Logiikka ja muuta.

Juoksin tänään Port Meadow:n kävelypolun alkuun, mutta portti oli kiinni ja polku olisi ollut muutenkin veden peitossa, joten vaihdoin reittiä, ja juoksin Thamesin (oikeastaan Isiksen) länsipuolta etelään, kiersin rautatieaseman, ja palasin joen toista puolta takaisin. Matkaa kertyy hieman alle kolme mailia, ehkä nelisen kilometriä. Ilma oli mukavan kostea ja raikas.

Huomasin, etten jaksa riidellä sellaisten oppijärjestelmien kanssa, joiden funktiona on täyttää ihmiset vihalla ja kiukulla toisinajattelijoita kohtaan (kuten feminismi ja kaikki uskonnot). Se on väsyttävää, eikä se johda mihinkään. Ihmisten viha ei laannu sillä, että heidän väärässäoloaan hieroo heidän kasvoihinsa, tämä on nähty jo monet kerrat. Ja lopultakin, kyse on vain sanoista, eli merkkijonoista, joilla ei ole mitään muuta merkitystä kuin se, jonka me päätämme niille antaa. Cari Lekebusch sanoo kauniissa rallatuksessan yllä kaiken olennaisen. Sitten asiaan.

Sain viime kesänä viimeisen kerran luennoitua erään kurssin, joka on aiheuttanut minulle murhetta suunnattomastị, koska se karussa totuudessaan paljastaa opiskelijapopulaation ajattelun heikkouksia. Yksityiskohdilla ei sinänsä ole merkitystä, mutta kurssilla käsitellään lähinnä formaaleja esitystapoja, päällimmäisenä ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka. Nimitys kuulostaa pahalta, mutta logiikka on yksinkertainen. Niin yksinkertainen, että sitä pitäisi opettaa jo peruskoulun matematiikassa.

Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka on yksinkertainen "kieli", jolla voidaan ilmasta jonkin "sovellusalueen" (jota nimitetään kumma kyllä "malliksi", mikä tuntuu helposti nurinkuriselta) eri olioiden ominaisuuksia. Oletetaan, että sovellusalueena on pussillinen helmiä; se voi olla mitä tahansa muutakin (kokonaisluvut, reaaliluvut jne.)

Helmiin viitataan termeillä. Termi on siis mikä tahansa symboli tai "kaavanpätkä", jonka on tarkoitus viitata johonkin pussin helmistä. Yksinkertaisimmillaan termi on vakio tai muuttuja. Jos vakio "a" viittaa tiettyyn helmeen, niin tämä vakio missä tahansa logiikan kaavassa esiintyessään edustaa sitä tiettyä, nimenomaista helmeä. Termit ovat osa logiikkaa, mutta termien tulkinta ei; me emme tiedä, mihin partikulaarisiin helmiin vakiot viittaavat ilman, että tämä sovitaan.

Helmien ominaisuuksia ja suhteita ilmaistaan predikaateilla. Predikaatti saa parametrinään jonkun tietyn määrän termejä, ja predikaatti on joko "tosi" tai "epätosi". Se, mitä predikaatti "tarkoittaa" ei ole osa logiikkaa, vaan osa sen tulkintaa. Esimerkiksi predikaatti P(x) voitaisiin tulkita niin, että se on "tosi", kun parametrina oleva helmi on punainen ja epätosi muuten. Predikaatti S(x,y) saattaa tarkoittaa vaikkapa, että helmi x on helmeä y suurempi. Nämä suhteet ovat mielivaltaisia, ja ne täytyy erikseen sopia. Yksinäinen predikaatti on samalla yksinkertaisin mahdollinen kaava.

Kaavoja voi yhdistellä toisiinsa loogisilla operaatioilla kuten "Ja", "tai", "implikaatio". Näille on yleensä annettu jonkinlaiset symbolit, esim &and (ja), &or (tai), &rarr (implikaatio), ¬ (negaatio). Näiden semantiikka on, että kaava muotoa &phi &and &theta on tosi tasan silloin kun sekä kaava &phi että kaava &theta ovat tosia, kaava &phi &or &theta on tosi, jos jompikumpi kaavoista on tosi, &phi &rarr &theta taas on tosi tarkalleen silloin, kun &theta ei koskaan ole epätosi silloin, kun &phi on tosi. Eli, kaava pätee, jos &theta on tosi aina silloin kun &phi on tosi. ¬ &phi taasen on tosi tasan silloin kun &phi ei ole tosi. Huomatkaa, nämä kaavat voivat koostua toisista kaavoista.

