunsekaisin tuntein millaista "keskustelua" saadaankin aikaan Rautalammin skandium-esiintymästä. Kaivostoiminnalla on Talvivaarakeissin jälkeen äärimmäisen huono maine, ja tietyssä mielessä syystäkin.  Tällä huonolla maineella kuitenkin on kovin vähän tekemistä kyseisen esiintymän hyödyntämisen kanssa, sillä sekä erottelu että ekstraktointi tapahtuisivat täysin eri tekniikalla kuin Talvivaarassa. Tämä ei kuitenkaan estä ihmisiä muodostamasta mielipidettä asiasta etukäteen.

Toinen asia josta en jaksa enää vääntää, on ilmastonmuutos. Täydellinen ymmärryksen puute siitä, mikä ero on yhtäältä paikallisella ja globaalilla ilmaston muuttumisella, ja toisaalta näiden muutosten tuottamilla sääilmiöillä ei johdu siitä että ymmärtämätön ihminen olisi typerä. Se johtuu vain siitä, että tällainen ihminen on omaksunut tietynlaisen core-identiteetin, jota hän suojelee. Empiirisesti virheelliseksi osoitettuun maailmankuvaan takerrutaan sopivasti valitsemalla "faktat". Sama tietenkin pätee ihmisiin jotka ovat omaksuneet toisenlaisen identiteetin. Jotta ilmastonmuutos ei olisi liian vaikea asia sen herättämien tunteiden vuoksi, voi ajatella vaikkapa rokotteiden vastustamista, uskomusta siitä että Rotschildit määräävät maailmantaloudesta, tai, jos nämäkin tuntuvat vaikeilta, uskomusta siitä että maapallo on todellisuudessa litteä.

Näistä kaikista voi rakentaa identiteettiprojektin itselleen. Toki, niin voi myös näihin liittyvien "myyttien" murtamisestakin. Itse en pidä ajatuksesta että uskomukset siitä, millainen maailma on, olisi minun omalle identiteetilleni jotenkin olennainen asia tai että joutuisin identiteettikriisiin jos osoittautuisi että olen väärässä jossakin. Kaikki uskomukset ovat sellaisia, että ihminen voi olla väärässä; tämä on vain hyväksyttävä. Tämä koskee niin ilmastonmuutosta, rokotteiden tehoa ja turvallisuutta, kuin sitäkin onko maapallo todella (likipitäen) pyöreä tai kontrolloiko juutalaisten salaliitto maailmaa. On selvää, että omaan tietyt uskomukset näistä asioista, ja toimintani heijastelee näitä uskomuksia eriasteisesti. Mutta viime kädessä voi olla että jokin evidenssi osoittaa minulle että siihenastinen uskomukseni onkin virheellinen.

Tämä epävarmuuden hyväksyminen on identiteetisotureille jotenkin vaikeaa. Olen törmännyt useasti tilanteeseen, jossa se, että myönnän "on ihan totta, voi olla että olen väärässä, mutta ne tiedot joita minulla nyt on, viittaavat että uskomukseni on todennäköisemmin totta", on toiselle loogisesti yhtäpitävää sen kanssa että "myönnän" olevani väärässä.

Täydellinen varmuus on yleisestiottaen selkein merkki siitä, että henkilön käsitykset ovat identiaarisia, eivät "epistemologisia". Varmuuden rinnalla on useimmiten perusteluja jotka koskevat lähinnä sitä, miten joku päinvastaisen käsityksen omaava on moraalisesti arveluttava, jäänyt kiinni valehtelusta tai erehtynyt jostain asiasta. Tunnen avutonta raivon ja surun sekaista turhautumista kun näen tällaista ihmiseltä jota pidän esimerkiksi verraten älykkäänä. Ihmisten kognitio on perustavalla tavalla rikkinäinen ja tällainen ilmeinen repeämä muistuttaa minua siitä kauheasta tosiasiasta, että myös omat näkemykseni ovat kaiken järjen mukaan monilta osin samalla tavalla täysin päättömiä.

