Numerot.

Kuten tiedämme, monet tilatomatemaattiset käsitteet ovat luonteeltaan sangen erilaisia äärellisten ja äärettömien alkeistapahtumien joukkojen kanssa. Esimerkiksi nopanheitossa on äärellinen joukko mahdollisia tapahtumia, yleensä kuusi. Oletus tasajakaumasta, tai edes lokaali approksimaatio tasajakaumasta, johtaa helposti ongelmiin. Klassinen esimerkki on niinsanottu kirjekuoriparadoksi.

Kirjekuoriparadoksissa pelataan peliä. Annan kaksi kirjekuorta, joista toisessa on jokin määrä rahaa, ja toisessa tarkalleen kaksinkertainen määrä rahaa. Saat valita haluamasi kirjekuoren ja avata sen. Avaamisen jälkeen voit koettaa onneasi vaihtamalla kirjekuorta. Jos esimerkiksi kuoressa on satanen, tiedät että toisessa kuoressa on 50 tai 200 euroa. Olettamalla nämä molemmat yhtä todennäköisiksi, saadaan vaihtamisen odotusarvoksi 0.5*50 + 0.5*200 = 125 euroa, joten vaihtaminen kannattaa. Tämä tulos on riippumaton siitä, mitä kirjekuoren sisällä on.

"Paradoksin" ratkaisu on tietenkin se, että oletamme implisiittisesti jakauman olevan tasainen, mitä se ei voi olla. Erittäin suurten lukujen on yksinkertaisesti pakko olla aina vain epätodennäköisempiä jostain rajasta eteenpäin. Täsmällisemmin sanottuna, jokaiselle mahdolliselle luonnollisten lukujen jakaumalle pätee, että miten hyvänsä pienelle nollaa suuremmalle epsilonille  on olemassa n siten että P(X > n) on pienempi kuin epsilon. Tuntematta jakaumaa emme kuitenkaan tiedä miten suuri tämä n on.

Otetaan seuraavanlainen kysymys, jossa on parametrinä jakauma: Olkoon f(X) tiheysfunktio (= todennäköisyys kaikkine normaaleine oletuksineen) luonnollisille luvuille. Mikä on todennäköisyys sille, että satunnaisessa luvussa jossakin kohtaa kaksi samaa numeroa peräkkäin? (Oletetaan että käytämme 10-järjestelmää).

On selvää, että valitsemalla sopiva jakauma, tämä todennäköisyys voidaan tehdä nollaksi: annetaan nollaa suurempi todennäköisyys vain niille luvuille joissa ei ole samaa numeroa peräkkäin. Toisaalta se voidaan tehdä ykköseksi valitsemalla jakauma, jossa nollaa suurempi todennäköisyys on luvuilla joissa on tämä ominaisuus. Tällaiset patologiset jakaumat eivät nyt kiinnosta meitä, vaan olemme kiinnostuneita jollakin tapaa "luonnollisista" jakaumista.

Esimerkki jakauman ominaisuudesta joka voisi olla mielekästä vaatia, olisi jonkinlainen konkaavisuus. Esimerkiksi niin, että ensimmäinen tiheysfunktion differenssi on monotonisesti vähenevä.

Tutkitaan kuitenkin itse ilmiötä, eli "kaksi samaa numeroa perätysten", esimerkiksi seuraavalla tavalla: Oletetaan että k:n mittaisista luvuista jokainen on yhtä todennäköinen, ja tiedämme että olemme saaneet k:n mittaisen luvun. Tässä tapauksessa ehdollinen todennäköisyys saadaan kun tarkastellaan, sen komplementtia. Ensimmäinen numero voi olla mitä tahansa, mutta toinen on sama kuin ensimmäinen todennäköisyydellä 1/10,  eli eri todennäköisyydellä 9/10. Seuraava eroaa tästä todennäköisyydellä 9/10, jne, joten k:n mittaisessa luvussa todennäköisyys on (9/10)^k-1. Kun k kasvaa, niin tämä todennäköisyys lähestyy nollaa, siis todennäköisyys että luvussa on kaksi peräkkäistä samaa numeroa, lähestyy ykköstä.

