Äärettömyys.

Usein esitetty filosofinen ongelma logiikan ja matematiikan suhteen on se, miten äärettömyyteen pitäisi suhtautua. Emme oikeastaan edes tiedä mitä tarkalleenottaen äärettömyydellä tarkoitetaan, ellemme määrittele sitä jotenkin. Lähdetään siis perusteista.

Lähdetään ensimmäisen kertaluvun kielestä, jossa emme nyt rajoita sen kummemmin ilmaisua. Oletetaan että voimme sanoa jotain sellaista että "a = b", ilmaistaksemme identiteettiä. Termit a ja b siis viittaavat "johonkin" ja identiteetti tarkoittaa että ne viittaavat samaan. Jos sanomme, että "ei a=b", niin sanomme, että a ja b eivät ole identtisiä. Ilmaisen tämän "a != b" Tällainen termi, ollessaan totta, ilmaisee jo (implisiittisesti) lukumäärää: Se sanoo että ainakin kaksi termiä viittaa eri asioihin.

Tästä erillisyydestä voimme jalostaa eräänlaisen äärettömyyden seuraavalla tavalla. Tarkastellaan binääristä relaatiota R, joka ilmaisee a:n ja b:n suhdetta. Sovitaan että R:llä on seuraavat ominaisuudet: 1. Jos R(a,b) pätee ja R(b,a) pätee, niin a = b. 2. Jos R(a,b) pätee, ja R(b,c) pätee,
niin R(a,c) pätee. 3. Jokaiselle alkiolle x on olemassa alkio y siten että x != y ja R(x,y) pätee.

Tälle relaatiolle ei ole olemassa äärellistä mallia. Nimittäin, jos mallissamme on äärellinen määrä - olkoon se mikä hyvänsä, esimerkiksi 3 - alkioita, voimme valita niistä yhden - minkä tahansa - ja merkitä tätä symbolilla "0".  On olemassa alkio x, joka on erisuuri kuin 0, siten, että R(0,x) pätee. Toisaalta, ei voi päteä että R(x,0), koska tällöin x = 0 pätisi ominaisuuden 1 nojalla. Sovelletaan kohtaa 3 alkioon x, saamme uuden alkion, y. Edelleen, voimme kohdan 2 ja 1 nojalla toteamme, että myös y !=0. Itseasiassa, joka kerta kun sovellamme kohtaa 3, saamme alkion, jota emme ole vielä kohdanneet.  Mutta jos mallissamme oli kolme alkiota, niin kolmas yritys soveltaa kohtaa 3 johtaa ristiriitaan: Uuden alkion pitää olla erisuuri kuin 0, x, tai y, koska 3:n kohdan nojalla se ei ole y, ja jos se olisi x, niin R(x,y):stä seuraisi kohdan 1 nojalla, että se uusi alkio olisi y, mikä on ristiriita. Ja jos uusi alkio olisi 0, niin kohdan 2 nojalla uusi alkio olisi taas x, mikä ei ole mahdollista.

Äärellisen mallin olettaminen johtaa siis väistämättä ristiriitaan. Tiukan finitistinen tulkinta matematiikasta sanoisi, että hyvä on, tämä tarkoittaa että alkuperäinen ominaisuuksien joukko on väistämättä ristiriitainen. Tämä vastaisi siis sellaista joukko-opin aksiomatisointia joka sanoisi että kaikki joukot ovat äärellisiä.

Mutta tämä johtaa ongelmiin sekin. Esimerkiksi, jos oletamme, että luonnollisten lukujen joukko on hyvin määritelty käsite, ja otamme relaation R(x,y) tarkoittamaan "y = x +1", niin luonnollisten lukujen joukko *on* malli R:lle, siis, tämä relaatio toteuttaa R:n ominaisuudet. Se on siis ääretön.

Luonnollisten lukujen joukkoa pidetään eräänlaisena standardimallina sille, mitä normaali aritmetiikka tarkoittaa. Tässä viittaan siis sellaisiin asioihin kuin "lukuteoria" tms, jossa on kyse siis yhteen- ja kertolaskusta ja niistä johdetuista operaatioista. Sitä voidaan pitää lukumäärien teorian standardimallina. Luonnollisten lukujen kanssa isomorfista(*) joukkoa nimitetään sanotaan numeroituvaksi joukoksi. Numeroituvan joukon alkioille voidaan kullekin antaa oma luonnollinen luku nimeksi tai indeksiksi.  Numeroituvuus on tietyssä mielessä yksinkertaisin äärettömyyden laji.

Jo numeroituvuus synnyttää monia "paradoksaalisia" tuloksia. Esimerkiksi Gödelin ensimmäinen epätäydellisyyslause on mahdollista todistaa, kunhan meillä on riittävän ilmaisuvoimainen formalismi. Siihen vaaditaan luonnolliset luvut ja aritmeettiset perusoperaatiot, mutta ei juuri muuta. Tällöin saadaan luotua tilanne, jossa struktuurin ominaisuudet "karkaavat" yrityksiltä määritellä se: Struktuurilla voidaan "nähdä" olevan ominaisuuksia joita ei yksinkertaisesti ole mahdollista todistaa.

