Toiset ovat tasa-arvoisempia kuin toiset, osa II

Yleisradio valehtelee otsikossaan räikeästi. Tämä ei sinänsä ole mitenkään omituista, sillä feministisen propagandan tiedetään menevän kaikista filttereistä läpi täysin kritiikittä. Se, mikä tässä valehtelussa mättää, on että tällaisia tulkintoja käytetään julkisten varojen kohdentamiseen ja päihdetyöhön panostus siis tapahtuu tällaisen tulkinnan kautta.

Alkuperäinen tutkimus johon tekstissä viitataan, kertoo täysin päinvastaista tietoa:

• Huumeongelmaisista suurin osa on miehiä: Buprenorfiinin käyttäjistä 71% ja muista huumeongelmaisista noin 69% on miehiä. Näiden ryhmien kuolleista on miehiä vastaavasti 75 prosenttia ja  85%; miehet ovat siis yliedustettuina kuolemantapauksissa.
• Kauhua herättävässä ryhmässä "nuoret naiset", eli ikäryhmässä 20-29-vuotiaat, kuolleisuudet ovat 9.8 ja 4.9 per 1000 elinvuotta, kun taas samanikäisissä miehissä kuolleisuudet ovat 10.8 ja 11.6. Tämä on ryhmistä se, jossa kuolemantapausten määrät ovat lähinnä toisiaan; kaikissa muissa miesten kuolleisuus on paljon suurempi.

Otsikoinnille jotain oikeutusta voidaan toki hakea siitä, että nuorten naisten (tm) joukossa kuolleisuus on muissa kuin näissä huumeidenkäyttäjissä niin alhainen, että kuolleisuuden suhteellinen kasvu on suurin; kuolleisuus buprenorfiinia käyttävillä naisilla on liki 28 kertainen.  Jos kuitenkin katsotaan vain residuaalia, niin huumeidenkäyttö tuottaa suunnilleen saman määrän "ylimääräisiä" kuolemia nuorissa naisissa kuin miehissä.

Oikeampi otsikko siis olisi, että huumeidenkäyttö on lähes yhtä vaarallista naisille kuin se on miehille. Tämä ei kuitenkaan olisi "tasa-arvopolitiikan" ja feministisen doktriinin mukaista uutisointia. Feministinen doktriini nimittäin sanoo, että nainen on uhri ja mies taas on itse syypää omaan osaansa. Siksi se, että huumeidenkäytön haitat eivät katso sukupuolta, on tasa-arvo-ongelma, sillä suojeltu etuoikeutettujen ryhmä -- nuoret naiset -- joutuu tässä kärsimään "aiheettomasti". Siksi tähän kammottavaan epätasa-arvoon täytyy puuttua.

Koskahan annetaan ensimmäinen poliittinen toimenpidehdotus, että nuorten naisten päihdetyöhön pitää kanavoida enemmän rahaa, ja että nimenomaan nuorten naisten pitää päästä päihdehoidossa jonon ohi? Veikkaukset ja havainnot kommentteihin, kiitos.

Tulevaisuus ja energia.

Himasen rapsa on kohta jo ns. menneen talven lumia. Pidin suuni kiinni koko asiasta, koska en tuoreeltaan viitsinyt lainkaan perhetyä asiaan; jos ja kun lukisinkin sen läpi, niin en saisi niitä tunteja elämästäni koskaan takaisin. Siksi luen mieluummin referaatteja asiasta, ja niiden perusteella olen tullut tulokseen, että päätökseni olla lukematta oli oikea.

Yhteiskunta kaipaa konkretiaa, ja mielestäni jonkinlainen "feel-good"-fiilistely ja blanket-lausumat jostain henkisestä kestävyysvajeesta, retoriikka ja ns. nami-nami-positiivisuus on typerää. En nyt viittaa tällä siihen, että olisi jotenkin merkityksetöntä tai epäolennaista pyrkiä korjaamaan asenneilmapiiriä, vaan siihen, että tällainen kansakunnan henkisen olemuksen idealistinen korjailu  retoriikalla ei johda mihinkään mielekkääseen. Kyse on eräällä tasolla rattaiden asettamisesta hevosen eteen. Positiiviset vaikutukset mielialaan, eräänlainen "animal spirits"-ilmiön kääntäminen positiiviseksi voi toki olla erilaisten toimenpiteiden seuraus ja positiivista muutosta ylläpitävä voima.

