perjantai 22. lokakuuta 2010

Abstraktion jäljillä.

Olin alkuviikosta kuuntelemassa Prakash Panangadenin esitelmää. En mene yksityiskohtiin, koska ne ovat epämielenkiintoisia. Esitelmä käsitteli duaaleja. Duaalisuus on koko matematiikan keskeisimpiä abstraktioita, mutta sille ei ole mitään omaa karakterisointia; duaaleja on kaikkialla, ja ne ovat kaikki jotenkin "erilaisia". Esimerkiksi
graafin duaali, lineaarisen optimointiongelman duaali, Poincaré:n duaali ja niin edelleen.

Olennaista on, että abstraktio X voidaan kuvata toiseksi abstraktioksi Y, ja X:n instanssien mielenkiintoisten ominaisuuksien luokka &Xi kuvautuu Y:n mielenkiintoisten ominaisuuksien luokaksi &Psi. Koska en nyt halua [osaksi vielä huteran osaamiseni vuoksi] mennä sen tarkempaan kategoriateoreettiseen esitykseen, jätän abstraktion tällä lailla avoimeksi.

Olennaista on, että jos meillä on jokin Y:n ominaisuus, niin me tiedämme, mitä X:n ominaisuutta tämä vastaa. Duaalin duaali ei yleisesti aina ole alkuperäinen objekti, vaan se on usein jonkinlainen kanoninen esitys asiasta. Juuri tämä kaappaa "olennaisen" duaalin käsitteestä; duaalia yleisestiottaen vastaa aina jokin ekvivalenssi niin, että kun operoimme olion x duaalia jotenkin, operoimme itseasiassa jo siinä vaiheessa x:n ekvivalenssiluokkaa.

Olen usein puhunut abstraktion "vuotamisesta" enkä ole esittänyt sille oikein mitään mielekästä tulkintaa. Annan tässä yhden, hieman huteran yritelmän. Abstraktiovuoto tapahtuu jossakin kontekstissa, ja jokainen tällainen konteksti voidaan ajatella duaalin käsitteen kautta. Operoidessamme duaalia, joudumme kuitenkin tilanteeseen, jossa alkuperäinen abstraktio ei taivukaan duaalille tehtyyn operaatioon, vaan joudumme muokkaamaan abstraktiota. Tällaisten purkkapaikkausten ketju voi teoriassa olla loputon. Hyvänä esimerkkinä käy kysymys siitä, mihin luonnonvalinta kohdistuu. Jokainen yritys esittää luonnonvalinnan kohteeksi jotain konkreettista, kilpistyy abstraktiovuotoon; genomin tms. luonnonvalinnan "kohteen" duaalina voidaan ajatella fenotyypin nykyinen ilmentymä. Joudumme heti abstraktiorikon eteen, koska fenotyyppi on jo huonosti määritelty käsite.

New Scientistin jutussa Sam Harris on taas vauhdissa. Harris on tietenkin oikeassa, mutta oikeassaoleminen ei aina takaa, että kannattaa esittää asiansa siten, että se aiheuttaa närää. Jos ja kun (niinkuin tietenkin uskon, tai oikeammin tiedän hänen olevan) hän on oikeassa argumentissaan, totuus tulee kyllä esiin. Totuus kun ei pala tulessakaan.

Disclaimerin jälkeen totean kuitenkin, että pahin ongelma Harrisin "unelmassa" on abstraktiovuoto; hän itseasiassa perustelee, että melkein kaikki utilitarismin kritiikki perustuu vuotavaan abstraktioon utiliteetin käsiteen muotoilussa. Koska ihmisellä on omatunto, mielikuvitus, hengelliset tarpeet, jne, lähes kaikki partikulaariset utiliteetin käsitteet johtavat selvästi abstraktiovuotoihin, ja vastaesimerkkeihin, joissa "utilitaristinen" etiikka on osoittautunut täysin mädäksi. Teoreettinen, täydellisen abstrakti utiliteetti on sekin ongelmallinen käsite, koska sitä ei voida mitenkään havainnoida. Voimme postuloida tietenkin sellaisen, mutta sillä on hyvin vähän, jos lainkaan, operationaalista relevanssia. Pidän itseäni jonkinlaisena utilitaristina, mutta sanoudun silti irti kaikista partikulaarisista utiliteetin käsitteistä silloin, kun niiden käyttöä ei rajoiteta tarkalleen johonkin tiettyyn kontekstiin.

13 kommenttia:

Sidemiete kirjoitti...

"Hyvänä esimerkkinä käy kysymys siitä, mihin luonnonvalinta kohdistuu. Jokainen yritys esittää luonnonvalinnan kohteeksi jotain konkreettista, kilpistyy abstraktiovuotoon; genomin tms. luonnonvalinnan "kohteen" duaalina voidaan ajatella fenotyypin nykyinen ilmentymä."

