Olen toki treenannut edelleen vaikken ole asiasta pahemmin kirjoittanut. Paino on pysynyt samoissa lukemissa, hiukan alle 90 kilon, en ole tarkkaillut syömistäni viime aikoina pahemmin, vaan syönyt nälän ja tuntemusten mukaan.
Kuten jossain vaiheessa sanoin, selkäni ei ole täysin terve, eikä se sellaiseksi todennäköisesti tulekaan koskaan. Tämä ei kuitenkaan ole vienyt minulta motivaatiota treenaamiseen, vaikka se haasteita asettaakin.
Fysioterapeutin ohjeistusta olen noudattanut, eli varonut ns butt-wink:iä kyykyssä ja tehnyt fyssarin suosittelemia venytyksiä ja liikkeitä pari kertaa viikossa. Tämän lisäksi olen jatkanut maltillista progressiota. Kyykky on vastannut hyvin treeniin, maastaveto hiukan huonommin, ja penkkipunnerrus on edennyt todella hyvin.
Viimeaikaisia harjoitusmääriä:
Kyykky: Tiistain volyymipäivässä 4x6 @ 117.5k, perjantain intensiteetissä 3x135.
Mave: Alkuviikon treenissä FatGripzeillä 5x90kg, perjantain intensiteetissä 2x150 + 5x130
Penkkipunnerrus: Volyymipäivässä 4x6@90kg, intensiteetissä 3x3x100.
Pystypunnerrus: Volyymipäivässä 4x5@55kg, intensiteetissä pummasin ykkösen 65kg:lla.
Pystypunnerrus on näistä vaikein saada nousemaan (pun intended), kun taasen penkkipunnerrus tuntuu minulla kehittyvän aika vaivattomasti -- kunhan olkapää pysyy kunnossa. Epäilisin olevani pienellä herkistelyllä kohtapuoleen sellaisessa 115kg penkkikunnossa, mutten aio vielä hetkeen kokeilla mitään maksimeita. Pudotan volyymin 4x6:sta 3x5:een ja sitten 5x3:een, samalla nostaen intensiteettiä. Intensiteettipäivässä taas 3x3:n sijaan ehkä teen 4x2:sta. Koska teen progressiota näissä vain käytännössä joka toinen viikko, tuo 115kg penkki on jossain pääsiäisen tienoilla vasta.
Kyykyssä tosiaan on 4x6 / 1x3 ollut minulla nyt teossa. 4x6 on niin iso volyymi, että siitä tulee jalat kipeäksi pariksi päiväksi. Tämä on tarkoituksellista, sillä lumien sulaminen on enää ehkä kahden kuukauden päässä, ja sitten alkaa juokseminen. Juoksukausi kestää minulla noin 5kk, jonka aikana puolimaratonkunto pitää hankkia -- se on ei-triviaali tehtävä, jonka aikana jaloista häipyy massaa, joten nyt pitää kerätä "varastoon" lihasta. 1x3 taas mahdollistaa raskaammat painot, mikä puolestaan vahvistaa jänteitä, luita ja niveliä.
Juoksuharrastus on minulle vähän ristiriitainen asia. Juokseminen ei ole terveellistä, se on itse asiassa suunnilleen huonoin ja epäterveellisin liikuntamuoto mitä ajatella saattaa. Juoksijat, erityisesti kestävyysjuoksijat, kärsivät huomattavan paljon erilaisista tuki- ja liikuntaelinsairauksista, kroonisista tulehduksista, sydänvaivoista jne. Mutta toisaalta, runners' high on ehkä paras huume ikinä. Ja se on täysin laillista ja sosiaalisesti hyväksyttyä päihdettä.
On selvää, että kevään mittaan tuskin pääsen maastavedossa ennätyksille. 175 ei tule rikkoutumaan, hyvä jos sitä sivutaan. Selkä sanelee siinä tahdin, ja tämän päivän 2x150 kertoi kyllä riittävästi: Ei vielä ainakaan. Kyykky sen sijaan tuntuu toimivan aika hyvin, ja siinä voidaan päästä yli 145:en ennen lumien lähtöä. Tämän päivän 3x135 ei ollut erityisen raskas. En tehnyt sitä edes häkissä, koska ei ollut mitään syytä pelätä ettei se nousisi. Hyvänä päivänä 145 voisi mennä jo nyt, mutten aio kiirehtiä sen kanssa yhtään. Ensi viikolla 3x137.5, seuraavalla 3x140 jne.
Intensiteetti/volyymi- jaolla tulee vain kaksi päivää, tällä hetkellä maanantai ja perjantai. Keskiviikon olen omistanut pääosin vetäville liikkeille. Vaihtelen palettia viikosta toiseen hieman; en tarpeen vuoksi, vaan huvin vuoksi oikeastaan. Kunnon tavoitteellinen treeni tarkoittaisi että keskittyisi joksikin aikaa yhteen liikkeeseen ja pitäisi muut apuliikkeinä. Jos tällaisen liikkkeen ottaisin, se olisi ehdottomasti leuanveto, mutta teen sitä tällä hetkellä vain pari kertaa viikossa enkä edes varsinaisesti progressiivisesti, vaan "fiiliksen mukaan".
Muita vetäviä liikkeitä joita olen tehnyt, on ns. "moottorisaha", eli yhden käden soutu käsipainolla. Se on sopivan miehekkään oloinen liike, mutta siinä pystyy "huijaamaan" sen verran että progressio on hankalaa toteuttaa rehellisesti. Huomasin tämän kun painoa 2.5kg per treenikerta nostettuani vähän aikaa aloin vedellä 45kg per käsi, ja tajusin että se alkoi ottaa jo selän kiertäjiin. Vaihdoin siksi tapojeni vastaisesti koneeseen, jossa liikettä voi tehdä huijaamatta, painaen rinnan penkkiä vasten. Kolmas vaihtoehto on ns barbell row, jota tein aikanaan paljonkin. Siinä on samoja ongelmia kuin "moottorisahassa", eli siinä voi auttaa selällä. Lisäksi olen pyrkinyt lisäämään liikkeitä joissa ei tehdä tangolla, jolloin kädet eivät pääse tukemaan toisiaan. Tällöin ei pääse käymään niin että dominantti käsi kompensoi ja tekniikka heikkenee.
Iän mukana edistyminen hidastuu kahdesta syystä. Ensimmäinen on tietenkin ilmeinen, eli kun lähestyy potentiaaliaan, niin edistystä ei voi tapahtua samaa tahtia. Toinen on se, että toipuminen muutoinkin hidastuu vanhemmiten. Harjoittelu toki harjoittaa myös toipumista, sillä toipumis"kyky" on harjoitteluun reagoiva kyky siinä missä voimakin. Erilaiset loukkaantumiset ovat kuitenkin väistämättömiä, samoin neuromuskulaarisen tehon väheneminen; vaikka voimat voivatkin kasvaa vielä eläkepäiviin saakka, voiman käyttöönotto hidastuu, eli ns. räjähtävyys vähenee. Lopulta tämä näkyy toki myös voimantuoton vähenemisenä.
Vielä ei olla siellä.
perjantai 23. helmikuuta 2018
keskiviikko 21. helmikuuta 2018
Depeche Mode
Ajoimme eilen Hartwall-areenalle katsomaan Depeche Moden keikkaa. Areena oli silmämääräisesti katsoen melkein täynnä. En osaa arvioida prosenttiosuutta, mutta vapaita paikkoja ei juuri näkynyt ja permantokin oli melko täynnä. En ole ns. keikkaihminen; en seuraa bändejä enkä "fanita" mitään artisteja. Tämä oli ensimmäinen varsinainen "keikka" liki kahteenkymmeneen vuoteen, jonne lähdin.
Päällimmäinen vaikutelma esityksestä oli, että Dave Gahanin ääni on aivan uskomattoman kovassa kunnossa kaikkien näiden vuosien jälkeen. Ensin epäilin että laulu olisi vedetty playback:inä -- siinä määrin miehen ääni soi, suorastaan jylisi. Näin ei kuitenkaan selvästikään ollut. Tämä on erittäin vaikuttavaa, sillä useimmilla miessolisteilla ääni karhenee iän myötä lähes soinnittomaksi.
EDIT: Tämä biisi esitettiin myös.
Päällimmäinen vaikutelma esityksestä oli, että Dave Gahanin ääni on aivan uskomattoman kovassa kunnossa kaikkien näiden vuosien jälkeen. Ensin epäilin että laulu olisi vedetty playback:inä -- siinä määrin miehen ääni soi, suorastaan jylisi. Näin ei kuitenkaan selvästikään ollut. Tämä on erittäin vaikuttavaa, sillä useimmilla miessolisteilla ääni karhenee iän myötä lähes soinnittomaksi.
EDIT: Tämä biisi esitettiin myös.
perjantai 16. helmikuuta 2018
Intuitiosta
Olen opettanut matematiikkaa tai matemaattis-loogisia aiheita nyt 20
vuotta. Mukaan lukeutuu hyvin laaja kirjo tällaisia aloja, kuten
tilastomatematiikkaa, lineaarialgebraa, algebraa, optimointiteoriaa,
differentiaaliyhtälöitä, matemaattista logiikkaa,
tietojenkäsittelyteoriaa, algoritmiikkaa, ohjelmointikielten teoriaa,
formaalien kielten teoriaa, graafiteoriaa, todennäköisyyslaskentaa ja
ties mitä.