Tämä ei tarkoita, ettenkö voisi luottaa jossain määrin siihen, että tarkalla abstrahoinnilla ja analyysillä päästäisiin yleensä hyödyllisempiin uskomuksiin kuin öyhötyksellä ja möyhötyksellä. Se tarkoittaa kuitenkin, että saarnaaminen ihmisille on vailla mieltä. Käytän mieluummin analyyttisiä kykyjäni työnantajani hyödyksi. Esimerkiksi viimeiset pari viikkoa olen perehtynyt kontraktiohierarkioihin, ja kirjoittanut asiaan kuuluvaa koodia.  Kun suorituskyky on tarkalleen sitä mitä se on ja lopputulos on metriikoin osoitettavissa hyväksi tai huonoksi, ei tarvitse turhautua.

Joskin sielläkin joudutaan lopulta ongelmiin. On olemassa tilanteita -- joihin itse en onnekseni ole joutunut -- joissa asiakas haluaa maksaa huonommasta tai vähemmän oikeasta vastauksesta, koska se sopii tämän ennakkokäsitykseen siitä, millainen vastauksen pitäisi olla. Tai markkinointiosasto on sitä mieltä, että vastauksessa ei saa olla epävarmuutta.  Joskus toivoisin että ongelmia voisi ratkaista raa'alla voimalla. Esimerkiksi nyrkkiraudalla.

Intuitiosta

Olen opettanut matematiikkaa tai matemaattis-loogisia aiheita nyt 20 vuotta. Mukaan lukeutuu hyvin laaja kirjo tällaisia aloja, kuten tilastomatematiikkaa, lineaarialgebraa, algebraa, optimointiteoriaa, differentiaaliyhtälöitä, matemaattista logiikkaa, tietojenkäsittelyteoriaa, algoritmiikkaa, ohjelmointikielten teoriaa, formaalien kielten teoriaa, graafiteoriaa, todennäköisyyslaskentaa ja ties mitä.

Yksi ongelma joka matematiikan opiskelussa ja myöskin opettamisessa on, on intuition opettaminen. Intuitiota on monenlaista, mutta karkeasti jaan ne nyt algebralliseen ja geometriseen intuitioon. Ero ei ole selkeä, eikä missään nimessä tarkka, eikä näiden sanojen arkimerkitys tavoita itse ilmiötä. Tässä kirjoituksessa koetan hiukan luonnostella näitä intuition muotoja ja sitä miten oman kokemukseni perusteella asia näyttäytyy. Huomautan että intuitio on kuitenkin aina väistämättä ihmisen pään sisäinen asia, jota on viime kädessä mahdotonta tavoittaa täysin sanallisesti; Wittgensteinia mukaillen, sitä ei voi ilmaista, vaan se ilmenee.

Geometrinen intuitio on näistä ehkä tutumpi ihmisille. Se viittaa avaruudellisiin mielensisältöihin ja tuntemuksiin, kuten muotoihin, etäisyyksiin, suuntiin jne. Esimerkiksi maastonmuodot voidaan ymmärtää geometrisen intuition kautta, "suuntavaisto" nojaa geometriseen intuitioon. Kuvanveisto tms vaatii geometristä intuitiota, samoin piirtäminen; palaan tähän vielä tuonnempana. Algebrallinen intuitio puolestaan on lähempänä sitä mitä nimitämme loogiseksi tai kielelliseksi ajatteluksi. Se viittaa kokemuksiin erilaisten symbolien välisistä suhteista. Erilaiset kielioppisäännöt, laskusäännöt jne, opitaan sisäistämällä ne nimenomaan algebrallisen intuition osaksi.

Karkeasti erottelun voi ymmärtää niin, että geometrinen intuitio on partikulaaristen ja konkreettisten esimerkkien intuitiota, kun taas algebrallinen intuitio on universaalien ja abstraktien esimerkkien intuitiota. Mikään ajattelutapa ei ole täydellinen; toinen ei ole "parempi" kuin toinen, vaan nämä ovat matematiikan rakennusosaset joita ilman matematiikkaa ei voi "ymmärtää".  