Olisiko siis mahdollista antaa jakaumaa, jossa todennäköisyys tälle ominaisuudelle olisi 1? Vastaus on tietysti että ei ole. Kuten aiemmin totesimme, jokaista epsilonia kohden on olemassa n siten, että n:ää suuremmat luvut ovat vähemmän todennäköisiä kuin epsilon. Todennäköisyys sille, että kahta perättäistä lukua ei löydy on rajattu alhaalta: Olkoon k = log n, missä logaritmi on kymmenkantainen. Kun epsilon on fiksattu, niin todennäköisyys että saamme n:ää pienemmän luvun on 1-epsilon, ja näiden joukossa todennäköisyys on vähintään (9/10)^k-1 sille, että luvussa ei ole kahta samaa numeroa peräkkäin. Todennäköisyys on siis vähintään (1-epsilon)*(9/10)^k-1 ettö saamme annetulla jakaumalla luvun jolla ei tätä ominaisuutta ole.

Tämä luku voidaan tietenkin tehdä mielivaltaisen pieneksi jälkikäteen, vaihtamalla jakaumaa, mutta jokaisella kiinnitetyllä jakaumalla tämä luku on väistämättä nollaa suurempi. 

Tämä ei ole varsinaisesti todistus, mutta voidaan sellaiseksi muuttaa. Harjoitustehtäväksi jätetään se, missä kohtaa käytin konkaavisuus-oletusta.

Muotitietoiset

Minun on myönnettävä, että hieman säälin Hirvisaarta. Alusta pitäen olen pitänyt miestä puhtaasti pellenä, siis henkilönä jonka imago rakentuu karnevalisoinnille. Pelleilyn huipennuksena tämä Asikkalan Nasse-setä oli siis roudannut elämäntapataiteilja Seppo Lehdon eduskuntatalon lehterille tekemään roomalaista sotilastervehdystä.

Sepon koukerot tiedetään, eikä niistä sen enempää. Tämä sananvapauden sankari on kaikille internetin käyttäjille tuttu. Sanotaan miehestä mitä hyvänsä - ja jos mitä hyvänsä voidaan ylipäätään totuudenmukaisesti jostakusta sanoa, niin Seposta - hänen tempauksiinsa ei tervejärkinen ihminen suhtaudu muutoin kuin huumorilla. Tirehtööri Timon sirkuksen pellenä Jameksen ura nyt valitettavasti päättyy. Tirehtööri ei arvostanut Hirvisaaren ja vierailevan satiirikon vitsailua joten lähtöpassit tulee. Eduskunnassa toki James jatkaa, sillä kansanedustajaa ei tällaisten tempausten vuoksi voi -- eikä tietenkään pidäkään voida -- erottaa.

Soini itse totesi että kokee joutuvansa kaitsemaan ja kasvattamaan seuruettaan kuin lapsia. Kieltämättä siltä touhu näyttää. Politiikantoimittaja Toropainen tuossa aamulla uumoili radiossa, että Hirvisaaren maalaischarmi ei oikein toimi Helsingissä, koska hän ei oikein ymmärrä kuinka tosikkoja ja eri tavalla ajattelevia kaupunkilaiset ovat. "Etelän metia" on puolueellinen koska olettaa että ihmiset hengittävät nenä kautta ja käyttävät ruokailuvälineitä.

Itse olen hieman, mutten täysin, samoilla linjoilla Toropaisen kanssa. Ensiksikin, karnevalistinen ote perustuu Perussuomalaisten identifioitumiseen kansanmiehinä (ja -naisina, tietenkin, kuten vaikka Kike Elomaa) joilta ikäänkuin edellytetään viiteryhmänsä mukaista käytöstä. Tämä taas törmää helsinkiläiseen vakavuuteen. Taannoinen hihamerkkijupakka osoitti, että Hirvisaarella on selkärankaa ja hän on valmis puolustamaan omiaan. Tätä taustaa vasten en voi olla ajattelematta, että Sepon tuominen lehterille "heilaamaan" oli tietoinen riski ja yritys päästä valtakunnanotsikoihin.