Yksi ongelma joka matematiikan opiskelussa ja myöskin opettamisessa on, on intuition opettaminen. Intuitiota on monenlaista, mutta karkeasti jaan ne nyt algebralliseen ja geometriseen intuitioon. Ero ei ole selkeä, eikä missään nimessä tarkka, eikä näiden sanojen arkimerkitys tavoita itse ilmiötä. Tässä kirjoituksessa koetan hiukan luonnostella näitä intuition muotoja ja sitä miten oman kokemukseni perusteella asia näyttäytyy. Huomautan että intuitio on kuitenkin aina väistämättä ihmisen pään sisäinen asia, jota on viime kädessä mahdotonta tavoittaa täysin sanallisesti; Wittgensteinia mukaillen, sitä ei voi ilmaista, vaan se ilmenee.
Geometrinen intuitio on näistä ehkä tutumpi ihmisille. Se viittaa avaruudellisiin mielensisältöihin ja tuntemuksiin, kuten muotoihin, etäisyyksiin, suuntiin jne. Esimerkiksi maastonmuodot voidaan ymmärtää geometrisen intuition kautta, "suuntavaisto" nojaa geometriseen intuitioon. Kuvanveisto tms vaatii geometristä intuitiota, samoin piirtäminen; palaan tähän vielä tuonnempana. Algebrallinen intuitio puolestaan on lähempänä sitä mitä nimitämme loogiseksi tai kielelliseksi ajatteluksi. Se viittaa kokemuksiin erilaisten symbolien välisistä suhteista. Erilaiset kielioppisäännöt, laskusäännöt jne, opitaan sisäistämällä ne nimenomaan algebrallisen intuition osaksi.
Karkeasti erottelun voi ymmärtää niin, että geometrinen intuitio on partikulaaristen ja konkreettisten esimerkkien intuitiota, kun taas algebrallinen intuitio on universaalien ja abstraktien esimerkkien intuitiota. Mikään ajattelutapa ei ole täydellinen; toinen ei ole "parempi" kuin toinen, vaan nämä ovat matematiikan rakennusosaset joita ilman matematiikkaa ei voi "ymmärtää".
Otetaan esimerkki optimointiteoriasta. Ajatellaan että meillä on jokin avaruus X, jossa meillä on pisteitä. Lukija pääsee helpoimmalla, jos tässä ajattelee 2-ulotteista reaalilukuavaruutta, tutummin, xy-tasoa, jossa jokainen piste esitetään parina (x,y). Tässä siis geometrinen intuitio on esimerkiksi taso, jokin pinta. Vaikeammaksi menee, jos täytyy ajatella 3-ulotteista avaruutta, mutta halutessaan voi näinkin tehdä.
Tässä avaruudessa X, meillä on funktio f(x), joka saa reaalilukuarvoja. Esimerkissämme, jossa meillä on taso, voimme ajatella että funktio kertoo pinnan korkeuden kussakin pisteessä. Kolmiulotteisessa tapauksessa voimme ajatella vaikkapa lämpötilaa huoneen jokaisessa pisteessä. Tässä kohtaa toki funktio f(x) voisi saada itse myös useampiulotteisen arvon. Esimerkiksi se voisi olla tuulen nopeus ja suunta; tällöin puhuisimme esimerkiksi vektorikentästä. Sivuutamme tämän, koska nyt etsimme funktion f pienintä arvoa. Tasoesimerkissä, etsimme "syvintä kohtaa" tasossa.
Tarvitsemme tässä nyt apukäsitteitä, jotka esitämme algebrallisesti. Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee mm. avoimien joukkojen teoriaa. Topologiassa avoin joukko on juuriabstraktio, eli se määritellään puhtaasti algebrallisesti; Avaruuden X topologia T on kokoelma joukkoja, joita nimitetään avoimiksi joukoiksi; Topologialta vaaditaan seuraavat ominaisuudet:
Geometrinen intuitio (metriikan indusoimalle) avoimelle joukolle on, että sillä ei ole selkää rajaa. Tarkemmin sanoen, sillä voi kyllä olla reuna, mutta itse reuna ei kuulu joukkoon; mielivaltainen joukon piste, vaikka olisi kuinka lähellä reunaa, ei koskaan ole tarkalleen reunalla, vaan sen ympärillä on aina jokin (vaikkakin mahdollisesti hyvin pieni) ympäristö jossa on vain ja ainoastaan joukon pisteitä. Metriikka on geometrinen käsite ja topologia algebrallinen, mutta kun kiinnitämme metriikan indusoiman topologian, niin nämä kaksi käsitettä kohtaavat.
Funktio f : X --> Y on jatkuva jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Tämä on abstrakti määritelmä, joka kiinnittää jatkuvuuden topologiaan. Jatkuvuuteen liittyvät ominaisuudet voidaan kuitenkin palauttaa metriseen avaruuteen, jolloin voimme käyttää geometristä intuitiota. Jos otamme pisteen x avaruudesta X ja pisteen y = f(x) avaruudesta Y, jatkuvuus pisteessä x tarkoittaa, että kun tutkimme pisteen y avointa ympäristöä, voimme aina löytää jonkin x:n avoimen ympäristön avaruudessa X, joka kuvautuu kokonaisuudessaan tähän ympäristöön. Tämä on perinteisesti ilmaistu "epsilon-delta"- määritelmän avulla, eli jokaista positiivista epsilonia kohden on olemassa delta siten, että kun x' deltaa lähempänä pistettä x, niin f(x') on epsilonia lähempänä pistettä f(x).
Nämä algebralliset määritelmät voidaan sitten intuitiivisesti ymmärtää niin, että jos f kerran on jatkuva pisteessä x, niin kun katsomme "hyvin läheltä" pistettä x, esimerkiksi pisteessä x', ja pistettä f(x), niin kun siirrymme lähemmäs x:ää pisteestä x', niin f(x'):sta siirrymme lähemmäs pistettä f(x).
Funktion derivoiutuvuus puolestaan voidaan ajatella samaan tapaan sekä algebrallisena että geometrisenä asiana. Algebrallisesti yleistys derivoituvuudesta on, että jos funktio f on derivoituva pisteessä x, niin kun teemme "pieniä muutoksia" funktion arvossa, voimme approksimoida sitä lineaarikuvauksella. Merkitään tätä pientä muutosta kirjaimella h.
Tällöin f(x + h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h). Tässä siis f(x+h) on funktion arvo "lähellä" pistettä x, f(x) on funktion arvo pisteessä x. f'(x)[ ] puolestaan on lineaarikuvaus X-->Y. Lineaarikuvaus on kuvaus, joka käyttäytyy "kiltisti", esimerkiksi niin että f'(x)[h + j] = f'(x)[h] + f'(x)[j]. Tässä siis h ja j ovat muuttujia; x on jokin kiinnitetty piste, ja eri pisteissä tietysti saamme eri kuvauksen. Termi r(x,h) puolestaan on virhetermi, joka lähestyy nollaa, kun h lähestyy nollaa. Huomaa, että kokonaisvirhe riippuu myös h:n normista, eli kokonaisvirhe on vielä tätäkin pienempi.
Tämä algebrallinen karakterisointi voi olla hankala ymmärtää, ja korkeampidimensioisissa tapauksissa se on myös hankalaa hahmottaa geometrisesti. Toisaalta perinteinen lukiotason intuitioselitys yhdessä dimensiossa on varsin kehno geometrisen intuition kannalta.
Kaksiulotteisessa esimerkissämme tämä on ehkä helpompaa. Derivoituvuus voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla: Kun katsomme funktion f(x) arvoa pisteessä x, ja lähdemme siirtymään tasossa johonkin suuntaan, esimerkiksi suuntaan h, niin funktion arvo lähtee muuttumaan. Funktion derivaattana tässä toimii toinen "suuntaa" antava vektori, f'(x) -- jota näissä tapauksissa usein nimitämme gradientiksi. Se osoittaa suuntaan, jossa funktion f arvo kasvaa kaikkein eniten. Esimerkissämme jossa f(x,y) tulkittiin "korkeudeksi" tason pisteessä (x,y), voimme käyttää geometristä intuitiota. Gradientti pisteessa (x,y) osoittaa suuntaan jossa "mäki" on "jyrkin". Kääntäen, jos meillä olisi esimerkiksi tasainen painovoima tässä tasossa, niin pisteeseen (x,y) asetettu pallo lähtisi vierimään tarkalleen päinvastaiseen suuntaan kuin mihin gradientti osoittaa.
Toinen fysikaalinen tulkinta tässä tilanteessa voisi olla esimerkiksi, että kun siirrämme jotakin painavaa esinettä pisteen (x,y) ympäristössä, gradientti osoittaa suunnan johon päin pitää tehdä työtä; jos liikumme kohtisuoraan gradienttiin nähden, niin pysymme suunnilleen samalla korkeudella. Tässä puhumme tietenkin "äärimmäisen pienistä" muutoksista, sillä pinta kaareutuu kun siirrymme pisteestä hieman.