Otetaan esimerkki optimointiteoriasta. Ajatellaan että meillä on jokin avaruus X, jossa meillä on pisteitä. Lukija pääsee helpoimmalla, jos tässä ajattelee 2-ulotteista reaalilukuavaruutta, tutummin, xy-tasoa, jossa jokainen piste esitetään parina (x,y). Tässä siis geometrinen intuitio on esimerkiksi taso, jokin pinta. Vaikeammaksi menee, jos täytyy ajatella 3-ulotteista avaruutta, mutta halutessaan voi näinkin tehdä.

Tässä avaruudessa X, meillä on funktio f(x), joka saa reaalilukuarvoja. Esimerkissämme, jossa meillä on taso, voimme ajatella että funktio kertoo pinnan korkeuden kussakin pisteessä. Kolmiulotteisessa tapauksessa voimme ajatella vaikkapa lämpötilaa huoneen jokaisessa pisteessä. Tässä kohtaa toki funktio f(x) voisi saada itse myös useampiulotteisen arvon. Esimerkiksi se voisi olla tuulen nopeus ja suunta; tällöin puhuisimme esimerkiksi vektorikentästä. Sivuutamme tämän, koska nyt etsimme funktion f pienintä arvoa. Tasoesimerkissä, etsimme "syvintä kohtaa" tasossa.

Tarvitsemme tässä nyt apukäsitteitä, jotka esitämme algebrallisesti. Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee mm. avoimien joukkojen teoriaa. Topologiassa avoin joukko on juuriabstraktio, eli se määritellään puhtaasti algebrallisesti; Avaruuden X topologia T on kokoelma joukkoja, joita nimitetään avoimiksi joukoiksi; Topologialta vaaditaan seuraavat ominaisuudet:

1. Tyhjä joukko on avoin (eli kuuluu T:hen)
2. Koko avaruus on avoin (eli kuuluu T:hen)
3. Avointen joukkojen mikä tahansa yhdiste (unioni) on avoin
4. Avointen joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. 

Tämä määrittelee avoimet joukot täysin aksiomaattisesti ja on siten algebrallinen abstraktio. Se ei esimerkiksi yksikäsitteisesti määrittele topologiaa, vaan samalla avaruudella voi olla monta eri topologiaa. Jotta keskustelumme olisi mielekäs, tarvitsemme jonkin partikulaarisen topologian. Jos avaruudessa X on mielekästä puhua etäisyyksistä (eli metriikasta), niin metriikan indusoima topologia määritellään esimerkiksi avointen pallojen avulla: Se on minimaalinen topologia, jolle pätee että jokaiselle X:n pisteelle x ja jokaiselle nollaa suuremmalle epsilonille, joukko {z | d(z,x) < epsilon} on avoin.

Geometrinen intuitio (metriikan indusoimalle) avoimelle joukolle on, että sillä ei ole selkää rajaa. Tarkemmin sanoen, sillä voi kyllä olla reuna, mutta itse reuna ei kuulu joukkoon; mielivaltainen joukon piste, vaikka olisi kuinka lähellä reunaa, ei koskaan ole tarkalleen reunalla, vaan sen ympärillä on aina jokin (vaikkakin mahdollisesti hyvin pieni) ympäristö jossa on vain ja ainoastaan joukon pisteitä. Metriikka on geometrinen käsite ja topologia algebrallinen, mutta kun kiinnitämme metriikan indusoiman topologian, niin nämä kaksi käsitettä kohtaavat.