En jotenkin osaa kovin voimakkaasti paheksua tätä. Mielestäni on ihan OK, että politiikassa on vähän karnevaalihenkeä. Jameksen arvot ovat monilta osin aivan pielessä omasta näkökulmastani, mutta yhteiskunnassa nyt ihmisillä on erilaisia arvoja, ja sitä pitää sietää.  Toisaalta Hirvisaarella on taipumus lapsellisiin tunteenpurkauksiin kun hänen omia puheitaan "vääristellään", mutta tätäkin voi pitää osana kansanomaista imagoa.

Mielestäni perussuomalaisten yksi vaikeimmista ongelmista kulminoituu tässä. Persujen "jytkyimagon" taustalla on karnevalismi ja nyt Soini koettaa siivota puoluettaan ja kiillottaa sen hallituskuntoon, puolentoista vuoden päästä olevia vaaleja ajatellen. Ehkä myös hieman eurovaalejakin silmälläpitäen. Tämä kuitenkin vie pois sitä pohjaa, jolle jytky kasattiin. Se oli spontaania kansanliikehdintää jota vakaa mutta ei-niin-vakavamielinen kenttäväki pohjusti kovalla työllä.

En ole missään vaiheessa mitenkään peitellyt persuantipatioitani. Ne perustuvat kuitenkin vain ja ainoastaan sille, että monet syvästi inhoamani ilmiöt saavat jytkyttelystä voimaa ja ponnahdusalustaa: Homofobia, väkivaltainen "äärioikeistolaisuus", typerä nurkkakuntaisuus, luonnonsuojeluvastaisuus, ja viimeisimpänä älytön venäläismielisyys. Itse en ole minkäänsortin "russofobi", mutta soisin silti mieluummin että suomalaisten poliittisia linjauksia synkronoidaan mieluummin Brysselin (tai Berliinin), kuin Moskovan kanssa. Jos ei muuten, niin juuri näiden muiden seikkojen vuoksi. Hirvisaaren karnevalismi on ollut tässä sopassa minusta oikeastaan positiivinen valonpilkahdus.

Maksimaaliset loppukomponentit.

Markovin päätösprosessien (MDP) käyttö stokastisen reaktiivisen järjestelmän mallina on melko yleistä. Yksinkertaistaen MDP koostuu tiloista, "aakkostosta" tai tapahtumista ja tilasiirtymistä. Joskus tiloille annetaan vielä erilaisia määreitä, esimerkiksi tiloissa voidaan evaluoida tilapropositioita tai -predikaatteja. Sivuutan nämä nyt tässä yhteydessä.

MDP:n tilasiirtymä on kuvaus tiloista ja aakkosista jakaumaksi tilojen yli. Siis toisinsanoen, kun olemme tietyssä tilassa, ja vuorovaikutamme MDP:n kanssa tuottamalla tietyn tapahtuman, tai havaitsemme tapahtuman (eroa ei tässä yhteydesä tarvise tehdä), MDP reagoi siirymällä satunnaisesti johonkin tilaan ja tällä siirtymisellä on tietty jakauma. Tapahtuma voi tietenkin olla myös täysin deterministinen ja johtaa yhteen uniikkiin tilaan, tämä on erityistapaus jossa jakauman tiheysfunktio saa arvon 1 jossain tilassa ja 0 muissa.

Vuorovaikutusta varten voidaan ajatella vastustaja, joka valitsee tapahtumat jollakin perusteella. En mene tässä nyt siihen teoriaan, mutta ns pelisemantiikat ovat käyttäytymisen analysoimisen malleja, jossa kaksi vastustajaa pyrkii vuorotellen valitsemaan tapahtumia, ja toinen yrittää saada aikaan virheen ja toinen estää sen; järjestelmän oikeellisuus on siis kiinni siitä, voiko "paha" vastustaja voittaa vai ei. Oletan tässä yhteydessä että meillä on vain yksi vastustaja (kutsutaan myös skeduleriksi, engl. scheduler), mutta pidän tästä sanasta enemmän.

