keskiviikko 16. kesäkuuta 2010

The French Connection.


Osittain järjestetty joukko on pari, (S,&le), missä &le on ns. osittaisjärjestysrelaatio S:n alkioille. Mielivaltaisille S:n alkioille a, b ja c pätee, että
  1. a &le a (refleksiivisyys)
  2. jos a &le b ja b &le a, niin a = b (antisymmeria) sekä
  3. jos a &le b ja b &le c, niin a &le c (transitiivisuus)

Olkoot (S, &le) ja (T, &le) kaksi osittain järjestettyä joukkoa (käytän vain yhtä relaatiomerkintää, vaikka tarkalleen ottaen osittaisjärjestysrelaatiot ovat erit). Funktio f: S &rarr T on monotoninen järjestysrelaatioiden suhteen, jos pätee, että aina kun a &le b, niin f(a) &le f(b).
Funktiopari (f,g), missä f : S &rarr T ja g : T &rarr S ovat monotonisia funktioita, on Galois'n kytkentä, jos mielivaltaisille a &isin S ja b &isin T pätee, että a &le g(b) jos ja vain jos f(a) &le b.

Matemattisen struktuurin "ymmärtäminen" voidaan ajatella paitsi kykynä intuitiivisesti arvata, minkälaisia ominaisuuksia struktuurilla on, myös kykynä antaa mielekkäitä tulkintoja struktuurille. Lisäksi voidaan toki ajatella, että ymmärrykseen liittyy myös kykyä esittää mielekkäitä narratiiveja, joissa struktuuri esiintyy joko implisiittisesti tai eksplisiittisesti. Valitettavasti, vaikka Galois'n kytkentä on "tuttu" ja voin esimerkiksi johtaa sen ominaisuuksia, ja tiedän jopa joitakin sovelluksia, en koe ymmärtäväni todella, mitä tämä struktuuri merkitsee.

Intuitiivinen selitys on jotenkin ilmeinen: Galois'n kytkentä säilyttää järjestysrelaation jollakin tavalla. Se ei kuitenkaan ole isomorfismi, eikä se ole myöskään järjestyksen säilyttävä upotus. Isomorfismi on bijektio, joka säilyttää struktuurin, mutta f ja g eivät välttämättä ole bijektioita, itseasiassa voi olla, ettei bijektiivisiä kuvauksia edes ole S:n ja T:n välillä, sillä S ja T voivat olla eri kokoisia. Triviaalina esimerkkinä vaikkapa tuttu lukujen vertailu, jossa S = {1,2} ja T = {0}, f(1) = f(2) = 0, g(0) = 2.

8 kommenttia:

Juho kirjoitti...

Etenkin matematiikan kirjoissa törmää tyylilliseen ihanteeseen nimeltään eleganssi, jonka nojalla tekstistä jätetään juuri nuo tuikitärkeät esimerkit ja "narratiivit" esittämättä, ja myös itse teoria pyritän pukemaan mahdollisimman lyhyeen muotoon siitä huolimatta, että asian ymmärrettävyys mahdollisesti kärsii.

Joku HC matemaatikko saattaa tietysti tykätä prosessista, jossa ensin opetellaan teoria "elegantissa muodossaan" ja sitten pikkuhiljaa annetaan sen muhia, kunnes joskus valaistutaan. Tällainen prosessi varmasti tarjoaa tyydytystä askeettisuuteen taipuvaiselle ihmistyypille, ja heitä voisikin kutsua matematiikan munkeiksi.

Itse en osaa arvostaa tällaista prosessia tai eleganssia, mikä varmasti on osasyynä siihen, etten ole kovin hyvä matemaatikko.

Markku kirjoitti...

Matemaattiset tekstit ovat ihmisten välistä kommunikaatiota, joten ymmärrettävyys on aivan liian korkea hinta "eleganssista". Mahdollisesti pyrkimys "eleganssiin" on jonkinlaista statusviestintää. Säästäisi varmasti kaikkien vaivoja ja veisi koko matematiikkaa eteenpäin, jos olisi laajemmin tapana julkaista matemaattista tekstiä kommentteineen, alaviitteineen, välivaiheineen ja selityksineen.

Kari Visala kirjoitti...

Kryptisyydellä voidaan kenties joskus yrittää sitä, ettei alalle tule "väärää" väkeä, joka huonontaisi signaali-kohina-suhdetta.. toisaalta uskon, että useimmin kyseessä on se, että matemaatikot eivät välttämättä aina ole hyviä esittämään/opettamaan asioita, mutta toisaalta jotkut käsitteet ovat vain aika abstrakteja ja niiden hahmottaminen vaatii harjaantumista. On myös esitetty (olikohan se Tim Gowers), että matematiikka jakautuu kahteen kulttuuriin: kombinatoriseen ja teoreettiseen ja nämä ovat vaikeita hyvin eri tavoilla (ongelmanratkaisu vs. ymmärrys). Olen myös huomannut, että eleganssi on yksi parhaista heuristiikoista, joilla matemaattisten tulosten relevanssia voi arvioida, mutta tämä ei toki oikeuta huonoon esitykseen. Huonolla esityksellä pahimmillaan yritetään peittää esitettävän asian merkityksettömyys.