Funktio f : X --> Y on jatkuva jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin.  Tämä on abstrakti määritelmä, joka kiinnittää jatkuvuuden topologiaan. Jatkuvuuteen liittyvät ominaisuudet voidaan kuitenkin palauttaa metriseen avaruuteen, jolloin voimme käyttää geometristä intuitiota. Jos otamme pisteen x avaruudesta X ja pisteen y = f(x) avaruudesta Y, jatkuvuus pisteessä x tarkoittaa, että kun tutkimme pisteen y avointa ympäristöä, voimme aina löytää jonkin x:n avoimen ympäristön avaruudessa X, joka kuvautuu kokonaisuudessaan tähän ympäristöön. Tämä on perinteisesti ilmaistu "epsilon-delta"- määritelmän avulla, eli jokaista positiivista epsilonia kohden on olemassa delta siten, että kun x' deltaa lähempänä pistettä x, niin f(x') on epsilonia lähempänä pistettä f(x).

Nämä algebralliset määritelmät voidaan sitten intuitiivisesti ymmärtää niin, että jos f  kerran on jatkuva pisteessä x, niin kun katsomme "hyvin läheltä" pistettä x, esimerkiksi pisteessä x', ja pistettä f(x), niin kun siirrymme lähemmäs x:ää pisteestä x', niin f(x'):sta siirrymme lähemmäs pistettä f(x).

Funktion derivoiutuvuus puolestaan voidaan ajatella samaan tapaan sekä algebrallisena että geometrisenä asiana. Algebrallisesti yleistys derivoituvuudesta on, että jos funktio f on derivoituva pisteessä x, niin kun teemme "pieniä muutoksia" funktion arvossa, voimme approksimoida sitä lineaarikuvauksella. Merkitään tätä pientä muutosta kirjaimella h.
Tällöin f(x + h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h). Tässä siis f(x+h) on funktion arvo "lähellä" pistettä x, f(x) on funktion arvo pisteessä x. f'(x)[ ] puolestaan on lineaarikuvaus X-->Y. Lineaarikuvaus on kuvaus, joka käyttäytyy "kiltisti", esimerkiksi niin että f'(x)[h + j] = f'(x)[h] + f'(x)[j]. Tässä siis h ja j ovat muuttujia; x on jokin kiinnitetty piste, ja eri pisteissä tietysti saamme eri kuvauksen. Termi r(x,h) puolestaan on virhetermi, joka lähestyy nollaa, kun h lähestyy nollaa. Huomaa, että kokonaisvirhe riippuu myös h:n normista, eli kokonaisvirhe on vielä tätäkin pienempi.

Tämä algebrallinen karakterisointi voi olla hankala ymmärtää, ja korkeampidimensioisissa tapauksissa se on myös hankalaa hahmottaa geometrisesti. Toisaalta perinteinen lukiotason intuitioselitys yhdessä dimensiossa on varsin kehno geometrisen intuition kannalta.

Kaksiulotteisessa esimerkissämme tämä on ehkä helpompaa. Derivoituvuus voidaan  ymmärtää seuraavalla tavalla: Kun katsomme funktion f(x) arvoa pisteessä x, ja lähdemme siirtymään tasossa johonkin suuntaan, esimerkiksi suuntaan h, niin funktion arvo lähtee muuttumaan. Funktion derivaattana tässä toimii toinen "suuntaa" antava vektori, f'(x) -- jota näissä tapauksissa usein nimitämme gradientiksi. Se osoittaa suuntaan, jossa funktion f arvo kasvaa kaikkein eniten. Esimerkissämme jossa f(x,y) tulkittiin "korkeudeksi" tason pisteessä (x,y), voimme käyttää geometristä intuitiota. Gradientti pisteessa (x,y) osoittaa suuntaan jossa "mäki" on "jyrkin". Kääntäen, jos meillä olisi esimerkiksi tasainen painovoima tässä tasossa, niin pisteeseen (x,y) asetettu pallo lähtisi vierimään tarkalleen päinvastaiseen suuntaan kuin mihin gradientti osoittaa.