Useimpia ominaisuuksia tutkitaan selvittämällä todennäköisyyksiä kaikkien mahdollisten vastustajien yli. Yksi tärkein rakenteellinen entiteetti on niin sanottu loppukomponentti (engl end component).  Loppukomponentti on joukko tiloja ja tilasiirtymiä jolla on seuraavanlaiset ominaisuudet: Ensiksikin jokaisessa tilassa voidaan valita jokin tilasiirtymä (ellei sitten tila ole yksinään joukossa), ja toisekseen, kaikki tällaisen tilasiirtymän mahdolliset lopputulemat ovat myös joukossa.  Kolmanneksi, jokaisesta tilasta on mahdollista (so. nollaa suuremmalla todennäköisyydellä) päästä jokaiseen muuhun joukon tilaan seuraamalla joukon siirtymiä.

Loppukomponentti C on maksimaalinen, jos MDP:stä ei löydy loppukomponettia, jonka osajoukko C olisi.  Maksimaaliset loppukomponentit muodostavat ekvivalenssiluokat MDP:n tiloille. Osa tietenkin on triviaaleja, eli sisältää vain yhden tilan eikä yhtään siirtymää.

Loppukomponentit ovat tärkeitä siksi, että vastustaja joka pelaa "loputtomiin" päätyy poikkeuksetta raja-arvona johonkin loppukomponenttiin, riippumatta siitä miten se pelaa. Yksi rakenteellinen laskennallinen ongelma MDP:n osalta on niinsanottu maksimaalisten loppukomponenttien dekompositio, jossa MDP jaetaan.

Jouduin, hieman yllättäen, rakentamaan ratkaisun kysymykseen: Onko annetussa MDP:ssä ei-triviaalia loppukomponenttia. Kysymys ei ole helppo laskennallisesti. En halunnut laskea dekompositiota, koska dekompositio on neliöllinen pahimmassa tapauksessa. Koska minulla ei ollut aikaa ratkaista ongelmaa "hyvin", päädyin toteuttamaan eräänlaisen "laiskan dekomposition", jossa pyritään mahdollisimman agressiivisesti eliminoimaan transitioita ja triviaaleja loppukomponentteja. Se tuntuu toimivan hyvin, mutta pahimmassa tapauksessa (kun ei-triviaaleja loppukomponentteja ei ole, ja tietyt patologiset ehdot toteutuvat) sekin on neliöllinen.

En löytänyt vastausta kysymykseen: Onko ei-triviaalisuuden ratkaiseminen olennaisesti yhtä kompleksista kuin dekompositio. Tiedän, että dekompositiolle on olemassa ratkaisu, jossa eksponentti ei ole kaksi, vaan noin puolitoista, mutta tämä ei vastaa kysymykseeni, eli siihen onko dekompositio (olennaisesti) välttämätöntä ei-triviaalisuuden päättämiseksi.  Epäilen että se on.

Tarvitsin tätä siksi, että olen kirjoittamassa työkalua, joka tarkastaa onko MDP tosiasiallisesti deterministinen. Tämä tarkoittaa siis sitä, että kun MDP:tä tarkastellaan sivuuttamalla tietyt tapahtumat (niiden ajatellaan olevan vastustajan tavoittamattomissa), vastustaja ei kykene saamaan järjestelmää käyttäytymään eri tavoilla toistamalla jotakin strategiaa. Tämä on tietyissä tietoturva- ja luotettavuusominaisuuksissa mielenkiintoisia kysymyksiä.

Auktoriteetti.

Auktoriteetti on jokin taho, joka kykenee toimimaan luottamuksen, tiedon, arvon, tms lähteenä. Auktoriteetti on myös määrällinen ja toisaalta laadullinen määre; toisilla tahoilla on enemmän auktoriteettia ja toisilla vähemmän, ja auktoriteetti koskee eri asioita. Tieteellinen auktoriteetti esimerkiksi on jokin sellainen, jonka sanomisiin, tai levittämään tietoon, suhtaudutaan jollakin tieteenalalla vakavasti ja tällaisen väitteille annetaan suurempi painoarvo.