Joudumme tekemään kuitenkin joitain oletuksia, jotta derivoituvuus on voimassa. Näistä tärkein on se, että virhetermi r(x,h) lähestyy nollaa kun h lähestyy nollaa. Mitä se tarkoittaa geometrisesti? Kun approksimoimme funktiota pisteen x ympäristössä lineaarikuvauksella, niin (tasoesimerkissämme) ajattelemme että funktio on pisteen x pienessä ympäristössä lähes täysin litteä. Mitä lähempää katsomme pistettä x, sitä litteämmältä maasto siinä kohtaa näyttää. (Litteä, merkityksessä ei-kaareutuva; toki se voi olla "vinossa") Mitä lähempää tarkastelemme, sitä pienemmäksi r(x,h) muuttuu, ja sitä tarkemmin pikkiriikkiset muutokset vastaavat f(x+h):n arvoa.
Intuitio jostakin määritelmästä ei ole kunnolla mahdollinen, ellemme ymmärrä, miltä näyttää tilanne, jossa määritelmä ei päde. Esimerkiksi, jos virhetermi ei lähesty nollaa, vaan on vaikkapa vakio. Kuvitellaan tilannetta, jossa f koostuu lokaalisti kahdesta täysin levymäisen tasaisesta pätkästä, mutta jossa on kulma juuri x:n kohdalla. Kun liikumme vähän sivuun x:stä, f on täysin tasainen (ja siten toki myös derivoituva), mutta pisteessä x on kulma. Jos yritämme sovitella tasoa pisteeseen x, niin taso "keikkuu" pisteen x ympäristössä, mutta ei kosketa f:n määrittämää pintaa vaikka hiukan sitä kääntelemmekin. Ja jos katsomme pistettä x läheltä, niin siinä se kulma on, vaikka katsoisimme kuinka läheltä tahansa.
Jos etsimme funktion f pienintä arvoa, niin tiedämme että jos f on derivoituva, ja pisteessä x derivaatta poikkeaa nollasta -- vektorien tapauksessa siis gradientti osoittaa johonkin suuntaan -- niin tiedämme että kulkemalla vastakkaiseen suuntaan "hieman", funktion arvo väkisinkin pienenee. Jos kuljemme riittävän pitkälle, se alkaa mahdollisesti taas kasvaa (ja virhe on jo varsin suuri), mutta jonkin matkaa kulkemalla voimme ainakin löytää pienemmän arvon. Tässä pisteessä voimme sitten tarkastella uudelleen; jos gradientti on nyt nolla, ei funktio ainakaan millään ilmeisellä tavalla voi pienentyä. Vaihtoehtoisesti, voi olla ettei funktio äkkiä olekaan derivoituva, mikä puolestaan tarkoittaa, ettemme suoranaisesti tiedä mitä sille tapahtuu jos liikumme kyseisen pisteen ympäristössä.
En mene tähän teoriaan sen enempää, koska se ei ole olennaista. Olennaista on, että geometrinen intuitio ja algebrallinen intuitio kertovat saman asian: Löytääksemme pienimmän arvon, täytyy katsoa paikkaa jossa gradientti on nolla, tai jossa sitä ei ole olemassa.
Optimoitavan funktion lisäksi meillä on joitakin rajoitteita sille, mihin alueeseen rajoitamme tehtävän. Esimerkiksi, voimme hyväksyä vain pisteet, jotka ovat 1-säteisen ympyrän sisällä. Tällöin meillä olisi rajoite x^2 + y^2 < 1. (tai yhtäsuuri, jos haluamme että alue on suljettu). Nyt näemme, että me ilmaisemme intuition (ympyrä) algebrallisesti (kaava). Oletamme että rajoite on muotoa g(x) <= 0. Tällaisessa tilanteessa emme voi kulkea gradienttia vastaan pidemmälle kuin tilanteeseen jossa g(x) = 0. Tässä kohtaa tulee siis reuna vastaan.
Nyt jos tarkastelemme tällaista reunaa, niin se esimerkissämme on ympyrän kehä. Kun tulemme ympyrän kehälle, g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0. Jos funktion gradientti osoittaa ympyrän sisällepäin jonnekin, niin funktio tässä pisteessä pienenisi jos menisimme ympyrän ulkopuolelle. Mutta me etsimme nimenomaan funktion pienintä arvoa ympyrän sisältä tai korkeintaan reunalta. On mahdollista, että funktio saavuttaa pienimmän arvonsa ympyrän sisällä jossakin, esimerkiksi pisteessä (x*,y*). Tällöin rajoitteella sinänsä ei ole merkitystä, koska kun liikumme hieman tämän pisteen ympäristössä rajoite pätee, ja toisaalta funktion itsensä arvo kasvaa jos lähestymme reunoja.
Mutta entä jos ilman rajoitetta pienin arvo onkin jossakin hieman ympyrän ulkopuolella? Tällöin usein pienin arvo löytyy reunalta. Mutta mistä sieltä? Tässäkin voimme tarkastella gradienttia; se osoittaa jonnekin ympyrän sisällepäin, mutta entä jos liikumme reunaa pitkin hieman; emme ulos emmekä sisälle, vaan pitkin reunaa? Tällöin funktion g(x) arvo pysyy samana -- olemmehan reunalla. Jos funktio g(x) on derivoituva -- olettakaamme nyt niin -- sen arvo pysyy samana kun liikumme kohtisuoraan sen gradienttiin nähden. Eli, g(x+h) =g(x) + g'(x)[h] + ||h||r(x,h); mutta koska tämän pitäisi olla likipitäen g(x), ja koska r(x,h) on likipitäen nolla, niin pitäisi päteä g'(x)[h] = 0.
Toisaalta funktion f arvon pitäisi pienentyä, eli f(x+h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h) pitäisi olla pienempi kuin f(x); jälleen jos oletamme että virhetermi on likipitäen nolla, pitäisi päteä f'(x)[h] < 0. Voimme ottaa tällaisia askeleita reunaa pitkin, kunnes lopulta f'(x)[h] = 0 pätee myös.
Täytyisi siis löytyä piste x siten, että jollekin (hyvin pienelle) nollasta poikkeavalle vektorille h pätee f'(x)[h] = g'(x)[h] = 0. Tasossa tämä tarkoittaisi, että löytyy vektori siten, että sekä f:n että g:n gradientti on tätä vektoria vastaan kohtisuorassa. Mutta tätä taas ei voi tapahtua, elleivät f ja g itse asiassa osoitta samaan (tai vastakkaiseen suuntaan). Tällaisessa pisteessä siis pätee että f'(x) = a*g'(x) jollekin a.
Johdimme tässä, käyttäen geometrista ja algebrallista intuitiota erityistapauksen niin kutsutuista Karush-Kuhn-Tucker- ehdoista. Itselleni noiden ehtojen hahmottaminen oli aikanaan hieman vaikeaa, enkä ymmärtänyt niitä ennen kuin diplomityötä tehdessäni jouduin ohjelmoimaan erään algoritmin joka etsii KKT-pisteitä. Ymmärrykseni oli tuolloin kuitenkin puhtaasti algebrallista. Tämä johtui puolestaan siitä että ymmärryksen tarve kumpusi siitä, että minun piti kirjoittaa ohjelma joka laskee -- algebrallisesti, tekstuaalisesti jne -- noita pisteitä, enkä käyttänyt geometrista intuitiota lainkaan.
Vanhemmalla iällä olen alkanut arvostaa geometristä intuitiota enemmän.
Yksi ongelma joka matematiikan opiskelussa ja myöskin opettamisessa on, on intuition opettaminen. Intuitiota on monenlaista, mutta karkeasti jaan ne nyt algebralliseen ja geometriseen intuitioon. Ero ei ole selkeä, eikä missään nimessä tarkka, eikä näiden sanojen arkimerkitys tavoita itse ilmiötä. Tässä kirjoituksessa koetan hiukan luonnostella näitä intuition muotoja ja sitä miten oman kokemukseni perusteella asia näyttäytyy. Huomautan että intuitio on kuitenkin aina väistämättä ihmisen pään sisäinen asia, jota on viime kädessä mahdotonta tavoittaa täysin sanallisesti; Wittgensteinia mukaillen, sitä ei voi ilmaista, vaan se ilmenee.
Geometrinen intuitio on näistä ehkä tutumpi ihmisille. Se viittaa avaruudellisiin mielensisältöihin ja tuntemuksiin, kuten muotoihin, etäisyyksiin, suuntiin jne. Esimerkiksi maastonmuodot voidaan ymmärtää geometrisen intuition kautta, "suuntavaisto" nojaa geometriseen intuitioon. Kuvanveisto tms vaatii geometristä intuitiota, samoin piirtäminen; palaan tähän vielä tuonnempana. Algebrallinen intuitio puolestaan on lähempänä sitä mitä nimitämme loogiseksi tai kielelliseksi ajatteluksi. Se viittaa kokemuksiin erilaisten symbolien välisistä suhteista. Erilaiset kielioppisäännöt, laskusäännöt jne, opitaan sisäistämällä ne nimenomaan algebrallisen intuition osaksi.
Karkeasti erottelun voi ymmärtää niin, että geometrinen intuitio on partikulaaristen ja konkreettisten esimerkkien intuitiota, kun taas algebrallinen intuitio on universaalien ja abstraktien esimerkkien intuitiota. Mikään ajattelutapa ei ole täydellinen; toinen ei ole "parempi" kuin toinen, vaan nämä ovat matematiikan rakennusosaset joita ilman matematiikkaa ei voi "ymmärtää".