Toinen fysikaalinen tulkinta tässä tilanteessa voisi olla esimerkiksi, että kun siirrämme jotakin painavaa esinettä pisteen (x,y) ympäristössä, gradientti osoittaa suunnan johon päin pitää tehdä työtä; jos liikumme kohtisuoraan gradienttiin nähden, niin pysymme suunnilleen samalla korkeudella. Tässä puhumme tietenkin "äärimmäisen pienistä" muutoksista, sillä pinta kaareutuu kun siirrymme pisteestä hieman.

Joudumme tekemään kuitenkin joitain oletuksia, jotta derivoituvuus on voimassa. Näistä tärkein on se, että virhetermi r(x,h) lähestyy nollaa kun h lähestyy nollaa. Mitä se tarkoittaa geometrisesti? Kun approksimoimme funktiota pisteen x ympäristössä lineaarikuvauksella, niin (tasoesimerkissämme) ajattelemme että funktio on pisteen x pienessä ympäristössä lähes täysin litteä. Mitä lähempää katsomme pistettä x, sitä litteämmältä maasto siinä kohtaa näyttää. (Litteä, merkityksessä ei-kaareutuva; toki se voi olla "vinossa") Mitä lähempää tarkastelemme, sitä pienemmäksi r(x,h) muuttuu, ja sitä tarkemmin pikkiriikkiset muutokset vastaavat f(x+h):n arvoa.

Intuitio jostakin määritelmästä ei ole kunnolla mahdollinen, ellemme ymmärrä, miltä näyttää tilanne, jossa määritelmä ei päde. Esimerkiksi, jos virhetermi ei lähesty nollaa, vaan on vaikkapa vakio. Kuvitellaan tilannetta, jossa f koostuu lokaalisti kahdesta täysin levymäisen tasaisesta pätkästä, mutta jossa on kulma juuri x:n kohdalla. Kun liikumme vähän sivuun x:stä, f on täysin tasainen (ja siten toki myös derivoituva), mutta pisteessä x on kulma. Jos yritämme sovitella tasoa pisteeseen x, niin taso "keikkuu" pisteen x ympäristössä, mutta ei kosketa f:n määrittämää pintaa  vaikka hiukan sitä kääntelemmekin. Ja jos katsomme pistettä x läheltä, niin siinä se kulma on, vaikka katsoisimme kuinka läheltä tahansa.

Jos etsimme funktion f pienintä arvoa, niin tiedämme että jos f on derivoituva, ja pisteessä x derivaatta poikkeaa nollasta -- vektorien tapauksessa siis gradientti osoittaa johonkin suuntaan -- niin tiedämme että kulkemalla vastakkaiseen suuntaan "hieman", funktion arvo väkisinkin pienenee. Jos kuljemme riittävän pitkälle, se alkaa mahdollisesti taas kasvaa (ja virhe on jo varsin suuri), mutta jonkin matkaa kulkemalla voimme ainakin löytää pienemmän arvon. Tässä pisteessä voimme sitten tarkastella uudelleen; jos gradientti on nyt nolla, ei funktio ainakaan millään ilmeisellä tavalla voi pienentyä. Vaihtoehtoisesti, voi olla ettei funktio äkkiä olekaan derivoituva, mikä puolestaan tarkoittaa, ettemme suoranaisesti tiedä mitä sille tapahtuu  jos liikumme kyseisen pisteen ympäristössä.

En mene tähän teoriaan sen enempää, koska se ei ole olennaista. Olennaista on, että geometrinen intuitio ja algebrallinen intuitio kertovat saman asian: Löytääksemme pienimmän arvon, täytyy katsoa paikkaa jossa gradientti on nolla, tai jossa sitä ei ole olemassa.

Optimoitavan funktion lisäksi meillä on joitakin rajoitteita sille, mihin alueeseen rajoitamme tehtävän. Esimerkiksi, voimme hyväksyä vain pisteet, jotka ovat 1-säteisen ympyrän sisällä. Tällöin meillä olisi rajoite x^2 + y^2 < 1. (tai yhtäsuuri, jos haluamme että alue on suljettu). Nyt näemme, että me ilmaisemme intuition (ympyrä) algebrallisesti (kaava).  Oletamme että rajoite on muotoa g(x) <= 0.  Tällaisessa tilanteessa emme voi kulkea gradienttia vastaan pidemmälle kuin tilanteeseen jossa g(x) = 0. Tässä kohtaa tulee siis reuna vastaan.

