torstai 17. syyskuuta 2009

Alaston Abstraktio.

Joukon käsite on raaka ja alaston abstraktio. Joukko määrittyy täysin sen mukaan, mitä alkioita joukkoon kuuluu. Nimitän joukkoa ja sen kaltaisia käsitteitä alastomaksi abstraktioksi. En määrittele tätä termiä sen kummemmin, vaan oletan, että alastoman abstraktion käsite on ilmeinen.

Olkoon A epätyhjä joukko. Muodostamme toisen joukon &rho, jonka alkiot ovat pareja (x,y), niin, että kumpikin pari kuuluu A:han. Kaikkien tällaisten parien joukkoa merkitsemme A2. Emme kuitenkaan ota yleensä kaikkia tällaisia pareja, vaan vain osan. &rho on silloin jokin osajoukko joukosta A2. Tällä tavalla ymmärrettynä &rho -- siis parien joukkona -- on samalla tavalla alastoman abstraktion ilmentymä kuin A.

Jokaista tällaista parien joukkoa voidaan kuitenkin pitää relaationa, eli abstraktiona, joka kertoo jotain A:n alkioiden välisistä suhteista. Oikeastaan tarkemmin sanoen relaatio on abstraktio, jolla ilmaistaan yksi tällainen partikulaarinen suhde, joka voi vallita tai olla vallitsematta kunkin kahden A:n alkion välillä. Näin ymmärrettynä ollaan otettu jo pieni, mutta merkittävä askel kohti tulkintaa.

Relaatio &rho on refleksiivinen, jos jokainen A:n alkio on relaatiossa itsensä kanssa, siis jokaiselle A:n alkiolle x pätee, että (x,x) on joukossa &rho. Relaatio on antisymmetrinen, jos ainoa tilanne, jossa sekä (x,y) että (y,x) voivat olla &rho:ssa on, kun x = y. Relaatio on transitiivinen, jos tiedämme, että aina kun (x,y) ja (y,z) kuuluvat joukkoon &rho, myös (x,z) kuuluu siihen. Jos &rho on refleksiivinen, antisymmetrinen, ja transitiivinen, niin sanomme että se on relaationa osittainen järjestys. (ks. wikipedia.

Kun liitämme jonkin joukon A kylkeen osittaisjärjestyksen &rho, nimitämme paria (A,&rho) osittain järjestetyksi joukoksi. Osittain järjestetty joukko ei ole käytännössä alaston abstraktio, vaikka se puhtaan formaalina oliona sellainen onkin. Osittain järjestetyn joukon luonteen voi ymmärtää käsitteen visualisoinnin tai muun operationalisoinnin kautta.

Kuvassa nelialkioinen osittain järjestetty joukko operationalisoituna kuvaksi. Pallot ovat alkioita ja kahta palloa x ja y yhdistää nuoli pallosta x palloon y, jos (x,y) on joukossa &rho.

Olkoon meillä A:n osajoukko X, jossa on vähintään yksi alkio. Sanomme, että alkio a on X:n alaraja, jos jokaiselle X:n alkiolle b pätee, että (a,b) on joukossa &rho. Jos a on X:n alaraja ja jos jokaiselle X:n alarajalle z pätee, että (z,a) on joukossa &rho, niin a on X:n suurin alaraja eli infimum. Yläraja ja pienin yläraja eli supremum määritellään symmetrisesti.

Osittain järjestettyä joukkoa (A, &rho) nimitetään hilaksi, jos jokaisella kahden alkion joukolla on sekä infimum että supremum. Operationaalisella tasolla tämä tarkoittaa, että jos otamme kuvasta mitkä hyvänsä kaksi palloa, niin on mahdollista löytää yhtäältä yksikäsitteinen ensimmäinen pallo, joka saavutetaan molemmista seuraamalla nuolia eteenpäin ja toisaalta yksikäsitteinen ensimmäinen pallo, joka saavutetaan molemmista kulkemalla nuolia taaksepäin. (Myös paikallaan pysyminen sallitaan)

Hilankin voi toisaalta ajatella alastomana abstraktiona. Hila on ihmisen ajattelun välineenä erittäin tärkeä. Oikeastaan se on niin tärkeä, etten oikein hahmota, miksi hilan käsitettä ei opeteta jo peruskoulussa. Kaikki relevantti järjestys ja mittaus jne., myös kaikki se, mistä progressiiviset kiljupunkkarit ja makkaratukat rutisevat, ettei se ole yhteismitallista tämän tai tuon kanssa, asettuu lopulta hilaan. Ilman hilan käsitettä ihmisen ajattelu on kaaosta vailla mieltä. Pelkkää ärsykkeisiin reagointia. Edes mikään argumentointi ei ole mahdollista ilman hilarakenteiden käyttöä.