Ideologisen hötön ongelmana on myös se, että sen tulkitsija itse päättää mitä aihe tarkoittaa. Jos minä olisin ollut pääministeri (onneksi en ole), olisin mieluummin kasannut tiimin, johon olisin ottanut useammalta eri alalta ihmisiä, joilla on käytännöllisiä suosituksia toimenpiteille. Olisin myös vaatinut että kestävyysvajeen ja valtion velkaantumisen kaltaisiin makroilmiöihin olisi puututtu konkretialla ja pohtimalla sitä, mikä on valtion ja kuntien ydintoimintaa.

Kävin aihetta sivuavaa keskustelua viikonloppuna seurueessa jossa oli sekä humanisteja että liike-elämässä vaikuttavia henkilöitä. Olimme erään tuttavan karonkassa ja hyvässä hengessä keskustelimme lähinnä tiede- ja tutkimuspolitiikasta ja sen ongelmista. En nyt lähde tässä erittelemään sen tarkemmin, mutta yksi olennainen seikka oli, josta olimme yhtä mieltä: Kovin harvoin ymmärretään, mitä strategialla oikeastaan tarkoitetaan. Kun poliittisin päätöksin ajetaan jotakin "strategista" päätöstä, se muuttuu aivan liian usein mikromanageroinniksi jossa kiinnitetään huomiota epäolennaisuuksiin. Suomessa on paraatiesimerkkejä tästä, kuten vaikkapa ns. paskalaki, tai erilaiset rakennusmääräysten yksityiskohdat kautta aikojen.

Mistä päädymmekin yhteen tulevaisuuden kipukohtaan, josta olen kirjoittanut toistuvasti, eli energiapolitiikkaan. Pääsääntöisesti lähtökohdan tulisi olla, että energiaratkaisut ja energian hinta sinänsä määräytyy markkinoilla kysynnän ja tarjonnan mukaan. Erilaiset pistesubventiot, takuuhinnat, energiaverot ja vastaavat sotkevat tilannetta aivan tarpeettomasti. Jos ja kun tunnistetaan jokin ongelma, johon halutaan puuttua - esimerkiksi halutaan hiilidioksidipäästöjä vähentää - on täysin järjetöntä mikromanageroida yksittäisiä ihmisten päätöksiä.

Otan esimerkin. Taloni lämpenee öljyllä. Lämmitysöljyn hiilidioksidipäästöt ovat 2.6 kilogrammaa per litra. Tämä tarkoittaa, että talon lämmitys tuottaa noin 7.5 tonnia hiilidioksidia vuodessa. Jos ostaisin tämän päästöoikeuden EU:n päästökaupasta ja maksaisin hienoista ylihintaa eli 5 euroa per tonni, niin hintaa tulisi 37,5 euroa. Polttoainevero sensijaan tästä määrästä on noin 450 euroa, ja arvonlisävero sunnilleen 500 euroa.  Maksan siis veroa 950 euroa vuodessa talon lämmittämisestä. Voimme tietenkin olla realisteja ja todeta, että a) arvonlisävero on kaikille sama (mikä on ihan totta) ja b) polttoaineverokin on puhtaasti fiskaalinen eikä edes pyri olemaan ohjaava vero.

Jos kuitenkin uskomme juhlapuheita ja pidämme lämmitysöljyn polttoaineveroa "haittaverona", niin tämä kyllä saattaa sangen kummalliseen valoon kivihiilen. Sen vero nimittäin on tonnia kohden 137 euroa, eli 13.7 senttiä kilo. Kilo hiiltä poltettuna tuottaa  3.6 kiloa hiilidioksidia. Jos tuottaisin samat hiilipäästöt polttamalla kivihiiltä, joutuisin maksamaan siitä veroja (ilman ALV:ia) noin 285 euroa. Valtion tasolla ollaan siis sitä mieltä, että kotitalouksien lämmityksessä tuottama hiilitonni on jotenkin maagisesti yli 70% pahempi kuin hiilivoimalaitoksen polttama hiili. Ja hyötysuhdetta en edes ottanut huomioon (eikä sitä tietenkään pitäisi ottaakaan huomioon).  Asiaa voi tarkastella myös oiheisesta taulukosta, jossa näkyy vielä kirkkaammin tämä typeryys: hiilidioksidiveron  tonnikohtainen hinta on ajoneuvojen polttoaineille: Dieselin "hiilidioksidivero" on noin 6 senttiä per kilo, kun se kivihiilelle on 0.02 senttiä. Toiset ovat siis tasa-arvoisempia kuin toiset.