Nyt jos tarkastelemme tällaista reunaa, niin se esimerkissämme on ympyrän kehä. Kun tulemme ympyrän kehälle, g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0.  Jos funktion gradientti osoittaa ympyrän sisällepäin jonnekin, niin funktio tässä pisteessä pienenisi jos menisimme ympyrän  ulkopuolelle. Mutta me etsimme nimenomaan funktion pienintä arvoa ympyrän sisältä tai korkeintaan reunalta.  On mahdollista, että funktio saavuttaa pienimmän arvonsa ympyrän sisällä jossakin, esimerkiksi pisteessä (x*,y*).  Tällöin rajoitteella sinänsä ei ole merkitystä, koska kun liikumme hieman tämän pisteen ympäristössä rajoite pätee, ja toisaalta funktion itsensä arvo kasvaa jos lähestymme reunoja.

Mutta entä jos ilman rajoitetta pienin arvo onkin jossakin hieman ympyrän ulkopuolella? Tällöin usein pienin arvo löytyy reunalta. Mutta mistä sieltä?  Tässäkin voimme tarkastella gradienttia; se osoittaa jonnekin ympyrän sisällepäin, mutta entä jos liikumme reunaa pitkin hieman; emme ulos emmekä sisälle, vaan pitkin reunaa? Tällöin funktion g(x) arvo pysyy samana -- olemmehan reunalla. Jos funktio g(x) on derivoituva -- olettakaamme nyt niin -- sen arvo pysyy samana kun liikumme kohtisuoraan sen gradienttiin nähden. Eli, g(x+h) =g(x) + g'(x)[h] + ||h||r(x,h); mutta koska tämän pitäisi olla likipitäen g(x), ja koska r(x,h) on likipitäen nolla, niin pitäisi päteä g'(x)[h] = 0.

Toisaalta funktion f arvon pitäisi pienentyä, eli f(x+h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h) pitäisi olla pienempi kuin f(x); jälleen jos oletamme että virhetermi on likipitäen nolla, pitäisi päteä f'(x)[h] < 0.  Voimme ottaa tällaisia askeleita reunaa pitkin, kunnes lopulta f'(x)[h] = 0 pätee myös.

Täytyisi siis löytyä piste x siten, että jollekin (hyvin pienelle) nollasta poikkeavalle vektorille h pätee f'(x)[h] = g'(x)[h] = 0. Tasossa tämä tarkoittaisi, että löytyy vektori siten, että sekä f:n että g:n gradientti on tätä vektoria vastaan kohtisuorassa. Mutta tätä taas ei voi tapahtua, elleivät f ja g itse asiassa osoitta samaan (tai vastakkaiseen suuntaan). Tällaisessa pisteessä siis pätee että f'(x) = a*g'(x) jollekin a.

Johdimme tässä, käyttäen geometrista ja algebrallista intuitiota erityistapauksen niin kutsutuista Karush-Kuhn-Tucker- ehdoista. Itselleni noiden ehtojen hahmottaminen oli aikanaan hieman vaikeaa, enkä ymmärtänyt niitä ennen kuin diplomityötä tehdessäni jouduin ohjelmoimaan erään algoritmin joka etsii KKT-pisteitä. Ymmärrykseni oli tuolloin kuitenkin puhtaasti algebrallista. Tämä johtui puolestaan siitä että ymmärryksen tarve kumpusi siitä, että minun piti kirjoittaa ohjelma joka laskee -- algebrallisesti, tekstuaalisesti jne -- noita pisteitä, enkä käyttänyt geometrista intuitiota lainkaan.

Vanhemmalla iällä olen alkanut arvostaa geometristä intuitiota enemmän.