Otetaan esimerkki optimointiteoriasta. Ajatellaan että meillä on jokin avaruus X, jossa meillä on pisteitä. Lukija pääsee helpoimmalla, jos tässä ajattelee 2-ulotteista reaalilukuavaruutta, tutummin, xy-tasoa, jossa jokainen piste esitetään parina (x,y). Tässä siis geometrinen intuitio on esimerkiksi taso, jokin pinta. Vaikeammaksi menee, jos täytyy ajatella 3-ulotteista avaruutta, mutta halutessaan voi näinkin tehdä.
Tässä avaruudessa X, meillä on funktio f(x), joka saa reaalilukuarvoja. Esimerkissämme, jossa meillä on taso, voimme ajatella että funktio kertoo pinnan korkeuden kussakin pisteessä. Kolmiulotteisessa tapauksessa voimme ajatella vaikkapa lämpötilaa huoneen jokaisessa pisteessä. Tässä kohtaa toki funktio f(x) voisi saada itse myös useampiulotteisen arvon. Esimerkiksi se voisi olla tuulen nopeus ja suunta; tällöin puhuisimme esimerkiksi vektorikentästä. Sivuutamme tämän, koska nyt etsimme funktion f pienintä arvoa. Tasoesimerkissä, etsimme "syvintä kohtaa" tasossa.
Tarvitsemme tässä nyt apukäsitteitä, jotka esitämme algebrallisesti. Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee mm. avoimien joukkojen teoriaa. Topologiassa avoin joukko on juuriabstraktio, eli se määritellään puhtaasti algebrallisesti; Avaruuden X topologia T on kokoelma joukkoja, joita nimitetään avoimiksi joukoiksi; Topologialta vaaditaan seuraavat ominaisuudet:
- Tyhjä joukko on avoin (eli kuuluu T:hen)
- Koko avaruus on avoin (eli kuuluu T:hen)
- Avointen joukkojen mikä tahansa yhdiste (unioni) on avoin
- Avointen joukkojen äärellinen leikkaus on avoin.
Geometrinen intuitio (metriikan indusoimalle) avoimelle joukolle on, että sillä ei ole selkää rajaa. Tarkemmin sanoen, sillä voi kyllä olla reuna, mutta itse reuna ei kuulu joukkoon; mielivaltainen joukon piste, vaikka olisi kuinka lähellä reunaa, ei koskaan ole tarkalleen reunalla, vaan sen ympärillä on aina jokin (vaikkakin mahdollisesti hyvin pieni) ympäristö jossa on vain ja ainoastaan joukon pisteitä. Metriikka on geometrinen käsite ja topologia algebrallinen, mutta kun kiinnitämme metriikan indusoiman topologian, niin nämä kaksi käsitettä kohtaavat.
Funktio f : X --> Y on jatkuva jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Tämä on abstrakti määritelmä, joka kiinnittää jatkuvuuden topologiaan. Jatkuvuuteen liittyvät ominaisuudet voidaan kuitenkin palauttaa metriseen avaruuteen, jolloin voimme käyttää geometristä intuitiota. Jos otamme pisteen x avaruudesta X ja pisteen y = f(x) avaruudesta Y, jatkuvuus pisteessä x tarkoittaa, että kun tutkimme pisteen y avointa ympäristöä, voimme aina löytää jonkin x:n avoimen ympäristön avaruudessa X, joka kuvautuu kokonaisuudessaan tähän ympäristöön. Tämä on perinteisesti ilmaistu "epsilon-delta"- määritelmän avulla, eli jokaista positiivista epsilonia kohden on olemassa delta siten, että kun x' deltaa lähempänä pistettä x, niin f(x') on epsilonia lähempänä pistettä f(x).
Nämä algebralliset määritelmät voidaan sitten intuitiivisesti ymmärtää niin, että jos f kerran on jatkuva pisteessä x, niin kun katsomme "hyvin läheltä" pistettä x, esimerkiksi pisteessä x', ja pistettä f(x), niin kun siirrymme lähemmäs x:ää pisteestä x', niin f(x'):sta siirrymme lähemmäs pistettä f(x).
Funktion derivoiutuvuus puolestaan voidaan ajatella samaan tapaan sekä algebrallisena että geometrisenä asiana. Algebrallisesti yleistys derivoituvuudesta on, että jos funktio f on derivoituva pisteessä x, niin kun teemme "pieniä muutoksia" funktion arvossa, voimme approksimoida sitä lineaarikuvauksella. Merkitään tätä pientä muutosta kirjaimella h.
Tällöin f(x + h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h). Tässä siis f(x+h) on funktion arvo "lähellä" pistettä x, f(x) on funktion arvo pisteessä x. f'(x)[ ] puolestaan on lineaarikuvaus X-->Y. Lineaarikuvaus on kuvaus, joka käyttäytyy "kiltisti", esimerkiksi niin että f'(x)[h + j] = f'(x)[h] + f'(x)[j]. Tässä siis h ja j ovat muuttujia; x on jokin kiinnitetty piste, ja eri pisteissä tietysti saamme eri kuvauksen. Termi r(x,h) puolestaan on virhetermi, joka lähestyy nollaa, kun h lähestyy nollaa. Huomaa, että kokonaisvirhe riippuu myös h:n normista, eli kokonaisvirhe on vielä tätäkin pienempi.
Tämä algebrallinen karakterisointi voi olla hankala ymmärtää, ja korkeampidimensioisissa tapauksissa se on myös hankalaa hahmottaa geometrisesti. Toisaalta perinteinen lukiotason intuitioselitys yhdessä dimensiossa on varsin kehno geometrisen intuition kannalta.
Kaksiulotteisessa esimerkissämme tämä on ehkä helpompaa. Derivoituvuus voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla: Kun katsomme funktion f(x) arvoa pisteessä x, ja lähdemme siirtymään tasossa johonkin suuntaan, esimerkiksi suuntaan h, niin funktion arvo lähtee muuttumaan. Funktion derivaattana tässä toimii toinen "suuntaa" antava vektori, f'(x) -- jota näissä tapauksissa usein nimitämme gradientiksi. Se osoittaa suuntaan, jossa funktion f arvo kasvaa kaikkein eniten. Esimerkissämme jossa f(x,y) tulkittiin "korkeudeksi" tason pisteessä (x,y), voimme käyttää geometristä intuitiota. Gradientti pisteessa (x,y) osoittaa suuntaan jossa "mäki" on "jyrkin". Kääntäen, jos meillä olisi esimerkiksi tasainen painovoima tässä tasossa, niin pisteeseen (x,y) asetettu pallo lähtisi vierimään tarkalleen päinvastaiseen suuntaan kuin mihin gradientti osoittaa.
Toinen fysikaalinen tulkinta tässä tilanteessa voisi olla esimerkiksi, että kun siirrämme jotakin painavaa esinettä pisteen (x,y) ympäristössä, gradientti osoittaa suunnan johon päin pitää tehdä työtä; jos liikumme kohtisuoraan gradienttiin nähden, niin pysymme suunnilleen samalla korkeudella. Tässä puhumme tietenkin "äärimmäisen pienistä" muutoksista, sillä pinta kaareutuu kun siirrymme pisteestä hieman.
Joudumme tekemään kuitenkin joitain oletuksia, jotta derivoituvuus on voimassa. Näistä tärkein on se, että virhetermi r(x,h) lähestyy nollaa kun h lähestyy nollaa. Mitä se tarkoittaa geometrisesti? Kun approksimoimme funktiota pisteen x ympäristössä lineaarikuvauksella, niin (tasoesimerkissämme) ajattelemme että funktio on pisteen x pienessä ympäristössä lähes täysin litteä. Mitä lähempää katsomme pistettä x, sitä litteämmältä maasto siinä kohtaa näyttää. (Litteä, merkityksessä ei-kaareutuva; toki se voi olla "vinossa") Mitä lähempää tarkastelemme, sitä pienemmäksi r(x,h) muuttuu, ja sitä tarkemmin pikkiriikkiset muutokset vastaavat f(x+h):n arvoa.
Intuitio jostakin määritelmästä ei ole kunnolla mahdollinen, ellemme ymmärrä, miltä näyttää tilanne, jossa määritelmä ei päde. Esimerkiksi, jos virhetermi ei lähesty nollaa, vaan on vaikkapa vakio. Kuvitellaan tilannetta, jossa f koostuu lokaalisti kahdesta täysin levymäisen tasaisesta pätkästä, mutta jossa on kulma juuri x:n kohdalla. Kun liikumme vähän sivuun x:stä, f on täysin tasainen (ja siten toki myös derivoituva), mutta pisteessä x on kulma. Jos yritämme sovitella tasoa pisteeseen x, niin taso "keikkuu" pisteen x ympäristössä, mutta ei kosketa f:n määrittämää pintaa vaikka hiukan sitä kääntelemmekin. Ja jos katsomme pistettä x läheltä, niin siinä se kulma on, vaikka katsoisimme kuinka läheltä tahansa.
Jos etsimme funktion f pienintä arvoa, niin tiedämme että jos f on derivoituva, ja pisteessä x derivaatta poikkeaa nollasta -- vektorien tapauksessa siis gradientti osoittaa johonkin suuntaan -- niin tiedämme että kulkemalla vastakkaiseen suuntaan "hieman", funktion arvo väkisinkin pienenee. Jos kuljemme riittävän pitkälle, se alkaa mahdollisesti taas kasvaa (ja virhe on jo varsin suuri), mutta jonkin matkaa kulkemalla voimme ainakin löytää pienemmän arvon. Tässä pisteessä voimme sitten tarkastella uudelleen; jos gradientti on nyt nolla, ei funktio ainakaan millään ilmeisellä tavalla voi pienentyä. Vaihtoehtoisesti, voi olla ettei funktio äkkiä olekaan derivoituva, mikä puolestaan tarkoittaa, ettemme suoranaisesti tiedä mitä sille tapahtuu jos liikumme kyseisen pisteen ympäristössä.