Tässä näkyy myös se totaalinen urpoilu josta päästökaupan vastustajien argumenteissa on kyse. Todellinen ongelma ei ole päästökauppa ja yritykset hillitä hiilidioksidipäästöjä, vaan todellinen ongelma on mikromanagerointi, joka kohdistetaan pistemäisesti yksittäisiin paikkoihin niin, ettei haitan hinta todellakaan ole sama kautta linjan. Toki tämän voi kehystää niinkin, että veroja kerätään sieltä mistä rahaa saadaan ja ihmiset saadaan hyväksymään tällainen asia typerillä perusteluilla. Kivihiilen polttajilla on tehokkaat lobbarit kertomassa päättäjille miten koko yhteiskunta kaatuu, jos heitä verotetaan kuten tavallisia kansalaisia.

Tässä kohtaa ehdottaisin, että tehdään homma fiskaalisesti neutraaliksi niin, että sama määrä veroa kerätään, mutta niin että kaikkea hiilidioksidia verotetaan tarkalleen samalla summalla. Nokeavaa tai rikkipitoista polttoainetta voi toki verottaa hieman enemmän, koska siitä aiheutetaan haittaa muille. Tämän jälkeen markkinoiden voisi antaa hoitaa asian. Väittäisin että tuulivoiman suosio kasvaisi ihan ilman tukia. Ja bensakin halpenisi.


Ps. Tokihan tuo polttoaineveron ohjaus "toimii". Aion investoida muutaman satasen yläpohjan eristämiseen, koska sillä säästän parikymmentä prosenttia öljylaskusta vuodessa. Jos hinta olisi vähäisempi, niin tämä ei kannattaisi. Tämän asian moraalisena ongelmana kehystävät näkevät tässä jotain positiivista. Siis, että on erityisen hienoa että yksittäiset henkilöt tekevät "uhrauksia". Tämä on kuitenkin sellaista hyve-etiikkaa jota en voi yksinkertaisesti hyväksyä. Tosiasioilla ja seurauksilla on väliä, ei sillä, kuinka protestanttisesti uhraudumme jonkin "hyvän asian" eteen. Päinvastoin, moraalinen kehystäminen haittaa ongelmien ratkaisemista oikeasti, koska moraalinen kehystys antaa ihmisille tekosyyn olla piittaamatta asioista. Moraalihan on yksityisasia.

Tosiasioista ja arvoista.

En ota sinänsä kantaa Russellin tässä videopätkässä esittämään moraaliseen arvostelmaan. Huomautan siitä närkästyville, että hän puhui aikana, jolloin ydinsodan uhka oli todellinen ja maailmassa vallitsi voimakas vastakkainasettelu "lännen" ja "idän" välillä; tämä vastakkainasettelu uhkasi kaikkia.

Sensijaan sananen älyllisestä ohjeesta. Russell toteaa vain faktojen tarkastelun olevan keskiössä; väittämän tosiasialuonne on se, joka määrittää missä määrin väittämää tulee pitää totena, eikä esimerkiksi se, olisiko parempi tai huonompi asia sosiaalisesti, jos kyseinen väittämä uskottaisiin.

Otan melko raflaavan esimerkin, eri etnisten ryhmien väliset erot koulumenestyksessä ja sen, onko kyseessä jonkinlainen geneettinen ominaisuus. Tästä esitetyt väittämät ovat eri määrin tosia tai epätosia; geneettisellä komponentilla on jokin, todennäköisesti nollaa suurempi vaikutus. Olennaista ei tässä tarkastelussa ole se, mikä varsinainen tosiasia on, vaan se, että tosiasia on tosiasia eikä riipu siitä, miten haluaisimme asiantilan olevan.

Törmään toistuvasti sellaiseen ilmiöön jossa omassa viiteryhmässäni eli ns. suvaitsevaisisten ihmisten joukossa esitetään väittämä jonka mukaan tämäntyyppinen asiantila on X ja vain jotenkin arvomaailmaltaan kyseenalaiset ihmiset uskovat asiantilan olevan Y. Perusteluna on se, että asiantilan Y ajatellaan oikeuttavan jokin negatiivinen suhtautuminen toisiin ihmisiin.

