3x5 revisited

En kirjoita treenaamisesta tässä, vaikka 3x5 helposti siihen viittaisikin, ollen Starting Strength- ohjelman perusrakennuspalikka.

Sen sijaan törmäsin jälleen kerran keskusteluun, jossa esitettiin että kertolasku 3*5 on käsitteellisesti nimenomaan sama kuin 5 + 5 + 5, ja että 3+3+3+3+3 on eri asia "käsitteellisesti". Tässä on hyvä esimerkki ilmiöstä distinction without difference, eli erottelusta ilman aitoa eroa.

Kuten joskus aiemmin asiasta kirjoitin, tässä sekaannuksen taustalla on jotenkin vinoutunut käsitys siitä, että kertolasku ei "välttämättä ole vaihdannainen", ja siten 3*5 ja 5*3 on käsiteltävä erillisinä operaatioina. Tämä on totta, mutta sen soveltaminen kysymykseen mitä 3*5 "tarkoittaa" on non sequitur.

Jotta asia voidaan kirkastaa, lähdetään perusominaisuudesta, joka kertolaskulla on pakko olla jotta se voidaan ylipäätään esittää muodossa 3*5 = 5 + 5 + 5. Emme ota kantaa siihen, onko "*" oikeasti kertolasku ja onko "+" oikeasti vähennyslasku. Emme lähde tässä yhtään mistään muusta kuin siitä, että tällainen identiteetti on olemassa. Meillä on jokin tulkinta symbolille 3, ja tässä tapauksessa sen merkitys on "kolme kappaletta". Kirjoitamme siis tämän nyt niin että 3*5 = (kolme kappaletta)*5. On kuitenkin oltava niin, että "kolme kappaletta" voidaan jotenkin palauttaa yhteenlaskuun; tässä siis täytyy sopia että se on (1 + 1 + 1)*5. Nyt, "+" voi olla mitä hyvänsä, samoin "1", niiden ei tarvitse olla "oikeasti" luvut yksi ja näiden yhteenlasku.

Täytyy päteä että (1+1+1)*5 = 1*5 + 1*5 + 1*5,   ja lisäksi sellainen tulkinta, että 1*5 on sama asia kuin 5, koska muuten identiteetti 3*5 = 5 + 5 + 5 ei voi päteä. Jälleen huomautan, että "1" on vain merkintätapa sille asialle, joka yhdistettynä "5":een operaatiolla "*" on sama kuin "5".

Nyt, voimme toki pysäyttää analyysimme tähän ja todeta että 5 ja 3 ovat tyystin eri tyyppisiä asioita, ja ainoa asia joka niitä sitoo on mystinen "1" joita symbolissa "3" on kolme kappaletta. Esimerkiksi 3*omena = omena + omena + omena. Tässä kohtaa ero on olemassa, ja hyväksymme sen. Starting Strength- ohjelmassa 3x5 viittaa siihen että tehdään kolme viiden toiston sarjaa. Tämä todella on käsitteellisesti eri asia kuin viisi kolmen toiston sarjaa. Me emme kuitenkaan tällöin katso että laskemme viittä kolmen toiston sarjaa "yhteen" saadaksemme jonkin tuloksen. Aivan kuten me emme laske kolmea omenaa yhteen saadaksemme jonkinlaisen MegaOmenan.

Jos emme kuitenkaan tyydy siihen, vaan oikeasti ajattelemme että kysessä olevat operaatiot ovat operaatioita jossakin algebrallisessa struktuurissa, ja että "3" ja "5" viittaavat erilaisiin, mutta samantyyppisiin alkioihin, emme voi tyytyä tähän analyysiin. Meidän ei tarvitse todellakaan olettaa että 3*5 = 5*3 -- tämähän nyt ei missään nimessä päde yleisemmin. Meidän täytyy kuitenkin olettaa, että mikä hyvänsä struktuuri tässä on kyseessä, sillä on operaatiot "+" ja "*" joilla on jokin suhde joka ilmenee identiteetissä 3*5 = 5 + 5 + 5.

Jotta esimerkki kirkastuisi, otetaan tyystin toisenlainen struktuuri. Otetaan lukujen paikalle merkkijonot, "+" paikalle tulkinta, jossa a + b tarkoittaa merkkijonojoukkoa {a, b} ja a*b tarkoittaa merkkijonoa "ab", eli "+" on "rinnakkaisuus" ja "*" on "peräkkäisyys".  Missään nimessä siis ei päde että a*b = b*a.

Jos meillä "3" tulkitaan nyt vaikkapa siten että se tarkoittaa samaa kuin "a+b+c", ja "5" tarkoittaa samaa kuin "d + e", niin 3*5 = (a+b+c)*(d+e). Alkuperäistä tulkintaa noudattaen tämä on a*(d+e) + b*(d+e) + c*(d+e). Edelleen purkaen, tämä on sama kuin a*d + a*e + b*d + b*e + c*d + c*e. 

Operaatiolta "+" meidän on mielekästä olettaa vaihdannaisuus, jotta tällainen hajotelma voidaan ylipäätään tehdä. Voimme siis kirjoittaa tämän uudelleen niin, että se on  (a+b+c)*d + (a+b+c)*e.  Huomatkaa, että jos olisimme edellä olevan tulkinnan sijaan kirjoittaneet että 3 = 1+1+1, ja 5 = 1+1+1+1+1, niin tämä sama päättely olisi johtanut siihen, että 3*5 = 3+3+3+3+3.

Nyt; en varsinaisesti väitä, että 3x5 ei voisi olla tulkittavissa niin että on eroa sillä, onko se 5+5+5 vai 3+3+3+3+3. Väitän, että argumentaatio jossa esitetään tämän olevan käsitteellisesti kaksi eri tulkintaa, vaatii perustelukseen erotteluita joilla ei ole mitään tekemistä sen kanssa mitä kertolasku "tarkoittaa", vaan sen kanssa, mitä yhteenlasku tarkoittaa. Jos ylipäätään esitämme, että kertolasku voidaan distributiivisesti esittää yhteenlaskun avulla, niin eroa ei ole mikäli yhteenlasku on vaihdannainen.

Kun yritin selittää tätä ihmiselle, joka väitti että erottelun tekeminen on "perusteltua", hän höpisi ensin että "mutta pitäähän lapsille opettaa ettei kertolasku aina ole vaihdannainen". Kun perustelin että ei tässä ole kyse kertolaskun vaan yhteenlaskun vaihdannaisuudesta, hän esitti että argumenttini on liian vaikea koululaisille.

Tässä kohtaa en voinut kuin ottaa ns. tonnin seteli- ilmeen.