Logiikassa väittämät asettuvat aina hilaan sen mukaan, mikä väittämä sulkee pois mahdollisia tulkintoja enemmän. Kaikki hierarkiat ovat hiloja, kaikki abstraktio on hilamaista ja jokainen teoria asettaa havainnot hilaan.

15 kommenttia:

tommi kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Tiedemies kirjoitti...

Logiikassa - ei ole väliä mikä logiikka on kyseessä, joten pitäydyn propositiologiikassa - väittämät voidaan asettaa osittaisjärjestykseen sen suhteen, kuinka vahvoja ne ovat.

Oletetaan, että meillä on kaksi propositiota p ja q. Heikoin väittämä on "Tosi", ja tästä vahvempia ovat "p tai q" sekä "ei-p tai ei-q", joiden supremum siis on Tosi. (Infimum on "p Xor q") Hierarkia jatkuu kohti väittämää "epätosi", jokaisella kahdella eri väittämällä on supremum ja infimum.

Koska argumentit voidaan esittää loogisena päättelynä, eli viimekädessä kaavoina, argumentteja ja niiden pätevyyttä ymmärtääkseen täytyy voida vertailla argumentteja. Kahdelle argumentille voidaan löytää vahvin argumentti, joka on heikompi kuin vertailtavat tai
heikoin argumentti, joka on vahvempi kuin kumpikaan vertailtava argumentti.

Jokainen hierarkia on hila, usein hilarakenne on kovin yksinkertainen, eli siinä ei ole rinnakkaisia haaroja, jolloin järjestys on totaalinen.
(Sen verran täytyy vetää takaisin, että oikeastaan ne ovat yleensä puolihiloja, alkioilla on joko infimum tai supremum, mutta ei välttämättä molempia, esimerkiksi sotilasorganisaatiolla on ylin johtaja, mutta ei ole mitään yhtä alinta sotilasta, joka olisi eri komentohaarojen alainen)

Pidän hilaa siinä mielessä alastomana abstraktiona, että ihmisen aivoissa on "luonnostaan" mekanismeja, joilla ihminen hahmottaa hilamaisia suhteita. Muunlaiset suhteet rakennetaan yleensä tällaisista suhteista kompositiolla.

Väittämä, että hila on välttämätön abstraktio selkeälle ajattelulle, on tietenkin tarkoituksellinen provokaatio ja toivoin sille vasta-argumentteja.

kpkoskin kirjoitti...

"Ilman hilan käsitettä ihmisen ajattelu on kaaosta vailla mieltä. Pelkkää ärsykkeisiin reagointia. Edes mikään argumentointi ei ole mahdollista ilman hilarakenteiden käyttöä."

Hih, alkaa kuulostaa siltä, että pyrit "keksimään" Kantin transsendentiaalisen logiikan uudestaan :-)

Mutta tokihan ajattelu on mahdollista ilman hilaakin. Esimerkiksi tila, symmetrian ja moraali ovat alueita joihin ajattelu ulottuu, vaikkei niitä voisikaan määrittelemääsi kehikkoon asetella.

Argumentointi toki voi olla hankalaa ilman määrittelemäsi kaltaista logiikkaa, mutta epäilen sen olevan enemmän kielen kuin ajattelun rajoite...

Jukka kirjoitti...

Graduni käsitteli universaaleja algebroita ja hiloja, mutta en oiekin siltikään osaa vastata provokaatioosi.

Ymmärsin kyllä tekstisi teknisesti ihan mainiosti mutta jotenkin kai se metsän näkeminen puilta minula ontui.

Jukka kirjoitti...

En minä kyllä tätä väittämää, että hila on välttämätön abstraktio selkeälle ajattelulle välttämättä nielaise, mutta miksei se voisi päteäkin.

Kyllä hila luontevampi asia ihmismielessä on kuin integraalit, derivaatat sun muut.

Tiedemies kirjoitti...

No, hila on yksi niitä tällaisia "pitkälle johdettuja" matemaattisia käsitteitä, jonka ilmentymiä on kaikkialla. Se on todella hyödyllinen todella usein.

tommi kirjoitti...

Deletoin nuo aiemmat, koska minulla on toistuvasti niin suuria vaikeuksia ymmärtää näitä kaiken selittäviä teorioita, että alan pitää sitä omana vikanani, eivätkä omasta tilasta raportoinnit kuulu toisten juttujen kommentteihin.

Pienenä tyyliseikkana ensimmäistä kertaa asiasta lukeville olisi ehkä selkeämpää, jos lukisi "Jos a on X:n alaraja ja jos jokaiselle X:n alarajalle c pätee, että (c,a) on joukossa ρ, niin a on X:n suurin alaraja eli infimum." Syystä että b on esiintynyt juuri toisessa merkityksessä. Lisäksi tuo supremum on tietenkin pienin yläraja, mutta se on tietenkin vain kirjoitusvirhe ja siitä on vähän turha nipottaa.

Tiedemies kirjoitti...