Pidän tätä aika kummallisena lähtökohtana. Jos perusarvoasetelma koskee sitä, miten meidän tulisi suhtautua toisiin ihmisiin - esimerkiksi "kaikkia tulee kohdella yksilöinä" - niin eikö tämän arvoasetelman pitäisi olla riippumaton siitä, mitä tilastollisia ominaisuuksia uskomme jollakin ihmisryhmällä olevan? Eikö pikemminkin tarve kiistää tosiasia Y tämän julkilausutun arvostelman "tueksi" osoita, että kyseinen arvostelma on puuta heinää?

Gravity

Kävin katsomassa elokuvan Gravity tiistaina. Pidin elokuvasta suuresti, enkä spoilaa sen kummemmin. Elokuvassa on kaksi näyttelijää, ja se sijoittuu matalalle kiertoradalle. Suuren osan elokuvaa katsoja jännittää, josko happi loppuu tai pettääkö jokin rakenne, tms.

Elokuvassa on muutamia häiritseviä "virheitä". Itselläni pahimmin kiinnitti huomion se, että törmäyskurssilla oleva avaruusromu, joka on eri kiertoradalla, palaa takaisin tietyin aikavälein. Siis, ikäänkuin tapahtumien viitekehys olisi "paikallaan" maapalloon nähden. Toinen on se, että romu palaa 90 minuutin kuluttua, mutta ohi lentävästä romusta saa selkeä näköhavainnon. Viidensadan kilometrin korkeudella kiertoratanopeus on noin 7.6 kilometriä sekunnissa. Kiertoaika kyllä oli saatu oikein, eli se on noin 90 minuuttia. Mutta a) todennäköisyys että romupilvi ja sankareiden oma kiertorata osuisivat tarkalleen samaan kohtaan 90 minuutin kuluttua, on äärimmäisen pieni ja b) 7.6 kilometriä sekunnissa matkaava romukappale ohittaa esimerkiksi kuvassa näkyvän ISS-avaruusaseman (joka on vajaa 110 metriä leveä) 1.4 sadasosasekunnissa. Ehkä avaruusromun näkyminen oli jonkinlainen draamallinen tehokeino.  Toinen mikä tietysti oli epärealistista oli se, että Hubble, ISS ja nimetön kiinalainen avaruusasema sijaitsevat lähes identtisillä kiertoradoilla vain lyhyen etäisyyden päässä toisistaan.

Tästä kaikesta huolimatta, elokuva oli loistava.

Äärettömyys.

Usein esitetty filosofinen ongelma logiikan ja matematiikan suhteen on se, miten äärettömyyteen pitäisi suhtautua. Emme oikeastaan edes tiedä mitä tarkalleenottaen äärettömyydellä tarkoitetaan, ellemme määrittele sitä jotenkin. Lähdetään siis perusteista.

Lähdetään ensimmäisen kertaluvun kielestä, jossa emme nyt rajoita sen kummemmin ilmaisua. Oletetaan että voimme sanoa jotain sellaista että "a = b", ilmaistaksemme identiteettiä. Termit a ja b siis viittaavat "johonkin" ja identiteetti tarkoittaa että ne viittaavat samaan. Jos sanomme, että "ei a=b", niin sanomme, että a ja b eivät ole identtisiä. Ilmaisen tämän "a != b" Tällainen termi, ollessaan totta, ilmaisee jo (implisiittisesti) lukumäärää: Se sanoo että ainakin kaksi termiä viittaa eri asioihin.

Tästä erillisyydestä voimme jalostaa eräänlaisen äärettömyyden seuraavalla tavalla. Tarkastellaan binääristä relaatiota R, joka ilmaisee a:n ja b:n suhdetta. Sovitaan että R:llä on seuraavat ominaisuudet: 1. Jos R(a,b) pätee ja R(b,a) pätee, niin a = b. 2. Jos R(a,b) pätee, ja R(b,c) pätee,
niin R(a,c) pätee. 3. Jokaiselle alkiolle x on olemassa alkio y siten että x != y ja R(x,y) pätee.