En tajunnut tätä kappaletta. Yritän selittää.

Klikkasin vahingossa antamasi linkin takana toista artikkelia "Chaos theory of evolution". En yleensä lue mitään hömppää, mutta koska linkki liittyi tekstiisi, niin luin:

Siellä esitettiin testattava väite, että evoluutio tapahtuu hyppäyksittäin. Tämä tuntuu minusta järkevältä, koska moni monimutkainen asia, jota ajetaan ulkoisella pakotteella, vastaa "ei-differentioituvasti" tuohon pakotteeseen. Jos valinta kohdistuu johonkin, vaikka jonkinlaiseen "genotyypin informaation" käsitteeseen, niin esimerkiksi B. Mandelbrot olisi voinut hyvinkin keksiä tavat erotella erilaisia valintamekanismeja. Ja testata väitettä.

Ts. eihän tieteellisiä väitteitä voi ajatella noin kuin esität tieteellisessä kontekstissa. Abstraktio ei vuoda. Ammattilaiset keskustelussaan siirtyvät erilaisten abstraktiotasojen välillä siten, joka tekee alaa tuntemattomalle keskustelun seuraamisesta mahdotonta.

Olen kyllä törmännyt insinööritieteissä ajattelutapaan, että "duaaleja" pitäisi voida operoida samalla tavoin. Pragmaattisena näkökulmana tämä toimii lopulta samalla tavoin, mutta silloin lähtökohtaisesti ei halutakaan *ymmärtää*.

Utumies kirjoitti...

Laitas tähän alkuperäiseen blogimerkintään kahvat, tästä ei oikein saa mistään kunnolla otetta ja se painaa kuitenkin aika lailla.

Yritin raijata sitä olohuoneeseen, mutta tämä perskeles nappas kulmastaan kiinni vuodesohvaan ja siihen tuli ilkeännäköinen ventti.

Tyrästähän ei ole sinällään vaivaa kun liikutaan täällä henkimaailman puolella. Koskaan ei ole luiskahtanut tumpusta.

Otso kirjoitti...

Minua on myös vaivannut tuo täydellisen utilitarismin maailmasta irtaantuminen. Se on teoriassa ehjä ja kaunis ajattelutapa, mutta sillä ei ole enä minkäänlaista kosketuspintaa todellisuuteen, koska suureet eivät ole mitattavia, hyvä jos edes määriteltäviä, saati tehokkaasti laskettavia. Se on oikeastaan läheistä sukua sillee abstraktille todellisuuden käsitteelle, josta on joskus tullut puhuttua. Platonin ideamaailmaa.

Näin ollen tuo tiukka rajaus kontekstiin on hyvä kierto ongelmaan. Pitä vaan hyväksyä ajattelun rajallisuus eikä yrittää luoda universaalia suurta kertomusta mistään täsmällisestä säännöstä.

Aioin kommentoida tätä aiempaan utilitarismikeskusteluun, mutten sitten jaksanut, joten sanon tähän: utilitarismi on siitä hieno moraalinen oppi, että utilitarismista voi luopua utilitaristisin syin, s.o. oppi pystyy tarkkailemaan myös omaa toimintaansa.

Utilitaristisesti päätökset arvioidaan perustuen niiden odotettavista seurauksista käytettävissä olevaa informaatioon ja utiliteettifunktioon, s.o. mitkä seuraukset ovat positiivisia/negatiivisia ja missä määrin. Tämä arviointi ei kuitenkaan ole ilmaista. Sille voi yrittää arvioida ihan laskennallista vaativuutta (siis vaikka informaatio olisi jo saatavilla), tai sitten voi humanistisesti katsoa miten ihmiset jäävät joskus jahkaamaan.

Soveltamalla yksinkertaisempaa velvollsiuusetiikkaa, tämä kustannus jäisi pois, mikä mahdollistaisi tehokkaamman toiminnan utiliteettifunktion maksimoimiseksi. vastaavasti päätökset olisivat jonkin verran huonompia, koska ne olisi tehty pelkällä heuristiikalla.

Mutta kysymys siitä, kumpi johtaa parempaan lopputulokseen riippouu tuon heuristiikan (velvollisuuseettinen koodisto) osuvuudesta, siihen ei ole olemassa abstraktia vastausta. Näinollen voimme verrata utilitaristista ja velvollisuusetiikkaa utilitaristisesti, ja valita niistä sen, joka johtaa parempaan utiliteettiin. Ja se voi ihan hyvin olla monessa kontekstissa velvollisuusetiikka.