Auktoriteetti on myös suhteellinen määre siinä mielessä, että auktoriteettina oleminen on aina auktoriteetin ja subjektin välinen suhde. Relativismi voidaan tässä yhteyssä ymmärtää lokaalisti, siis relativismi itsessään on suhteessa siihen, minkä relatiivinen eli suhteellinen luonne hyväksytään ja tunnustetaan. Esimerkiksi sellainen termi kuin "absoluuttinen auktoriteetti" on mieletön tässä viitekehyksessä. Abstraktio voidaan tietenkin rikkoa, koska jokainen tällainen suhteiden verkosto on aina materiaalisille syille alisteinen. Joistakin asioista joita emme koe relatiivisiksi, tulee sellaisia jos rikomme tiettyjä arkielämän perusoletuksia. Esimerkiksi poistamalla kaiken muutoin syötäväksikelpaavan, kannibalismin tabu muuttuu absoluuttisesta relatiiviseksi jo muutamassa vuorokaudessa. Kääntäen, useimmilla relatiiviksiksi koetuilla asioilla on melko tiukat fysikaaliset rajat, jotka saattavat tulla yllättäenkin vastaan.

Luottamusta tieteelliseen tietoon, siis jonkin kanonisen ja konsesukseksi koetun tieteellisen tiedon lähteen pitäminen auktoriteettina näkee usein paheksuttavan "auktoriteettiuskona". Esimerkkejä tästä löytyy monessakin paikassa. Esimerkiksi poliittisia ohjelmia joiden puolesta pyritään tieteellisellä tiedolla argumentoimaan, saatetaan kritisoida "auktoriteettiuskostat". Vastaavasti esimerkiksi kiista luonnonvalinnan opettamisesta kouluissa usein esitetään eri auktoriteettien välisen kiistana.

Richard Feynman saa tässä edustaa auktoriteettia kahdella tavalla. Ensiksikin, häntä voi perustellusti pitää yhtenä 1900-luvun merkittävimmistä tiedemiehistä. Merkittävimmät ja tunnetuimmat kontribuutionsa hän teki toki teoreettisessa fysiikassa, mutta hän tunsi läheisesti myös muita tieteenaloja. Hän oli myös erittäin taitava opettaja. Toiseksi, hän sanoo ylläolevassa videossa jotain, mikä vetoaa minuun hyvin syvällisellä tavalla. Auktoriteetti on siis tässä paitsi yleinen ja jaettu, myös minulle henkilökohtaisesti merkityksellinen.

Molemmat poikani aloittivat taannoin Taekwondo-harrastuksen. Vaimoni on nuorempana harrastanut kyseistä lajia enemmänkin. Oma martial arts-kokemukseni rajoittuu lapsena katsomiini 80-luvun aasialaisiin bulkki-kunfu-elokuviin, pariin alkeiskurssiin ja muutaman vuoden takaiseen sporadiseen miekkailuharrastukseen, joka päättyi miekan teräksen väsymiseen niin, että se ei ollut enää turvallinen. Kaikki ns kamppailulajit ovat kuitenkin verraten hierakisia ja perustuvat pitkälti auktoriteettiin, eli siihen että opettaja tai mestari määrää ja kertoo miten toimitaan. Auktoriteetti on tässä yhteydessä siis suhde jossa auktoriteetilla on kyky käskeä eli saada yksilö toimimaan tietyllä tavalla.

Sanonta tieto on valtaa viittaa merkitystason kytkökseen näiden kahden hyvin erilaisen auktoriteetin välillä. Kun joku tai jokin on arvojen tai muiden käsitysten suhteen auktoriteetti, tämä usein antaa jossain määrin ihmiselle myös tätä jälkimmäistä auktoriteettia. Jos Richard Feynman käski oppilaitaan tekemään jotain, nämä yleensä tottelivat. Siitäkin huolimatta, että Feynman itse ei juuri auktoriteetteja kunnioittanut.