Tälle relaatiolle ei ole olemassa äärellistä mallia. Nimittäin, jos mallissamme on äärellinen määrä - olkoon se mikä hyvänsä, esimerkiksi 3 - alkioita, voimme valita niistä yhden - minkä tahansa - ja merkitä tätä symbolilla "0".  On olemassa alkio x, joka on erisuuri kuin 0, siten, että R(0,x) pätee. Toisaalta, ei voi päteä että R(x,0), koska tällöin x = 0 pätisi ominaisuuden 1 nojalla. Sovelletaan kohtaa 3 alkioon x, saamme uuden alkion, y. Edelleen, voimme kohdan 2 ja 1 nojalla toteamme, että myös y !=0. Itseasiassa, joka kerta kun sovellamme kohtaa 3, saamme alkion, jota emme ole vielä kohdanneet.  Mutta jos mallissamme oli kolme alkiota, niin kolmas yritys soveltaa kohtaa 3 johtaa ristiriitaan: Uuden alkion pitää olla erisuuri kuin 0, x, tai y, koska 3:n kohdan nojalla se ei ole y, ja jos se olisi x, niin R(x,y):stä seuraisi kohdan 1 nojalla, että se uusi alkio olisi y, mikä on ristiriita. Ja jos uusi alkio olisi 0, niin kohdan 2 nojalla uusi alkio olisi taas x, mikä ei ole mahdollista.

Äärellisen mallin olettaminen johtaa siis väistämättä ristiriitaan. Tiukan finitistinen tulkinta matematiikasta sanoisi, että hyvä on, tämä tarkoittaa että alkuperäinen ominaisuuksien joukko on väistämättä ristiriitainen. Tämä vastaisi siis sellaista joukko-opin aksiomatisointia joka sanoisi että kaikki joukot ovat äärellisiä.

Mutta tämä johtaa ongelmiin sekin. Esimerkiksi, jos oletamme, että luonnollisten lukujen joukko on hyvin määritelty käsite, ja otamme relaation R(x,y) tarkoittamaan "y = x +1", niin luonnollisten lukujen joukko *on* malli R:lle, siis, tämä relaatio toteuttaa R:n ominaisuudet. Se on siis ääretön.

Luonnollisten lukujen joukkoa pidetään eräänlaisena standardimallina sille, mitä normaali aritmetiikka tarkoittaa. Tässä viittaan siis sellaisiin asioihin kuin "lukuteoria" tms, jossa on kyse siis yhteen- ja kertolaskusta ja niistä johdetuista operaatioista. Sitä voidaan pitää lukumäärien teorian standardimallina. Luonnollisten lukujen kanssa isomorfista(*) joukkoa nimitetään sanotaan numeroituvaksi joukoksi. Numeroituvan joukon alkioille voidaan kullekin antaa oma luonnollinen luku nimeksi tai indeksiksi.  Numeroituvuus on tietyssä mielessä yksinkertaisin äärettömyyden laji.

Jo numeroituvuus synnyttää monia "paradoksaalisia" tuloksia. Esimerkiksi Gödelin ensimmäinen epätäydellisyyslause on mahdollista todistaa, kunhan meillä on riittävän ilmaisuvoimainen formalismi. Siihen vaaditaan luonnolliset luvut ja aritmeettiset perusoperaatiot, mutta ei juuri muuta. Tällöin saadaan luotua tilanne, jossa struktuurin ominaisuudet "karkaavat" yrityksiltä määritellä se: Struktuurilla voidaan "nähdä" olevan ominaisuuksia joita ei yksinkertaisesti ole mahdollista todistaa.

Sama ilmiö hiipii sisään kaikkiin formalismeihin, jotka sallivat "riittävästi" ilmaisuja jotta voimme erotella kaikki ne asiat jotka formalismi itse kykenee tekemään. Esimerkiksi kelpaavat rekursiiviset funktiot. Jos lähdemme luonnollisista luvuista sen kummemmin problematisoimatta niiden operaatioita, voimme määritellä funktioita jotka voidaan "kuvata" yksinkertaisista lähtökohdista lähtien. Yksinkertaisia peruskuvauksia ovat nollafunktio joka saa arvon 0 joka tilanteessa, seuraajafunktio joka saa arvon x ja palauttaa arvon x+1, i:s projektiofunktio joka saa n argumenttia ja palauttaa niistä i:nnen, kompositio kuvaa n-argumenttisen funktion: Kun g kuvaa k-argumenttisen funktion ja funktiot h1,..., hk kuvaavat n-argumenttisia funktiota, niin f(x) = g(h1(x), ... , hk(x)) on kompositio. Näiden lisäksi on kaksi kuvausta: rekursiokuvaus joka kuvaa n+1 parametrisen funktion: kun g on n parametrinen funktio ja h on n+2 parametrinen funktio, niin f(x,0) = g(x) ja f(x,y+1) = h(x,y,f(x,y)), ja minimointi joka kuvaa n-parametrisen funktion n+1 parametrisen funktion avulla. f(x) =  μ y g(x,y). Tämä tarkoittaa, että f(x) saa arvokseen pienimmän sellaisen y:n arvon, jolla g(x,y) = 0. Näistä ainoastaan minimointi voi tuottaa jotakin mikä ei ole hyvin määritelty.