En mene tähän teoriaan sen enempää, koska se ei ole olennaista. Olennaista on, että geometrinen intuitio ja algebrallinen intuitio kertovat saman asian: Löytääksemme pienimmän arvon, täytyy katsoa paikkaa jossa gradientti on nolla, tai jossa sitä ei ole olemassa.
Optimoitavan funktion lisäksi meillä on joitakin rajoitteita sille, mihin alueeseen rajoitamme tehtävän. Esimerkiksi, voimme hyväksyä vain pisteet, jotka ovat 1-säteisen ympyrän sisällä. Tällöin meillä olisi rajoite x^2 + y^2 < 1. (tai yhtäsuuri, jos haluamme että alue on suljettu). Nyt näemme, että me ilmaisemme intuition (ympyrä) algebrallisesti (kaava). Oletamme että rajoite on muotoa g(x) <= 0. Tällaisessa tilanteessa emme voi kulkea gradienttia vastaan pidemmälle kuin tilanteeseen jossa g(x) = 0. Tässä kohtaa tulee siis reuna vastaan.
Nyt jos tarkastelemme tällaista reunaa, niin se esimerkissämme on ympyrän kehä. Kun tulemme ympyrän kehälle, g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0. Jos funktion gradientti osoittaa ympyrän sisällepäin jonnekin, niin funktio tässä pisteessä pienenisi jos menisimme ympyrän ulkopuolelle. Mutta me etsimme nimenomaan funktion pienintä arvoa ympyrän sisältä tai korkeintaan reunalta. On mahdollista, että funktio saavuttaa pienimmän arvonsa ympyrän sisällä jossakin, esimerkiksi pisteessä (x*,y*). Tällöin rajoitteella sinänsä ei ole merkitystä, koska kun liikumme hieman tämän pisteen ympäristössä rajoite pätee, ja toisaalta funktion itsensä arvo kasvaa jos lähestymme reunoja.
Mutta entä jos ilman rajoitetta pienin arvo onkin jossakin hieman ympyrän ulkopuolella? Tällöin usein pienin arvo löytyy reunalta. Mutta mistä sieltä? Tässäkin voimme tarkastella gradienttia; se osoittaa jonnekin ympyrän sisällepäin, mutta entä jos liikumme reunaa pitkin hieman; emme ulos emmekä sisälle, vaan pitkin reunaa? Tällöin funktion g(x) arvo pysyy samana -- olemmehan reunalla. Jos funktio g(x) on derivoituva -- olettakaamme nyt niin -- sen arvo pysyy samana kun liikumme kohtisuoraan sen gradienttiin nähden. Eli, g(x+h) =g(x) + g'(x)[h] + ||h||r(x,h); mutta koska tämän pitäisi olla likipitäen g(x), ja koska r(x,h) on likipitäen nolla, niin pitäisi päteä g'(x)[h] = 0.
Toisaalta funktion f arvon pitäisi pienentyä, eli f(x+h) = f(x) + f'(x)[h] + ||h||r(x,h) pitäisi olla pienempi kuin f(x); jälleen jos oletamme että virhetermi on likipitäen nolla, pitäisi päteä f'(x)[h] < 0. Voimme ottaa tällaisia askeleita reunaa pitkin, kunnes lopulta f'(x)[h] = 0 pätee myös.
Täytyisi siis löytyä piste x siten, että jollekin (hyvin pienelle) nollasta poikkeavalle vektorille h pätee f'(x)[h] = g'(x)[h] = 0. Tasossa tämä tarkoittaisi, että löytyy vektori siten, että sekä f:n että g:n gradientti on tätä vektoria vastaan kohtisuorassa. Mutta tätä taas ei voi tapahtua, elleivät f ja g itse asiassa osoitta samaan (tai vastakkaiseen suuntaan). Tällaisessa pisteessä siis pätee että f'(x) = a*g'(x) jollekin a.
Johdimme tässä, käyttäen geometrista ja algebrallista intuitiota erityistapauksen niin kutsutuista Karush-Kuhn-Tucker- ehdoista. Itselleni noiden ehtojen hahmottaminen oli aikanaan hieman vaikeaa, enkä ymmärtänyt niitä ennen kuin diplomityötä tehdessäni jouduin ohjelmoimaan erään algoritmin joka etsii KKT-pisteitä. Ymmärrykseni oli tuolloin kuitenkin puhtaasti algebrallista. Tämä johtui puolestaan siitä että ymmärryksen tarve kumpusi siitä, että minun piti kirjoittaa ohjelma joka laskee -- algebrallisesti, tekstuaalisesti jne -- noita pisteitä, enkä käyttänyt geometrista intuitiota lainkaan.
Vanhemmalla iällä olen alkanut arvostaa geometristä intuitiota enemmän.
maanantai 12. helmikuuta 2018
Airsoft
Nuorempi poikani täyttää 11 tänä keväänä. Hän on aina ollut innostunut erilaisista pyssyistä ja tykännyt peleistä joissa soditaan. Olemme jo useamman vuoden ajan järjestäneet vanhemman pojan syntymäpäivät kesällä maalla, ja teemana on ollut Nerf-taistelupeli. Nuorimmainen ei ole jäänyt jalkoihin lainkaan, vaan sijoittunut peleissä yleensä kärkeen tai kärjen tuntumaan loppupisteissä.
Jokin aika sitten poika alkoi katsella airsoft-aiheisia videoita youtubesta. Kaverin isoveljellä oli airsoft-ase ja tämä oli hieman harrastanut lajia, ja kaverin kanssa poika sitten pyysi josko voisin auttaa heitä kokeilemaan harrastusta. Tutkiskelimme asiaa jonkin aikaa ja palo oli pojalla siinä määrin kova, että ostin hänelle aseen ja maskin, ja sunnuntaina vein pojan Pirkanmaan Airsoft-yhdistyksen järjestämään peliin.
Olin hieman varautunut sen suhteen, jaksaako poika innostua. Esimerkiksi kuulat toisinaan sattuvat hieman osuessaan ja pojan kilpailuhenkisyys on joskus sitä luokkaa että ns butthurt- ilmiö on varsin vahva. Emme esimerkiksi ole paljoa voineet pelata lautapelejä, sillä poika on varsin huono häviäjä. Tämä on erikoista, sillä vanhempi veljensä ei suhtaudu voittamiseen lainkaan samalla vakavuudella. En usko että kyse on mistään kasvatuksellisista valinnoista, vaan pikemminkin temperamentista ja siitä, että nuorempi veli joutuu aina ehkä hieman altavastaajana lähtemään kaikkiin asetelmiin. Ehkä osaksi tästä asenteesta johtuen, nuorempi poika on ollut jo pitkään tämän tyyppisissä asioissa aivan suvereenisti parempi kuin vanhempi.
Oli miten oli, sunnuntain pelisessio yllätti minut positiivisesti. Ensimmäisten kahden kierroksen jälkeen poika oli yhä täynnä intoa vaikka oli saanut joukon osumia. Kolmannella tai neljännellä kierroksella hän sai melko kivuliaan osuman sormilleen, mutta totesi sen kuuluvan peliin ja meni vielä yhdelle kierrokselle. Noin kahden tunnin pelailujen jälkeen lunta oli päätynyt kenkien sisään sen verran että noin viiden asteen pakkasessa märät jalat alkoivat palella. Poika oli vielä illalla vakaasti sitä mieltä, että nyt on löytynyt harrastus josta hän todella pitää.
Keskustelin pelipaikalla vanhempien pelaajien kanssa. Vanhimmat pelaajat olivat minun ikäisiäni miehiä. Yhtään tyttöä tai naista ei peleissä näyttänyt olevan mukana, ja suurin osa nuoremmista pelaajista oli sanalla sanoen nörttejä. Pelin organisoinnin vastuulliset henkilöt kertasivat kaikille säännöt alkuun ja erityistä huomiota kiinnitettiin turvallisuusaspekteihin. Tämä on mielestäni hyvin positiivinen asia harrastuksessa. Yleensäkin kurinalainen -- jopa hieman sotilaallinen -- asenne turvallisuuskysymyksiin on minusta kasvatuksellisesti erittäin hyvä ja tärkeä asia.
Moni viiteryhmäni aikuinen varmasti suhtautuu tällaisiin "sotaisiin" harrastuksiin joko naureskellen ylenkatseella tai peräti vihamielisesti sen symbolisen väkivallan vuoksi. En missään nimessä jaa tätä ajatusta. Jos aidoilla aseilla ampuminen olisi nykyisin lain puitteissa helpompaa, olisin jo ehdottanut sitä lapsille. Itse asiassa ehdotin jo haulikkoammuntaa, mutta pojat eivät siitä innostuneet. Oma näkemykseni on, että omasta arvomaailmasta riippumatta jokaisen olisi hyvä osata käsitellä asetta. Aivan erityisesti pasifistisia arvoja omaavien kohdalla tämän pitäisi olla itsestäänselvyys, si vis pacem, para bellum, kuten roomalaiset sanoivat.