Rationaalinen ihminen tarvitsee ensimmäisentyyppistä auktoriteettia jo yksinkertaisesti siksi, että oman mielipiteen muodostaminen on yksinkertaisesti aivan liian kallista. Ihmisellä ei ole yksinkertaisesti resursseja selvittää itse niitä asioita, joita esimerkiksi tieteellisen tiedon "auktoriteettiusko" mahdollistaa käytettävän tosiasioina. Toinen näkökohta on sitten se, onko prosessissa, joka tämän auktoriteetin tuottaa, jotakin pielessä. Olen kirjoittanut vertaisarvioinnin, julkaisukulttuurin jne ongelmista, mutta en puutu nyt siihen. Jos pyrimme käyttämään parasta käytettävissäolevaa tietoa, meidän on ainakin jossakin melko suuressa määrin, nojauduttava auktoriteettiin.


Vanhemmuuteen liittyy aina automaattisesti tietty auktoriteetti. Vanhemmuus onkin tärkein auktoriteettiasema, johon ihminen yleensä joutuu. Koska auktoriteetti on niin vahva, vanhemmuuteen liittyvä yhteiskunnallinen keskustelu myös polarisoituu herkästi. Vanhemmuus siirtää käsityksiä ja muokkaa uusia lapsissa, usein tavoilla joita vanhempi ei aina edes itse voi ymmärtää. Lapsi kasvaa ympäristössä, joka on erilainen kuin vanhemman oma ympäristö. Yleensä vanhempi myös pyrkii korjaamaan virheellisiksi kokemiaan seikkoja niin, että hänen lapsensa ei joutuisi kärsimään niistä haitoista joita hän itse on kokenut omien vanhempiensa auktoriteetista, ja toisaalta kopioimaan ne hyödyt. Tämä on kuitenkin usein vaikeaa, koska ympäristötekijät ovat muutoin sangen erilaiset, ja yleisestiottaen vanhempien vaikutus on, aivan äärimmäisiä ylilyöntejä lukuunottamatta, melko vähäinen. Lapsuuden kokemukset kuitenkin muodostavat ihmisen ajattelun selkärangan tavalla, jota ei myöhemmällä iällä ole helpooa muuttaa kovin radikaalisti. Tämänkin vuoksi vanhemmuuteen liittyy valtava vastuu.

Minut on kasvatettu - jos tällaista sanaa voi edes käyttää - ajattelmaan asioista suunnilleen niinkuin Feynman ajattelee, enkä ole sitä itse valinnut. Koen että se on "oikea tapa" ajatella, mutta tämä johtuu puhtaasti siitä, että itse ajattelen näin. Ihmisen aivo onkin rakentunut niin, että ihmiselle on hyvin hankalaa edes kuvitella olevansa ajattelunsa tavoissa "väärässä" jollakin yleisemmällä tasolla. Ihminen kykenee kuvittelemaan kontrafaktuaaleja, siis asioita jotka eivät yksilön oman käsityksen mukaan pidä paikkaansa, ja tekemään niistä johtopäätöksiä, mutta tapa jolla itse päättely etenee, on vaikea hahmottaa virheelliseksi.

Itselleni esimerkiksi auktoriteetin luotettavuus kasvaa sillä, että tämä ilmaisee epävarmuutta ja kartoittaa tietämyksensä, varmuutensa ja kokemuksensa rajoja.  Tosiasiat ovat inherentisti epävarmoja, niihin liittyy ihmiselle aina epävarmuus. Vaatimus varmuudesta on ikäänkuin vaatisi että jokaisen predikaatin eteen lisättäisiin kirosana vahvistamaan viestiä, ja siivoa kielenkäyttöä pidettäisiin "nolona" tai "nössönä". Auktoriteetti joka ei salli itseään kyseenalaistettavan tai haastettavan, ei voi mitenkään vaatia tai ylläpitää auktoriteettiaan. Oman ajatteluni kristilliset juuret näkyvät mielestäni ehkä selkeimmin juuri tässä kohtaa, ja aivan suosikkikohtani Raamatusta onkin Joh 8:32

ja te tulette tuntemaan totuuden, ja totuus on tekevä teidät vapaiksi