En lähde tässä sen tarkemmin käymään läpi rekursiivisten funktioiden teoriaa. Olennaisia asioita on kaksi: Kaikille rekursiivisille kuvauksille voidaan esittää numero, joka yksilöi juuri sen kuvauksen, ja että kaikkia funktioita ei voida kuvata rekursiivisilla kuvauksilla, mutta "suuri osa" voidaan. Aivan erityisesti, niiden avulla voidaan kuvata aivan kaikki sellaiset luonnollisten lukujen funktiot jotka ylipäätään voidaan laskea esimerkiksi tietokoneella. Siitä huolimatta voidaan määritellä aivan ymmärrettäviä ja intuitiivisesti hyvinmääriteltyjä funktioita joista kuitenkin voidaan todistaa, etteivät ne ole rekursiivisia. Epätäydellisyyslausekin voidaan ilmaista siten, että jokainen lukuteorian aksiomatisointi, joka voitaisiin tulostaa (päättymättömällä) tietokoneohjelmalla, on epätäydellinen, eli ei koskaan tuota kaikkia tosia väittämiä.

Finitistit eivät pääsääntöisesti hyväksy näitä tuloksia, ja tässä on argumenttina se, että vaikka teoriat muilta osin ovat aivan hyvin käyttäytyviä, ne postuloivat että "kaikki" funktiot tai "kaikki" tietokoneohjelmat - samoin kuin "kaikki" luonnolliset luvut - on huonosti määritelty käsite. Vaikka tämä näkemys on vähän ankea ja hankala, se ei ole täysin epärationaalinen. Sen tueksi on olemassa jopa joitakin tuloksia. Nimittäin, vaikka tiedämme esimerkiksi että universaalia pysähtymistesteriä ei ole - samoin kuin ei ole rekursiivista kuvausta funktiolle joka palauttaisi 0 kun sille annettu numero on sellaisen funktion kuvaus joka on kaikkialla hyvinmääritelty ja 1 muulloin - tiedämme myös, että jokaista tällaista turingin konetta tai rekursiivista kuvausta kohden on olemassa sellainen rekursiivinen funktio joka tunnistaa äärettömän määrän tällaisia koneita ja että juuri tämä kone kuuluu siihen luokkaan jonka ko. funktio tunnistaa.

Voidaan siis argumentoida, että ainoa ongelma on sellainen universaalius, joka lupaa jotain "kaikille" luvuille tai "kaikille" koneille tai "kaikille" funktiokuvauksille, ja että tämä ongelma ja ratkeamattomuus- ja epätäydellisyystulokset ovat seurausta tästä typerästä lupauksesta, koska mitään äärettömyyttä ei ole olemassakaan.

En itse usko että tämä on välttämättä hedelmällinen lähtökohta, mutta en myöskään voi kumota sitä millään sellaisella argumentilla, joka olisi täysin vakuuttava. Formalistina tietysti ajattelisin, että kysymys siitä onko äärettömyyttä "olemassa" ei ole merkitystä, vaan ainoastaan sillä, mitä voimme äärettömyydestä päätellä. Se ei ole "totta" tai ole olematta, vaan ainoastaan tietyn merkkijonopelin tuloksia. Tämä näkemys on kuitenkin kovin epätyydyttävä useimmille ihmisille filosofisesti. En ota vahvaa kantaa siihen, miksi näin on, mutta voi tietenkin olla vain niin, että ihmisen aivot nyt vaan ovat huonot koska ne etsivät liian yksinkertaisia vastauksia, puhtaasti omaa vajavaisuuttaan. Äärettömyyshän on lopulta vain nimi sille että lukumäärä ei todellakaan ole hyvinmääritelty.

Kompaktisuus

Kompaktisuus on oikeastaan topologinen käsite, joka viittaa suljettuun ja rajoitettuun joukkoon. Miten ihmeessä siis ns kompaktisuuslause logiikassa sanoo, että (äärettömällä) joukolla logiikan kaavoja on malli jos ja vain jos jokaisella sen äärellisellä osajoukolla on malli? Miten tämä liittyy kompaktisuuteen?