Aseet ovat eittämättä hienoja. Airsoft-aseet eivät tietenkään ole oikeita, eivätkä ne ole kuolettavia, mutta niidenkin käsittelyssä on syytä muistaa turvallisuus, sillä vaikka kuula ei järeämmästäkään pyssystä lähtiessään riko luita tai vahingoita sisäelimiä, silmän se voi tuhota, ja pehmeään suojaamattomaan kohtaan osuessaan aiheuttaa todella kivuliaan ruhjeen lähietäisyydeltä. Juuri tämän korostaminen -- kyseessä on peliväline joka on potentiaalisesti vaarallinen -- opettaa mielestäni lapselle hyvin tärkeää asennetta. Aseita voi tuunata ja viritellä lähes loputtomiin; on punapistetähtäimiä, erilaisia tukia, remmejä, lamppuja jne, ja lisäksi asetta voi säätää erilaisin tavoin.
En kertakaikkiaan näe mitään negatiivista tässä harrastuksessa, ellei potentiaalista rahanmenoa sitten huomioi. Eräskin parikymppinen nuori mies sanoi harrastaneensa lajia jo kohta kymmenen vuotta, ja että teinivuosina ei ollut houkutusta laittaa rahoja huumeisiin tai alkoholiin, kun piti ostaa uusia aseita, taktisia liivejä, kainalokoteloita pistooleille ja kaikkea muuta tilbehööriä, eikä raha koskaan riittänyt.
Itse olen mielissäni. Ja myönnän: Hitusen kateellinen. Minun lapsuudessani tällaista harrastusmahdollisuutta ei ollut.
Jokin aika sitten poika alkoi katsella airsoft-aiheisia videoita youtubesta. Kaverin isoveljellä oli airsoft-ase ja tämä oli hieman harrastanut lajia, ja kaverin kanssa poika sitten pyysi josko voisin auttaa heitä kokeilemaan harrastusta. Tutkiskelimme asiaa jonkin aikaa ja palo oli pojalla siinä määrin kova, että ostin hänelle aseen ja maskin, ja sunnuntaina vein pojan Pirkanmaan Airsoft-yhdistyksen järjestämään peliin.
Olin hieman varautunut sen suhteen, jaksaako poika innostua. Esimerkiksi kuulat toisinaan sattuvat hieman osuessaan ja pojan kilpailuhenkisyys on joskus sitä luokkaa että ns butthurt- ilmiö on varsin vahva. Emme esimerkiksi ole paljoa voineet pelata lautapelejä, sillä poika on varsin huono häviäjä. Tämä on erikoista, sillä vanhempi veljensä ei suhtaudu voittamiseen lainkaan samalla vakavuudella. En usko että kyse on mistään kasvatuksellisista valinnoista, vaan pikemminkin temperamentista ja siitä, että nuorempi veli joutuu aina ehkä hieman altavastaajana lähtemään kaikkiin asetelmiin. Ehkä osaksi tästä asenteesta johtuen, nuorempi poika on ollut jo pitkään tämän tyyppisissä asioissa aivan suvereenisti parempi kuin vanhempi.
Oli miten oli, sunnuntain pelisessio yllätti minut positiivisesti. Ensimmäisten kahden kierroksen jälkeen poika oli yhä täynnä intoa vaikka oli saanut joukon osumia. Kolmannella tai neljännellä kierroksella hän sai melko kivuliaan osuman sormilleen, mutta totesi sen kuuluvan peliin ja meni vielä yhdelle kierrokselle. Noin kahden tunnin pelailujen jälkeen lunta oli päätynyt kenkien sisään sen verran että noin viiden asteen pakkasessa märät jalat alkoivat palella. Poika oli vielä illalla vakaasti sitä mieltä, että nyt on löytynyt harrastus josta hän todella pitää.
Keskustelin pelipaikalla vanhempien pelaajien kanssa. Vanhimmat pelaajat olivat minun ikäisiäni miehiä. Yhtään tyttöä tai naista ei peleissä näyttänyt olevan mukana, ja suurin osa nuoremmista pelaajista oli sanalla sanoen nörttejä. Pelin organisoinnin vastuulliset henkilöt kertasivat kaikille säännöt alkuun ja erityistä huomiota kiinnitettiin turvallisuusaspekteihin. Tämä on mielestäni hyvin positiivinen asia harrastuksessa. Yleensäkin kurinalainen -- jopa hieman sotilaallinen -- asenne turvallisuuskysymyksiin on minusta kasvatuksellisesti erittäin hyvä ja tärkeä asia.
Moni viiteryhmäni aikuinen varmasti suhtautuu tällaisiin "sotaisiin" harrastuksiin joko naureskellen ylenkatseella tai peräti vihamielisesti sen symbolisen väkivallan vuoksi. En missään nimessä jaa tätä ajatusta. Jos aidoilla aseilla ampuminen olisi nykyisin lain puitteissa helpompaa, olisin jo ehdottanut sitä lapsille. Itse asiassa ehdotin jo haulikkoammuntaa, mutta pojat eivät siitä innostuneet. Oma näkemykseni on, että omasta arvomaailmasta riippumatta jokaisen olisi hyvä osata käsitellä asetta. Aivan erityisesti pasifistisia arvoja omaavien kohdalla tämän pitäisi olla itsestäänselvyys, si vis pacem, para bellum, kuten roomalaiset sanoivat.
Aseet ovat eittämättä hienoja. Airsoft-aseet eivät tietenkään ole oikeita, eivätkä ne ole kuolettavia, mutta niidenkin käsittelyssä on syytä muistaa turvallisuus, sillä vaikka kuula ei järeämmästäkään pyssystä lähtiessään riko luita tai vahingoita sisäelimiä, silmän se voi tuhota, ja pehmeään suojaamattomaan kohtaan osuessaan aiheuttaa todella kivuliaan ruhjeen lähietäisyydeltä. Juuri tämän korostaminen -- kyseessä on peliväline joka on potentiaalisesti vaarallinen -- opettaa mielestäni lapselle hyvin tärkeää asennetta. Aseita voi tuunata ja viritellä lähes loputtomiin; on punapistetähtäimiä, erilaisia tukia, remmejä, lamppuja jne, ja lisäksi asetta voi säätää erilaisin tavoin.
En kertakaikkiaan näe mitään negatiivista tässä harrastuksessa, ellei potentiaalista rahanmenoa sitten huomioi. Eräskin parikymppinen nuori mies sanoi harrastaneensa lajia jo kohta kymmenen vuotta, ja että teinivuosina ei ollut houkutusta laittaa rahoja huumeisiin tai alkoholiin, kun piti ostaa uusia aseita, taktisia liivejä, kainalokoteloita pistooleille ja kaikkea muuta tilbehööriä, eikä raha koskaan riittänyt.
Itse olen mielissäni. Ja myönnän: Hitusen kateellinen. Minun lapsuudessani tällaista harrastusmahdollisuutta ei ollut.
tiistai 6. helmikuuta 2018
Auto.
Minulla oli eiliseen asti vuosimallin 2008 Honda Jazz, jolla olin ajanut vuodesta 2013 asti. Viime tiistaina auto piti katsastaa, mutta OBD-järjestelmässä oli jonkinlainen vika. Vein auton huoltoon ja edessä olisi ollut varsin hintava remontti, joten päätin vaihtaa autoa.
Yleisestiottaen en pidä auton omistamista taloudellisesti järkevänä. Aivan erityisen huono sijoitus on uusi auto, sillä siinä on suuri määrä veroa ja uuden auton jälleenmyyntiarvo putoaa hyvin nopeasti. Tällä kertaa kuitenkin päädyin ostamaan täysin uuden auton. Päätös oli vähemmän taloudellinen ja enemmän tunnepohjainen. Tarkoitan tällä sitä, etten tavoitellutkaan päätökselläni taloudellista tarkoituksenmukaisuutta, vaan päätös oli kulutuspäätös.
Jos autolla olisi tarkoitus vain liikkua, olisi fiksu päätös ollut korjata vanha ja ajaa sillä. Autossa kuitenkin vietetään kohtuullisen pitkiä aikoja jos sillä liikutaan paljon. Itse en itse asiassa edes liiku autolla kovin paljoa, mutta pidän siitä tunteesta että autossa on mukava istua ja ajaminen on miellyttävää. Toinen asia jota arvostan, on se, että luotan ettei auto hajoa tai jos se hajoaa, sen hajoaminen on ns jonkun toisen ongelma. Rahalla on tässä aika vähän roolia, sillä iän myötä olen alkanut arvostaa vaivattomuutta paljon enemmän. Iän, ja ehkä taloudellisen tilanteen kohentumisen myötä.
Auto ei ollut älyttömän kallis. Sain vanhasta vaihdossa jonkin verran niin, että rahoitettavaksi osuudeksi jäi aika tarkkaan 20 000 euroa. Tämä on tietenkin suuri summa, mutta korkoineen 60 kuukaudelle se on hieman yli 350 euroa kuussa. Hondan korjaus- ja huoltokulut olivat viime vuosina tyypillisesti noin 500 euroa vuodessa, uudessa on huoltosopimuksen mukaan kuluja vain noin 150 euroa vuodessa. Vakuutusmaksut ovat samat ja ajoneuvon käyttömaksu on alhaisempi. Myös polttoaineen kulutus on hivenen pienempi, eikä autoa tarvitse katsastaa kolmeen vuoteen. Arvelisin vuositasolla "säästäväni" juoksevissa meinoissa noin 600 euroa vuodessa, eli 50 euroa kuussa.