Noin käytännössä, operoin tässä tietenkin tuolla abstraktilla utiliteetilla, eli tämä on pelkkää teoretisointia, jota ei voi laskea auki. Mutta se utilitarismin piirre, johon koko ajatusleikki perustuu, on sen ehkä tärkein piirre, että tosiasioilla on väliä moraaliselle päätöksenteolle. Utilitaristinen moraali ei ole irrallaan maailmasta, vaan siihen tiukasti kytkettyä. Toisin kuin normaali velvollisuusetiikka, joka tulee vaan jostain annettuna, eivätkä maailman epävarmuudet ja muutokset siihen koske. (tarkennus: velvollisuusetiikassa tosiasioilla on väliä vain siihen, mitä sääntöä pitää soveltaa, mutta ei siihen, mitä sääntö sanoo)

Nyt minua jäi vain hämäämään miksi tuo metautilitarismini ei räjähdä Gödelin paradoksiin.

Sidemiete kirjoitti...

Suurin utiliteetti olisi varmaan tullut kertomalla, mitä Prakash Panangaden sanoi.

Tiedemies kirjoitti...

Sidemiete: Olet täysin oikeassa tuossa kysymyksessä. Minun pointtinani kappaleessa ei ollut se, että luonnonvalinnan teoria on väärä, vaan se, että jokainen yritys esittää tarkkarajainen abstraktio siitä, mikä on luonnonvalinnan "kohde", on tuomittu epäonnistumaan.

Tosimaailmassa ei ole abstraktioita.

Teoria voi tietenkin pysytä tekemään ilmiön ymmärrettäväksi, mutta teoria on omassa tieteenfilosofiassani aina vain "kone". En pidä mielekkäänä sellaista positiota, jossa yritetään väittää, että teoria on jotenkin isomorfisessa tms. suhteessa todellisuuteen. Tätä ei koskaan tule tapahtumaan.

Abstraktioden välillä pomppiminen on mielestäni altis pahoille virheille; jonkinlainen teorioiden virtuoosi voi tehdä sitä, mutta minusta tieteessä lähtökohtana pitäisi aina olla, että käytettyjen abstraktioiden rajat tunnistestaan. Se on minusta ymmärryksen välttämätön edellytys.

Tiedemies kirjoitti...

Prakashin esitelmää en löytänyt, mutta se perustui tähän.

Tiedemies kirjoitti...

Utumies, en oikein tiedä miten kahvoittaisin tämän. Se on katsos ainainen ongelma näissä.

Duaalin käsite on vaikea yleisestiottaen esittää "kansantajuisesti", vaikka se on yksi tärkeimpiä abstraktioita. Muistan, että joskus oli puhetta teoriasta, jossa kulttuurilliset ilmiöt ovat olemassa "ajassa" sensijaan että ne ovat olemassa jossakin staattisessa merkitysten verkossa. Tällaisessa tilanteessa voi ajatella, että meillä on "ajan" ja "merkityksen" välillä duaalisuus.

Esimerkiksi kategoria "aikuinen" voidaan ajatella määrittyvän niiden merkitysten kautta, jotka aikuisena olemiseen liitetään: Saa ostaa viinaa, saa äänestää, voi hankkia ajokortin, kukaan ei käske nukkumaan jne.

Aikuisuuden voi ajatella myös ajallisena kategoriana; ihminen on ensin lapsi, sitten nuori, sitten aikuinen, sitten vanhus. (karkea yleistys, älä välitä)

Tämä duaali on tietenkin rikkinäinen; siinä on vuotava abstraktio, koska merkitys ei määrity suoraan sen ajan mukaan; emme voi sanoa pelkästään iän perusteella, milloin joku on aikuinen, koska ihminen saattaa käyttäytyä kuin lapsi, vaikka hän olisikin aikuinen ajallisesti.

En tiedä selvensikö vai sekoittiko tämä. En edes tiedä, onko tämä lainkaan esimerkki duaalista, mutta kunhan vedin sen päästäni nopeasti.

Utumies kirjoitti...

Alan ymmärtää. Meditoikaamme!

(toimii joka kerta. Eikä sitten kurkita kulmain alta.)

Tiedemies kirjoitti...

Toivottavasti tosiaan ymmärrys lisääntyy.

Näissä jutuissa ei ole oikeasti kyse mistään kovin "syvällisestä", oikeastaan tarkoitus on luodata jotain sellaisia ajatuskulkuja, joita me ihmiset teemme täysin tiedostamatta. Niiden kautta voi ymmärtää ja päästä paremmin käsiksi siihen, miten jotkut esimerkiksi perustelevat mielipiteitään.

Duaali on erittäin vahva työkalu. Tavallaan aina kun teemme jonkinlaisen analogian, käytämme jossain mielessä duaalia: kuvaamme itse ilmiön analogian puolelle "duaaliksi" ja sitten teemme johtopäätöksen, jonka palautamme alkuperäiseen jonkinlaisen käänteiskuvauksen kautta. Emme kuitenkaan tiedosta yleensä lainkaan tämän ajattelumallin rajoja. Se on erittäin voimakas päättelyn työkalu, ja jopa ihan hyvä silloin, jos tiedostamme sen rajoitukset.