Kompaktisuuslause voidaan todistaa monellakin tapaa. Yksi tapa on hyödyntää Gödelin täydellisyyslausetta. Se nimittäin sanoo, että jos joukosta lauseita ei voida johtaa ristiriitaa, sillä on malli. (Itseasiassa se sanoo tämän kontrapositiivisen: Jos joukko lauseita on tautologia, sillä on todistus, mutta todistus menee silti läpi) . Näin todistettuna näyttääkin helposti siltä, että topologinen kompaktisuus on jotain ihan muuta.

Lauseen voi todistaa kuitenkin toisinkin. Johdatus tähän todistukseen on kovin pitkä, mutta koetan tiivistää. Voimme nimittäin ottaa (äärettömän) kokoelman (potentiaalisia) malleja joukolle kaavoja. Tämä kokoelma voi olla ihan hyvin vaikka mitä kardinaalisuutta, mutta on ehkä helpointa ajatella että mallit voidaan indeksoida jostain numeroituvasta joukosta I peräisin olevilla indekseillä.

 Laadimme "meta-domainin" D, jonka alkiot saadaan niin, että otetaan yksi alkio kunkin indeksoidun mallin domainista.

Määrittelemme "metamallin", joka on joukon I osajoukko. Annetun kaavan X "metamalli" on se I:n indeksien joukko, joilla indeksoiduissa malleissa kaava X pätee. Merkitsemme tätä [X]:llä. Metamallit muodostavat boolen algebran, jolla on erilaisia miellyttäviä ominaisuuksia. Esimerkiksi jos meillä on kaavat X ja Y, niin logiikan kaavan "X ja Y" metamalli on [X]:n ja [Y]:n leikkaus. Tämän metamallin konstruktio on siinä määrin monimutkainen, että jätän sen väliin tässä kohtaa.

Koska metamallien joukko muodostaa boolen algebran, voimme puhua esimerkiksi filttereistä. Kun filtteri F on annettu, se on kokoelma I:n osajoukkoja. Filtteri indusoi ekvivalenssiluokkia; olkoon t ja r termejä. Tällöin t = r pätee joissain malleissa ja joissain ei. [t = r] on siis niiden mallien indeksien joukko, joissa t ja r viittaavat samaan mallin alkioon. Meta-domainin alkiot a ja b sovitaan ekvivalenteiksi, jos [a = b] on filtterissä, eli niiden indeksen joukko joissa a ja b viittaavat samaan alkioon ovat filtterissä.

Muodostamme "supermallin" (sic) niin, että sen domain on metadomainin ekvivalenssiluokkien joukko. Saamme ns. Lósin lauseen: Supermalli on kaavan X malli kun X:n metamalli kuuluu filtteriin.

Kompaktisuus todetaan niin, että jos jokaisella kaavajoukon U äärellisellä osajoukolla on malli, niin otetaan indeksijoukoksi I kaikki U:n äärelliset osajoukot. (Näitä on numeroituva määrä). Jokaiselle indeksille i siis löytyy malli M_i. Määritellään tämän kattojoukko N_i niin, että se on kaikkien niiden indeksien joukko joiden osajoukko M_i on. (ja näitähän löytyy tietenkin äärettömästi).

Otetaan nyt jokin I:n osajoukko, vaikkapa M1,...,Mn. Tällöin näiden kattojoukoille pätee, että M-joukkojen unioni kuuluu N-joukkojen leikkaukseen. Tästä seuraa, että N-joukkojen äärellinen leikkaus on N-joukko! Jokainen Boolen algebran kokoelma sisältyy johonkin ultrafiltteriin. Niinpä N-joukkojen kokoelma sisältyy johonkin I:n ultrafiltteriin F.

Tällöin voimme muodostaa Lósin lauseessa mainitun supermallin F:stä ja I:stä. Tämä supermalli on U:n malli.

Jos nyt antaisimme indeksijoukon olla mielivaltainen, voisimme ottaa I:ksi hyvin suuren mallien joukon. Tällöin, annetulle kaavalle X, Mod(X) on niiden mallien joukko jotka ovat X:n malleja. Nämä joukot muodostavat kannan I:n topologialle. Annetulle kaavajoukolle U,  Mod(U) on *suljettu* joukko, joten kompaktisuuslause toteaa että Mod(X):ien indusoima topologia on kompakti.