Kaavan voi myös kvantifioida. Kvantifiointi tarkoittaa, että muuttujalle annetaan merkitys. Jos meillä on kaava &phi(x), jonka sisällä on predikaatteja, joiden totuusarvo riippuu siitä, mikä arvo muuttujalle x annetaan, niin (&forall x:&phi(x)) muodostaa uuden kaavan. Tämän tulkinta on, että kaavan totuusarvo on tosi, jos &phi(x) on tosi kaikilla mahdollisilla x:n arvoilla, so. se on tosi, laitetaan x:n paikalle mikä hyvänsä helmi pussista. Vastaavasti kaava (&exist x:&phi(x)) on tosi jos &phi(x) on tosi jollakin helmellä x. Esimerkiksi &exist x:P(x) meidän esimerkissämme on tosi, jos pussissa on yksikin punainen helmi. Toisena esimerkkinä voisi olla &exist x:(P(x) &and &forall y: (¬ P(y) &rarr S(x,y))), joka sanoo, että on olemassa jokin helmi, joka on punainen, ja jolle pätee, että valisemme minkä tahansa helmen y, jos y ei ole punainen helmi, niin x on y:tä suurempi. Toisinsanoen, pussin suurin helmi on punainen.

Luonnollinen kieli ei aina ole merkitykseltään yhtä täsmällinen kuin logiikka. Tämä aiheuttaa ongelmia, ja yksi traagisimpia asioita, joita olen opiskelijoiden parissa huomannut, on kyvyttömyys ymmärtää ja hyväksyä, että luonnollisen kielen epätäsmällisyyteen täytyy ottaa kantaa, jos sen haluaa kääntää logiikan kielelle. Esimerkiksi väittämä "pussin suurin helmi on punainen" on loogiselta rakenteeltaan monimutkaisempi kuin voisi kuvitella. Ihminen operationalisoi luonnollisen kielen väittämän usein niin, että ensin etsitään suurin helmi, ja sitten vain katsotaan sen väri. Tämä ajatus on mahdollista ilmaista logiikalla: &forall x: (&forall y: y &ne x &rarr S(x,y)) &rarr P(x)), mutta merkitys muuttuukin erilaiseksi kuin aiemmin.

Ensimmäisessä kaavassa sanotaan nimittäin, että voidaan valita helmi x, joka on punainen, ja jos tämän jälkeen valitaan mikä tahansa helmi y, joka ei ole punainen, niin x on y:tä suurempi. Jälkimmäisessä taas sanotaan, että valitaan mikä tahansa helmi, ja jos se on suurempi kuin mikään muu helmi, sen väri on punainen. Mutta nämäpä eivät ole sama asia! Jos pussissa kaikki helmet ovat yhtä suuria, eikä mikään ole punainen, ei ensimmäinen kaava voi mitenkään olla tosi. Sensijaan jälkimmäinen kaava on triviaalisti tosi: Osakaava (&forall y: y &ne x &rarr S(x,y)) on aina epätosi, joten koko kaava on aina tosi.

Kyvyttömyys hyväksyä ja ymmärtää, että formaali järjestelmä on täysin anteeksiantamaton epätäsmälliselle ilmaisulle, on ymmärrettävää sellaisilla aloilla, joissa formaaleja ilmaisuja ei käytetä ja joissa "teorian" operationalisointi ei ole pikkutarkkaa, tai jossa ihminen korjaa automaattisesti pienetkin virheet. Koska kuitenkin opiskelijani pääsääntöisesti opiskelevat ohjelmistotekniikkaa tai jopa ohjelmistotiedettä (ns. "computer science"), on tällainen kyvyttömyys täysin anteeksiantamatonta. Tietokone ei tee virheitä, vaan ihminen tekee ne, ja ihminen tekee ne juuri tämänkaltaisissa epätäsmällisyyttä sisältävien käsitteiden muuntamisessa formaaliin ilmaisutapaan. En puhu pelkästään ohjelmoinnista, vaan suunnittelusta jne.

Toki abstraktioiden muotoilu jollakin ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan tapaisella köyhällä formalismilla on työlästä, ja vaatii pikkutarkkuutta. Abstraktioiden muotoilu ja ilmaiseminen on kuitenkin kaiken ajattelun perusta, enkä rehellisesti sanoen usko, että ihminen joka on kyvytön ymmärtämään logiikkaa, osaa oikeastaan sanan varsinaisessa merkityksessä ajatella lainkaan. Tämä ei tarkoita tietenkään, että ihmisten pitäisi eksplisiittisesti käyttää logiikkaa kaikessa ilmaisussaan. Se tarkoittaa vain sitä, että jokaisen abstraktion, jota ihminen käyttää, tulisi periaatetasolla olla palautettavissa sellaiseen tarkasteluun, jossa siitä johdettujen väittämien totuusarvo on yksikäsitteinen, modulo operationalisoinnin ongelmat, tietysti.

Tämä ei tarkoita, että yrittäisin sanoa, ettei "rahvaan" pitäisi puhua teoreettisista asioista. Päinvastoin, huolellinen ilmaisu on tasapuolisesti kaikkien saavutettavissa, ja siksi logiikkaa pitäisikin opettaa jo alakoulussa. Prosessi tulisi tietysti olemaan pitkä, jopa useiden sukupolvien mittainen, mutta uskon, että se kannattaisi. Makkaratukat ja aivovammakonservatiivit tietysti vastustavat täsmällistä ilmaisua, ensimmäiset siksi että haluavat muutenkin sotkea kaikki paikat graffiteillaan, ja jälkimmäiset yksinkertaisesti siksi että typeryys on heille hyve.