Sama ilmiö hiipii sisään kaikkiin formalismeihin, jotka sallivat "riittävästi" ilmaisuja jotta voimme erotella kaikki ne asiat jotka formalismi itse kykenee tekemään. Esimerkiksi kelpaavat rekursiiviset funktiot. Jos lähdemme luonnollisista luvuista sen kummemmin problematisoimatta niiden operaatioita, voimme määritellä funktioita jotka voidaan "kuvata" yksinkertaisista lähtökohdista lähtien. Yksinkertaisia peruskuvauksia ovat nollafunktio joka saa arvon 0 joka tilanteessa, seuraajafunktio joka saa arvon x ja palauttaa arvon x+1, i:s projektiofunktio joka saa n argumenttia ja palauttaa niistä i:nnen, kompositio kuvaa n-argumenttisen funktion: Kun g kuvaa k-argumenttisen funktion ja funktiot h1,..., hk kuvaavat n-argumenttisia funktiota, niin f(x) = g(h1(x), ... , hk(x)) on kompositio. Näiden lisäksi on kaksi kuvausta: rekursiokuvaus joka kuvaa n+1 parametrisen funktion: kun g on n parametrinen funktio ja h on n+2 parametrinen funktio, niin f(x,0) = g(x) ja f(x,y+1) = h(x,y,f(x,y)), ja minimointi joka kuvaa n-parametrisen funktion n+1 parametrisen funktion avulla. f(x) =  μ y g(x,y). Tämä tarkoittaa, että f(x) saa arvokseen pienimmän sellaisen y:n arvon, jolla g(x,y) = 0. Näistä ainoastaan minimointi voi tuottaa jotakin mikä ei ole hyvin määritelty.

En lähde tässä sen tarkemmin käymään läpi rekursiivisten funktioiden teoriaa. Olennaisia asioita on kaksi: Kaikille rekursiivisille kuvauksille voidaan esittää numero, joka yksilöi juuri sen kuvauksen, ja että kaikkia funktioita ei voida kuvata rekursiivisilla kuvauksilla, mutta "suuri osa" voidaan. Aivan erityisesti, niiden avulla voidaan kuvata aivan kaikki sellaiset luonnollisten lukujen funktiot jotka ylipäätään voidaan laskea esimerkiksi tietokoneella. Siitä huolimatta voidaan määritellä aivan ymmärrettäviä ja intuitiivisesti hyvinmääriteltyjä funktioita joista kuitenkin voidaan todistaa, etteivät ne ole rekursiivisia. Epätäydellisyyslausekin voidaan ilmaista siten, että jokainen lukuteorian aksiomatisointi, joka voitaisiin tulostaa (päättymättömällä) tietokoneohjelmalla, on epätäydellinen, eli ei koskaan tuota kaikkia tosia väittämiä.

Finitistit eivät pääsääntöisesti hyväksy näitä tuloksia, ja tässä on argumenttina se, että vaikka teoriat muilta osin ovat aivan hyvin käyttäytyviä, ne postuloivat että "kaikki" funktiot tai "kaikki" tietokoneohjelmat - samoin kuin "kaikki" luonnolliset luvut - on huonosti määritelty käsite. Vaikka tämä näkemys on vähän ankea ja hankala, se ei ole täysin epärationaalinen. Sen tueksi on olemassa jopa joitakin tuloksia. Nimittäin, vaikka tiedämme esimerkiksi että universaalia pysähtymistesteriä ei ole - samoin kuin ei ole rekursiivista kuvausta funktiolle joka palauttaisi 0 kun sille annettu numero on sellaisen funktion kuvaus joka on kaikkialla hyvinmääritelty ja 1 muulloin - tiedämme myös, että jokaista tällaista turingin konetta tai rekursiivista kuvausta kohden on olemassa sellainen rekursiivinen funktio joka tunnistaa äärettömän määrän tällaisia koneita ja että juuri tämä kone kuuluu siihen luokkaan jonka ko. funktio tunnistaa.

Voidaan siis argumentoida, että ainoa ongelma on sellainen universaalius, joka lupaa jotain "kaikille" luvuille tai "kaikille" koneille tai "kaikille" funktiokuvauksille, ja että tämä ongelma ja ratkeamattomuus- ja epätäydellisyystulokset ovat seurausta tästä typerästä lupauksesta, koska mitään äärettömyyttä ei ole olemassakaan.

En itse usko että tämä on välttämättä hedelmällinen lähtökohta, mutta en myöskään voi kumota sitä millään sellaisella argumentilla, joka olisi täysin vakuuttava. Formalistina tietysti ajattelisin, että kysymys siitä onko äärettömyyttä "olemassa" ei ole merkitystä, vaan ainoastaan sillä, mitä voimme äärettömyydestä päätellä. Se ei ole "totta" tai ole olematta, vaan ainoastaan tietyn merkkijonopelin tuloksia. Tämä näkemys on kuitenkin kovin epätyydyttävä useimmille ihmisille filosofisesti. En ota vahvaa kantaa siihen, miksi näin on, mutta voi tietenkin olla vain niin, että ihmisen aivot nyt vaan ovat huonot koska ne etsivät liian yksinkertaisia vastauksia, puhtaasti omaa vajavaisuuttaan. Äärettömyyshän on lopulta vain nimi sille että lukumäärä ei todellakaan ole hyvinmääritelty.