Tommi, nuo olivat hyviä huomiota; oli harhaanjohtavaa käyttää symbolia "b" kahdessa eri roolissa heti perään.

Lisäksi supremum on tietenkin pienin yläraja. (Suurin yläraja olis monessa tapauksessa älytön käsite.)

Kyse ei siis ole siitä, että tämä "teoria" selittäisi "kaiken". Ei sinne päinkään, vaan kyse on siitä, että tässä hahmotellaan tietty abstraktio, joka esiintyy niin monessa yhteydessä, että on hämmentävää, ettei sitä samaa "alastonta abstraktiota" opeteta tai korosteta enempää.

tommi kirjoitti...

No jos se on hila, sillä on tietenkin suurin yläraja eli hilan viimeinen "pallo" eli alkio, jonka olemassaolo seuraa suoraan ehdosta että jokaisella alkioparilla on yläraja.

En kyllä vieläkään tajua mitä ajat takaa? Jonkinlaista ajattelun ekonomiaa missä olisi mittari sille, mitkä oletukset ovat ylimääräisiä ja mitkä eivät?

(Turvasana on muuten mitalit ensimmäinen kerta kun olen nähnyt suomea tässä yhteydessä.)

Tiedemies kirjoitti...

No jos se on hila, sillä on tietenkin suurin yläraja eli hilan viimeinen "pallo" eli alkio, jonka olemassaolo seuraa suoraan ehdosta että jokaisella alkioparilla on yläraja.

Äärellisen hilan kohdalla näin todellakin on. Kaikki hilat eivät ole äärellisiä.

Teoria löytyy näköjään wikipediasta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)

En kyllä vieläkään tajua mitä ajat takaa? Jonkinlaista ajattelun ekonomiaa missä olisi mittari sille, mitkä oletukset ovat ylimääräisiä ja mitkä eivät?

En varsinaisesti, mutta näkökulma tuokin on. Tutkiskelen abstraktioita jonkinlaisina meemeinä tms. ajattelussa elävinä olioina. Osa näistä on tavattoman hyödyllisiä ja "syntyy" ajattelun evoluutiossa uudestaan ja uudestaan. Sellaisten opettaminen ja opiskeleminen eksplisiittisesti olisi käsittääkseni hyödyllistä, niin ajattelu kehittyisi paremmin ja "luonnollisempia" ratoja.

Eli tietyssä mielessä ajattelun ekonomiasta. Hila on mielenkiintoinen siksi, että se esiintyy hurjan monessa paikassa "luonnostaan".

Näitä "abstraktio"-tägillä varustettuja tekstejä voi verrata lintubongaukseen tai postimerkkien keräämiseen.

tommi kirjoitti...

Äärellisen hilan kohdalla näin todellakin on. Kaikki hilat eivät ole äärellisiä.

Niinpä tosiaan. Nyt löytyi sitten hyötykin tuolle suurimmalle ylärajalle: sen olemassaolo näyttää että hila on äärellinen.

Kuten on käynyt ilmi, en tiedä hilateoriasta oikeastaan mitään, mutta varmaan siksi on edelleen vaikea nähdä mihin pyrit. Se tuskin aukeaa jankkaamalla kaltaiseni umpitomppelin kanssa, joten en kommentoi enempiä.

Tiedemies kirjoitti...

Nyt löytyi sitten hyötykin tuolle suurimmalle ylärajalle: sen olemassaolo näyttää että hila on äärellinen.

Ei pidä itseasiassa paikkaansa tuokaan, valitettavasti. Koko hilalla voi olla suurin yläraja vaikka koko hila olisi ääretön. Esimerkissä käytetyssä propositiologiikassa True on koko logikkan supremum ja False infimum, kun tulkitsemme että (P,Q) tarkoittaa, että P:stä seuraa Q.

Logiikassa voi kuitenkin olla ääretön määrä propositioita, jolloin niistä muodostettuja väittämiäkin on äärettömästi.

Toinen esimerkki on vaikka kokonaislukujen joukot, (X,Y) tarkoittaa, että X on Y:n osajoukko. Koko kokonaislukujen joukko on tällöin supremum ja tyhjä joukko infimum. Joukko on (kuten edellinenkin) peräti ylinumeroituva.

En tunne tätä puolta teoriasta kovin syvällisesti. Esimerkiksi en heti keksi numeroituvasti ääretöntä hilaa, jolla on suurin ja pienin alkio.

tommi kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Gc kirjoitti...

"Esimerkiksi en heti keksi numeroituvasti ääretöntä hilaa, jolla on suurin ja pienin alkio."
Itse en ole jaksanut ennen perehtyä hiloihin. Mutta olisikohan {1/n: n /in Z_+} U {0} min ja max operaatioiden suhteen eräs esimerkki.

Tiedemies kirjoitti...

GC: totta. Olisi tuo pitänyt tajuta. Topologin sinikäyrää (sin(1/x)) on tullut käytettyä niin monta kertaa vastaesimerkkinä.