Duaali voidaan ajatella suppeammin jonkinlaisena morfismina, mutta se on jo taas matemaattinen käsite, jonka kanssa joudutaan vähän ongelmiin, kun ei ole yhteistä taustaa. Lähtee lapasesta helposti.

Minusta olisi jotenkin erinomaisen coolia, jos olisi jokin vaikutusvaltainen koulukunta, jossa kaikki filosofia pyrittäisiin esittämään kategoriateorian avulla. Itsekin vasta opettelen oikeastaan näitä käsitteitä.

Sidemiete kirjoitti...

"Abstraktioden välillä pomppiminen on mielestäni altis pahoille virheille"

Tarkoitin esimerkiksi sellaista, että elektroni grafeenissa tai elektroni kuparijohteessa käsitetään erilaisen matemaattisen rakenteen kautta.

Joistakin luonnontieteissä jatkuvasti toistuvia ajatusmalleja minun on ainakin vaikea ajatella argumenttikoneena, koska ne ovat vain intuitiota mitä kuuluu tehdä:

Esimerkiksi:
Jos laitat kaksi levyä tyhjään avaruuteen, niin ne vetävät toisiaan puoleensa, koska kaksi vain kaksi puoliavaruutta sisältävä maailma ilman välitilaa on yksinkertaisempi.

Toisaalta tällaisten merkitys on niin vahva, että niitä ei voi irrottaa "teoriasta".

Tiedemies kirjoitti...

Jos laitat kaksi levyä tyhjään avaruuteen, niin ne vetävät toisiaan puoleensa, koska kaksi vain kaksi puoliavaruutta sisältävä maailma ilman välitilaa on yksinkertaisempi.

Tämähän on oikea paraatiesimerkki abstraktista argumenttikoneesta. Premissinä on, että yksinkertaisuus on se, mihin maailmalla on taipumusta ajautua, mukana on implisiittinen yksinkertaisuuden mitta ja operationalisointi sille, mitä mitta näyttää parissa eri tilanteessa (levyt erillään contra levyt yhdessä), ja ei kun argumenttikone laulamaan.

Johtopäätös putoaa kuin manulle illallinen.

Intuitio yleensä tietenkin toimii toisella tavalla. En väitä tietäväni miten se toimii, mutta yksinkertainen abstraktio on, että se yhdistelee asioita ja arvioi, millaiset koneet voisivat tuottaa mielenkiintoisia ja operationalisoituvia tuloksia. Tämä siis tietenkin oletuksella, että intuitiota on jumpattu tarpeeksi isolla määrällä erilaisia esimerkkejä.

Luovuudesta iso osa lienee sitä, että näitä koneita kykenee yhdistelemään löyhemmin ja silti tuottamaan mielekkäitä kokonaisuuksia.

Sidemiete kirjoitti...

"Tämähän on oikea paraatiesimerkki abstraktista argumenttikoneesta."

Ok, nyt tajusin missä ajattelumme meni ristiin. Kiitokset!

Edellinen päättelymalli oli siinä mielessä vielä turvallisella maaperällä, että jotensakin ymmärsin joskus, miten symmetria kutsuu tilatiheyden laskemiseen ja osaan yhden mahdollisen tavan jopa apinoida (tätä kautta saadaan laskettua voima). Seuraava saattaa olla höpsismiä, mutta kun tämä juttu tuli mieleen missä fysiikassa olen törmännyt duaaleihin ja kategorioihin niin menköön:

"Elektronia" (kenttää) kuvataan kompleksiluvulla, jolla on vaihe. Tätä vaihetta ei saa havaita, joten "yksinkertaisuus" tai symmetriaperiaate pakottaa tuhoamaan tämän vaiheen. Operaatiota sanotaan mittamuunnokseksi. Mittamuunnoksesta syntyy mittakenttä, jonka kvantteja kutsutaan joissain kielenkäytössä fotoneiksi.

Nämä kentät ovat keskenään duaaleja ja yleensä mittakenttäteorioilla on kategoriateoreettinen esitys.

On kuitenkin erheellistä edellisessä kuvassa ajatella, että siinä olisi elektroni ja fotoni, vaan esimerkiksi "oikean" elektronin massaa mitatessa nähdään sekä kentän, että sen duaalin massa.

Tiedemies kirjoitti...

Duaaleita on tietenkin monenlaisia; jokainen duaalin käsite ei väistämättä ole juuri sellainen, jota tässä käsittelen, vaan se saattaa olla tarkoituksellakin "vuotava".