Tämäkään ei tietenkään tee päätöstä taloudellisesti kannattavaksi. Mutta jos kysytään, paljonko olen valmis maksamaan siitä, että yhden vuosihuollon ja kahden renkaidenvaihdon lisäksi ei tarvita kahta tai kolmea käyntiä huoltamolla -- tämä tietysti voi jäädä toteutumatta -- tämä summa voi olla aika suuri. Jos arvotan nämä 200 euron arvoisiksi vaivannäön suhteen, vuositason säästö nousee 800 euroon.
Autolla voi arvioida olevan jälleenmyyntiarvoa ehkä noin puolet nykyisestä, eli 10 000€ (voi olla toki vähemmänkin) viiden vuoden kuluttua. Tuo 10 000 menetetään seuraavien viiden vuoden aikana eli noin 2000 euroa vuodessa. Tämä pitää laskea kustannuksiin, joten ollaan pakkasella 1200 euroa vuositasolla.
1200 euroa vuodessa siis olen valmis maksamaan ihan siitä, että auto on hienompi ja uudempi, siitä varmuuden tunteesta, että uusi auto on luotettavampi kuin vanha, jne. Siis noin 100 euroa kuussa.
Summa ei ole älyttömän suuri, jos sitä vertaa vaikkapa siihen minkä verran ihmiset ovat valmiita panostamaan vaikkapa muutamaan lisäneliöön asunnossa tai nopeampaan internettiin. Jos tätä ajattelee revealed preferencen kautta, niin ehkä vaan olen ihminen joka tykkää siitä että saa ajaa uudella autolla. Noin 100 euron edestä kuukaudessa.
Yleisestiottaen en pidä auton omistamista taloudellisesti järkevänä. Aivan erityisen huono sijoitus on uusi auto, sillä siinä on suuri määrä veroa ja uuden auton jälleenmyyntiarvo putoaa hyvin nopeasti. Tällä kertaa kuitenkin päädyin ostamaan täysin uuden auton. Päätös oli vähemmän taloudellinen ja enemmän tunnepohjainen. Tarkoitan tällä sitä, etten tavoitellutkaan päätökselläni taloudellista tarkoituksenmukaisuutta, vaan päätös oli kulutuspäätös.
Jos autolla olisi tarkoitus vain liikkua, olisi fiksu päätös ollut korjata vanha ja ajaa sillä. Autossa kuitenkin vietetään kohtuullisen pitkiä aikoja jos sillä liikutaan paljon. Itse en itse asiassa edes liiku autolla kovin paljoa, mutta pidän siitä tunteesta että autossa on mukava istua ja ajaminen on miellyttävää. Toinen asia jota arvostan, on se, että luotan ettei auto hajoa tai jos se hajoaa, sen hajoaminen on ns jonkun toisen ongelma. Rahalla on tässä aika vähän roolia, sillä iän myötä olen alkanut arvostaa vaivattomuutta paljon enemmän. Iän, ja ehkä taloudellisen tilanteen kohentumisen myötä.
Auto ei ollut älyttömän kallis. Sain vanhasta vaihdossa jonkin verran niin, että rahoitettavaksi osuudeksi jäi aika tarkkaan 20 000 euroa. Tämä on tietenkin suuri summa, mutta korkoineen 60 kuukaudelle se on hieman yli 350 euroa kuussa. Hondan korjaus- ja huoltokulut olivat viime vuosina tyypillisesti noin 500 euroa vuodessa, uudessa on huoltosopimuksen mukaan kuluja vain noin 150 euroa vuodessa. Vakuutusmaksut ovat samat ja ajoneuvon käyttömaksu on alhaisempi. Myös polttoaineen kulutus on hivenen pienempi, eikä autoa tarvitse katsastaa kolmeen vuoteen. Arvelisin vuositasolla "säästäväni" juoksevissa meinoissa noin 600 euroa vuodessa, eli 50 euroa kuussa.
Tämäkään ei tietenkään tee päätöstä taloudellisesti kannattavaksi. Mutta jos kysytään, paljonko olen valmis maksamaan siitä, että yhden vuosihuollon ja kahden renkaidenvaihdon lisäksi ei tarvita kahta tai kolmea käyntiä huoltamolla -- tämä tietysti voi jäädä toteutumatta -- tämä summa voi olla aika suuri. Jos arvotan nämä 200 euron arvoisiksi vaivannäön suhteen, vuositason säästö nousee 800 euroon.
Autolla voi arvioida olevan jälleenmyyntiarvoa ehkä noin puolet nykyisestä, eli 10 000€ (voi olla toki vähemmänkin) viiden vuoden kuluttua. Tuo 10 000 menetetään seuraavien viiden vuoden aikana eli noin 2000 euroa vuodessa. Tämä pitää laskea kustannuksiin, joten ollaan pakkasella 1200 euroa vuositasolla.
1200 euroa vuodessa siis olen valmis maksamaan ihan siitä, että auto on hienompi ja uudempi, siitä varmuuden tunteesta, että uusi auto on luotettavampi kuin vanha, jne. Siis noin 100 euroa kuussa.
Summa ei ole älyttömän suuri, jos sitä vertaa vaikkapa siihen minkä verran ihmiset ovat valmiita panostamaan vaikkapa muutamaan lisäneliöön asunnossa tai nopeampaan internettiin. Jos tätä ajattelee revealed preferencen kautta, niin ehkä vaan olen ihminen joka tykkää siitä että saa ajaa uudella autolla. Noin 100 euron edestä kuukaudessa.
3x5 revisited
En kirjoita treenaamisesta tässä, vaikka 3x5 helposti siihen viittaisikin, ollen Starting Strength- ohjelman perusrakennuspalikka.
Sen sijaan törmäsin jälleen kerran keskusteluun, jossa esitettiin että kertolasku 3*5 on käsitteellisesti nimenomaan sama kuin 5 + 5 + 5, ja että 3+3+3+3+3 on eri asia "käsitteellisesti". Tässä on hyvä esimerkki ilmiöstä distinction without difference, eli erottelusta ilman aitoa eroa.
Kuten joskus aiemmin asiasta kirjoitin, tässä sekaannuksen taustalla on jotenkin vinoutunut käsitys siitä, että kertolasku ei "välttämättä ole vaihdannainen", ja siten 3*5 ja 5*3 on käsiteltävä erillisinä operaatioina. Tämä on totta, mutta sen soveltaminen kysymykseen mitä 3*5 "tarkoittaa" on non sequitur.
Jotta asia voidaan kirkastaa, lähdetään perusominaisuudesta, joka kertolaskulla on pakko olla jotta se voidaan ylipäätään esittää muodossa 3*5 = 5 + 5 + 5. Emme ota kantaa siihen, onko "*" oikeasti kertolasku ja onko "+" oikeasti vähennyslasku. Emme lähde tässä yhtään mistään muusta kuin siitä, että tällainen identiteetti on olemassa. Meillä on jokin tulkinta symbolille 3, ja tässä tapauksessa sen merkitys on "kolme kappaletta". Kirjoitamme siis tämän nyt niin että 3*5 = (kolme kappaletta)*5. On kuitenkin oltava niin, että "kolme kappaletta" voidaan jotenkin palauttaa yhteenlaskuun; tässä siis täytyy sopia että se on (1 + 1 + 1)*5. Nyt, "+" voi olla mitä hyvänsä, samoin "1", niiden ei tarvitse olla "oikeasti" luvut yksi ja näiden yhteenlasku.
Täytyy päteä että (1+1+1)*5 = 1*5 + 1*5 + 1*5, ja lisäksi sellainen tulkinta, että 1*5 on sama asia kuin 5, koska muuten identiteetti 3*5 = 5 + 5 + 5 ei voi päteä. Jälleen huomautan, että "1" on vain merkintätapa sille asialle, joka yhdistettynä "5":een operaatiolla "*" on sama kuin "5".
Nyt, voimme toki pysäyttää analyysimme tähän ja todeta että 5 ja 3 ovat tyystin eri tyyppisiä asioita, ja ainoa asia joka niitä sitoo on mystinen "1" joita symbolissa "3" on kolme kappaletta. Esimerkiksi 3*omena = omena + omena + omena. Tässä kohtaa ero on olemassa, ja hyväksymme sen. Starting Strength- ohjelmassa 3x5 viittaa siihen että tehdään kolme viiden toiston sarjaa. Tämä todella on käsitteellisesti eri asia kuin viisi kolmen toiston sarjaa. Me emme kuitenkaan tällöin katso että laskemme viittä kolmen toiston sarjaa "yhteen" saadaksemme jonkin tuloksen. Aivan kuten me emme laske kolmea omenaa yhteen saadaksemme jonkinlaisen MegaOmenan.
Jos emme kuitenkaan tyydy siihen, vaan oikeasti ajattelemme että kysessä olevat operaatiot ovat operaatioita jossakin algebrallisessa struktuurissa, ja että "3" ja "5" viittaavat erilaisiin, mutta samantyyppisiin alkioihin, emme voi tyytyä tähän analyysiin. Meidän ei tarvitse todellakaan olettaa että 3*5 = 5*3 -- tämähän nyt ei missään nimessä päde yleisemmin. Meidän täytyy kuitenkin olettaa, että mikä hyvänsä struktuuri tässä on kyseessä, sillä on operaatiot "+" ja "*" joilla on jokin suhde joka ilmenee identiteetissä 3*5 = 5 + 5 + 5.
