Tämä teksti alkaa sanalla "tämä".

Itseviittaavuus oli jonkinlainen tosi iso juttu, populaarikulttuuriin se ui viimeistään 80-luvulla tv-sarjan Konnankoukkuja kahdelle myötä. Itseviittaavuus on myös taustalla käytännössä kaikissa matemaattisissa paradokseissa. Aiheesta kirjoitti Juho jonkin aikaa sitten.

Toisin kuin makkaratukat, mystikot ja muut aivonsa huumeilla pilanneet tuntuvat usein kuvittelevan, itseviittaavuudessa ei ole mitään maagista, se ei kerro mitään "todellisuudesta", eikä se aseta mitään fundamentaalisia rajoituksia matematiikan soveltamiselle. Se asettaa toki rajat sille, millaisia äärellisiä ilmaisuja voidaan esittää, mutta tämä on eri asia. Sivuan problematiikkaa tässä.

Klassisin paradokseista on Russelin paradoksi, joka voidaan muotoilla myös parturin paradoksina: Kylässä on miespuolinen parturi. Kaikkien miesten parrat leikataan. Parturi leikkaa parran tarkalleen niiltä miehiltä, jotka eivät leikkaa partaa itseltään. Kuka leikaa parturin parran?

Tämä näyttää jotenkin mystiseltä ja erinomaisen hienolta, ja voin jo kuvitella, kuinka joku julistaa miten "looginen ajattelu on niin rajoittunutta". Formaalisti ajateltuna tässä ei oikeastaan ole mitään ihmeellistä. Predikaatti "leikkaa itse oman partansa" on otettu määriteltynä, vaikka se ei olekaan; Parturin parranleikkuut yritetään sitten määritellä tällaisen kelluvan määritelmän avulla. Riippumatta käytetystä formalismista, tässä on kyse vain siitä, ettei rekursiivisella funktiolla "parturi leikkaa X:n parran" ole kiintopistettä. Big deal.

Yleisemmin ongelma on mitätön ilmaisuvoiman rajoitus. Jos negaatio tai komplementti sallitaan rekursiivisen määritelmän sisällä, ei kaikilla rekursiivisilla määritelmillä ole kiintopistettä. Esimerkiksi BNF-määritelmälle ei voi yleisessä tapauksessa määritellä komplementti-operaatiota, joka olisi toteutettavissa BNF:n itsensä avulla. Tämä ei ole mitenkään yllättävää, sillä BNF:lle on hyvinmääritelty semantiikka ja toisaalta määritelmät ovat rekursiivisia.

Formalismin ideana on pitää kaikkea matematiikkaa vain merkkijonojen säännönmukaisena manipulaationa, vailla "sisältöä". Tämä käsitys on sinänsä mielekäs, mutta se on vajaa. Toisaalta platonismi, jonka mukaan matemaattisilla struktuureilla on jokin "korkeampi" olemisen ja olemassaolon muoto, on ainakin minusta käsittämätön, ts. järjetön, vailla mieltä.

Matemaattinen struktuuri on mielekäs, jos meillä on sille mielekäs tulkinta, eli mielekäs semantiikka. Tällä tarkoitetaan vain jotakin "tunnettua" struktuuria, jonka palasina ja johdannaisina määritelty struktuuri voidaan ymmärtää. Historiallisesti mielekkäistä semantiikoista on ollut paljon kiistoja. Jotkut kiihkomielet ovat esimerkiksi pitäneet ainoana mielekkäänä semantiikkana kuvauksia luonnollisille luvuille. Onneksemme esimerkiksi sähköinsinöörit eivät ole tällaisesta kuulleet, vaan ovat esimerkiksi käyttäneet kompleksilukuja.

Kun vaadimme jokaiselle formalismille mallin, ongelmamme vähenevät. Mystikot, makkaratukat ja kaikenlaiset taivaanrannanmaalarit toki edelleen kiinnostuvat itseviittausten avuilla aikaansaaduista muotovirheistä. Ja toki ne ovat hauskoja. Mutta ne muuttuvat lopulta tympeiksi samaan tapaan kuin jokainen amerikkalainen vitsi alkaa aina "Pappi, rabbi ja kumiankka", ja päättyy "Ja kameli vastasi: Hanki oma tyttöystävä". Välissä ei ole mitään muuta kuin iso aukko, jonka me täytämme mielikuvituksemme tuotteilla, haihattelulla. Se on kuin talo, jonka piirrustuksissa on tällaiset seinät. Tai tietokone-ohjelma, joka kaatuu tai jää ikuiseen silmukkaan.

Jokaisessa formalismissa on sama ominaisuus: Semanttisesti mielekkäiden ilmaisujen joukko on pienempi kuin syntaktisesti oikeannäköisten ilmaisujen joukko. Jos näin ei olisi, ei periaatteessa olisi mielekästä tehdä eroa syntaksin ja semantiikan välillä lainkaan. Se, että emme mieti semantiikkaa valmiiksi, on ihmisen aivojen ominaisuus.

Toinen asia on sitten se, että teoriassa formaalilla ilmaistavuudella on rajat. Nämä rajat ovat kuitenkin aivan tavattoman löyhät ja laajat. Jokainen väittämä, tyyliin "matematiikka ei riitä asian X ilmaisemiseen" tai sen variantti "binäärinen logiikka on liian rajoittunutta asian X ilmaisemiseen", on tyhmä. Se on tyhmä siinä merkityksessä kuin tätä pejoratiivia käytetään arkikielessä, so. vähä-älyinen, tietämätön, perustelematon, huolimaton, harkitsematon ja epäasiallinen.

Ps. Sain kotiin jonkinlaisen nettitikun väliaikaisratkaisuksi. Lupasivat useamman megan 3G-verkosta kaistaa, mutta nopeus on aneeminen, pikemminkin parisataa kilobittiä ja lisäksi mötikkä kuumenee aivan järjettömästi käytössä. Onneksi saan palauttaa sen kahden viikon sisällä, minkä teenkin, viimeistään sitten kun ADSL alkaa taas toimia.