Jotta esimerkki kirkastuisi, otetaan tyystin toisenlainen struktuuri. Otetaan lukujen paikalle merkkijonot, "+" paikalle tulkinta, jossa a + b tarkoittaa merkkijonojoukkoa {a, b} ja a*b tarkoittaa merkkijonoa "ab", eli "+" on "rinnakkaisuus" ja "*" on "peräkkäisyys". Missään nimessä siis ei päde että a*b = b*a.
Jos meillä "3" tulkitaan nyt vaikkapa siten että se tarkoittaa samaa kuin "a+b+c", ja "5" tarkoittaa samaa kuin "d + e", niin 3*5 = (a+b+c)*(d+e). Alkuperäistä tulkintaa noudattaen tämä on a*(d+e) + b*(d+e) + c*(d+e). Edelleen purkaen, tämä on sama kuin a*d + a*e + b*d + b*e + c*d + c*e.
Operaatiolta "+" meidän on mielekästä olettaa vaihdannaisuus, jotta tällainen hajotelma voidaan ylipäätään tehdä. Voimme siis kirjoittaa tämän uudelleen niin, että se on (a+b+c)*d + (a+b+c)*e. Huomatkaa, että jos olisimme edellä olevan tulkinnan sijaan kirjoittaneet että 3 = 1+1+1, ja 5 = 1+1+1+1+1, niin tämä sama päättely olisi johtanut siihen, että 3*5 = 3+3+3+3+3.
Nyt; en varsinaisesti väitä, että 3x5 ei voisi olla tulkittavissa niin että on eroa sillä, onko se 5+5+5 vai 3+3+3+3+3. Väitän, että argumentaatio jossa esitetään tämän olevan käsitteellisesti kaksi eri tulkintaa, vaatii perustelukseen erotteluita joilla ei ole mitään tekemistä sen kanssa mitä kertolasku "tarkoittaa", vaan sen kanssa, mitä yhteenlasku tarkoittaa. Jos ylipäätään esitämme, että kertolasku voidaan distributiivisesti esittää yhteenlaskun avulla, niin eroa ei ole mikäli yhteenlasku on vaihdannainen.
Kun yritin selittää tätä ihmiselle, joka väitti että erottelun tekeminen on "perusteltua", hän höpisi ensin että "mutta pitäähän lapsille opettaa ettei kertolasku aina ole vaihdannainen". Kun perustelin että ei tässä ole kyse kertolaskun vaan yhteenlaskun vaihdannaisuudesta, hän esitti että argumenttini on liian vaikea koululaisille.
Tässä kohtaa en voinut kuin ottaa ns. tonnin seteli- ilmeen.
Sen sijaan törmäsin jälleen kerran keskusteluun, jossa esitettiin että kertolasku 3*5 on käsitteellisesti nimenomaan sama kuin 5 + 5 + 5, ja että 3+3+3+3+3 on eri asia "käsitteellisesti". Tässä on hyvä esimerkki ilmiöstä distinction without difference, eli erottelusta ilman aitoa eroa.
Kuten joskus aiemmin asiasta kirjoitin, tässä sekaannuksen taustalla on jotenkin vinoutunut käsitys siitä, että kertolasku ei "välttämättä ole vaihdannainen", ja siten 3*5 ja 5*3 on käsiteltävä erillisinä operaatioina. Tämä on totta, mutta sen soveltaminen kysymykseen mitä 3*5 "tarkoittaa" on non sequitur.
Jotta asia voidaan kirkastaa, lähdetään perusominaisuudesta, joka kertolaskulla on pakko olla jotta se voidaan ylipäätään esittää muodossa 3*5 = 5 + 5 + 5. Emme ota kantaa siihen, onko "*" oikeasti kertolasku ja onko "+" oikeasti vähennyslasku. Emme lähde tässä yhtään mistään muusta kuin siitä, että tällainen identiteetti on olemassa. Meillä on jokin tulkinta symbolille 3, ja tässä tapauksessa sen merkitys on "kolme kappaletta". Kirjoitamme siis tämän nyt niin että 3*5 = (kolme kappaletta)*5. On kuitenkin oltava niin, että "kolme kappaletta" voidaan jotenkin palauttaa yhteenlaskuun; tässä siis täytyy sopia että se on (1 + 1 + 1)*5. Nyt, "+" voi olla mitä hyvänsä, samoin "1", niiden ei tarvitse olla "oikeasti" luvut yksi ja näiden yhteenlasku.
Täytyy päteä että (1+1+1)*5 = 1*5 + 1*5 + 1*5, ja lisäksi sellainen tulkinta, että 1*5 on sama asia kuin 5, koska muuten identiteetti 3*5 = 5 + 5 + 5 ei voi päteä. Jälleen huomautan, että "1" on vain merkintätapa sille asialle, joka yhdistettynä "5":een operaatiolla "*" on sama kuin "5".
Nyt, voimme toki pysäyttää analyysimme tähän ja todeta että 5 ja 3 ovat tyystin eri tyyppisiä asioita, ja ainoa asia joka niitä sitoo on mystinen "1" joita symbolissa "3" on kolme kappaletta. Esimerkiksi 3*omena = omena + omena + omena. Tässä kohtaa ero on olemassa, ja hyväksymme sen. Starting Strength- ohjelmassa 3x5 viittaa siihen että tehdään kolme viiden toiston sarjaa. Tämä todella on käsitteellisesti eri asia kuin viisi kolmen toiston sarjaa. Me emme kuitenkaan tällöin katso että laskemme viittä kolmen toiston sarjaa "yhteen" saadaksemme jonkin tuloksen. Aivan kuten me emme laske kolmea omenaa yhteen saadaksemme jonkinlaisen MegaOmenan.
Jos emme kuitenkaan tyydy siihen, vaan oikeasti ajattelemme että kysessä olevat operaatiot ovat operaatioita jossakin algebrallisessa struktuurissa, ja että "3" ja "5" viittaavat erilaisiin, mutta samantyyppisiin alkioihin, emme voi tyytyä tähän analyysiin. Meidän ei tarvitse todellakaan olettaa että 3*5 = 5*3 -- tämähän nyt ei missään nimessä päde yleisemmin. Meidän täytyy kuitenkin olettaa, että mikä hyvänsä struktuuri tässä on kyseessä, sillä on operaatiot "+" ja "*" joilla on jokin suhde joka ilmenee identiteetissä 3*5 = 5 + 5 + 5.
Jotta esimerkki kirkastuisi, otetaan tyystin toisenlainen struktuuri. Otetaan lukujen paikalle merkkijonot, "+" paikalle tulkinta, jossa a + b tarkoittaa merkkijonojoukkoa {a, b} ja a*b tarkoittaa merkkijonoa "ab", eli "+" on "rinnakkaisuus" ja "*" on "peräkkäisyys". Missään nimessä siis ei päde että a*b = b*a.
Jos meillä "3" tulkitaan nyt vaikkapa siten että se tarkoittaa samaa kuin "a+b+c", ja "5" tarkoittaa samaa kuin "d + e", niin 3*5 = (a+b+c)*(d+e). Alkuperäistä tulkintaa noudattaen tämä on a*(d+e) + b*(d+e) + c*(d+e). Edelleen purkaen, tämä on sama kuin a*d + a*e + b*d + b*e + c*d + c*e.
Operaatiolta "+" meidän on mielekästä olettaa vaihdannaisuus, jotta tällainen hajotelma voidaan ylipäätään tehdä. Voimme siis kirjoittaa tämän uudelleen niin, että se on (a+b+c)*d + (a+b+c)*e. Huomatkaa, että jos olisimme edellä olevan tulkinnan sijaan kirjoittaneet että 3 = 1+1+1, ja 5 = 1+1+1+1+1, niin tämä sama päättely olisi johtanut siihen, että 3*5 = 3+3+3+3+3.
Nyt; en varsinaisesti väitä, että 3x5 ei voisi olla tulkittavissa niin että on eroa sillä, onko se 5+5+5 vai 3+3+3+3+3. Väitän, että argumentaatio jossa esitetään tämän olevan käsitteellisesti kaksi eri tulkintaa, vaatii perustelukseen erotteluita joilla ei ole mitään tekemistä sen kanssa mitä kertolasku "tarkoittaa", vaan sen kanssa, mitä yhteenlasku tarkoittaa. Jos ylipäätään esitämme, että kertolasku voidaan distributiivisesti esittää yhteenlaskun avulla, niin eroa ei ole mikäli yhteenlasku on vaihdannainen.
Kun yritin selittää tätä ihmiselle, joka väitti että erottelun tekeminen on "perusteltua", hän höpisi ensin että "mutta pitäähän lapsille opettaa ettei kertolasku aina ole vaihdannainen". Kun perustelin että ei tässä ole kyse kertolaskun vaan yhteenlaskun vaihdannaisuudesta, hän esitti että argumenttini on liian vaikea koululaisille.
Tässä kohtaa en voinut kuin ottaa ns. tonnin seteli- ilmeen.
Tilaa:
Blogitekstit (Atom)