En tiedä onko tästä apua, mutta Galois'n kytkentä voi olla helpompi hahmottaa sen yleistyksen, adjunktioiden, avulla (muutenkin suosittelen opettelemaan suoraan nuo adjunktiot, niistä varmaan löytyy enemmän materiaaliakin). Osittain järjestetty joukko voidaan nähdä yksinkertaisena kategoriana, jossa S:n elementit ovat kategorian objektit, ja a:n ja b:n välillä on nuoli joss a<=b ja nuolien yhdistäminen määritellään ainoalla mahdollisella tavalla (koska kahden objektin välillä on maksimissaan vain yksi nuoli, yleisesti ottaen kategoriassa voi olla useita). Tällöin monotoninen funktio voidaan nähdä funktorina ja Galois'n kytkentä adjointteina funktoreina.

Adjunktion voi nähdä eräänlaisena inverssin yleistyksenä/väljennyksenä. Esimerkiksi karteesisesti suljetuille kategorioille potenssiobjektit C^B voidaan elegantisti määritellä karteesisen tulon -xB oikeana adjointtina -^B elikä Hom(AxB,C) =~= Hom(A,C^B). Tämä hom:ien isomorfismi on kenties se määritelmä, josta adjunktioihin on helpoiten mahdollista saada jonkinlainen intuitio (ainakin itselläni, muut määritelmät saattavat olla sitten kätevämpiä kaavojen manipulointiin), sillä se sanoo, että tulon eliminoinnin ja potenssin esittelyn välillä on vastaavuus (ja tämä määrittelee halutun asian "optimaalisella", abstraktilla tavalla, joka ei kiinnitä lainkaan "toteutusyksityiskohtia"). Otetaan esimerkiksi kategoria Set, jossa joukot ovat objekteja ja funktiot nuolia: tiedämme, että kahden argumentit funktiot AxB -> C (ottaa siis parin sisään) ovat isomorfisia sen curried-muodolle A -> C^B, joka on siis funktio, joka ottaa A-tyyppisen asian sisään ja palauttaa funktio-objektin, joka on tyyppiä B->C (toinen argumentti on ikään kuin vielä "antamatta" - ikään kuin "negatiivinen tulo"). Hyvin yleisellä tasolla voidaan ajatella, että jos F -| G, niin F on minimaalinen ratkaisu G:n määrittelemälle "ongelmalle" tai G on vaikein ongelma, minkä F "ratkaisee". Adjunktiot muodostavat myös kauniita ketjuja kuten coproduct -| kopiointi -| product ja eksistentiaalikvantifiointi -| sijoitus -| universaalikvantifiointi. Erittäin suositeltava kirja "Sets for Mathematics" (Lawvere & Rosebrugh) esittelee lopussa viidenmittaisen adjunktioketjun (ja olikohan se jopa niin, että ZFC voitiin nähdä siististi tällaisen viiden ketjun olemassaolon oletuksena.. tätä en muista). Lisäintuitiota saa myös kategorioiden string-esityksestä (ks. zig-zag), suosittelen lukemaan esim. Baezin kirjoituksia: http://math.ucr.edu/home/baez/week174.html .

Gc kirjoitti...

Eleganssi tässä mielessä on kai jonkinlaista bourbakilaisuutta.
Huippunsa tämä ajattelumalli on jo ohittanut aikaa sitten.
Eleganssi on hyvä jos halutaan pakata lyhyeen tilaan paljon informaatiota. En suosittelisi kuitenkaan ketään opiskelemaan asioita täydellisen eleganteista oppikirjoista. Ne soveltuvat parhaiten minusta referenssimateriaaliksi.

Gc kirjoitti...

Tämä liittyy tuohon matematiikan kahteen kulttuuriin. Juuri teoreettinen matematiikka os. uuden matemaattisen teorian rakennus usein tarkoittaa korkeaa abstraktiotasoa ts. eleganssia. Ongelmanratkaisu puoli on usein jossain mielessä kombinatorista, sillä usein vaikea ongelma jota ei ole saatu ratkaistua abstraktiolla, siis todistamalla jokin paljon yleisempi tulos, jonka erityistapauksena ratkaisu saadaan, on jollain tavalla kombinatorinen. Millenium ongelmissa tämäntyyppisiä ongelmia on useita. Analyysissä tehdään erottelu hard ja soft puolen analyyseihin, siis delta epsilon vs. jollain tavalla topologiseen tai joukko-opilliseen analyysiin.

Juho kirjoitti...

En suosittelisi kuitenkaan ketään opiskelemaan asioita täydellisen eleganteista oppikirjoista. Ne soveltuvat parhaiten minusta referenssimateriaaliksi.

Tämä on hyvä huomio. Referenssinä elegantti "teoreematylytys" toimiikin ihan hyvin. Tällaisia referenssikirjoja voitaisiin kuitenkin lakata kirjoittamasta oppikirjan nimellä.

Muistan silmäilleeni joskus venäläistä matematiikan kirjaa, joka oli kirjoitettu lähes kokonaan matemaattisin symbolein. Kirjan alussa määriteltiin muutama uusi symboli, ja loput kirjasta olikin kvanttoreita, lausekkeita ja näitä symboleita.

Tutkimuksen apuvälineenä, uuden tuloksen tai määritelmän muotoilussa, on eleganssi tärkeä apuväline, sillä kuten Karikin mainitsi, on se vihje relevanssista. Ehkä siksi eleganssista tulee helposti ihanne, josta ei pääse irti edes silloin, kun asia pitäisi kommunikoida ja eleganssin relevanssi vähenee tilapäisesti.

Tiedemies kirjoitti...

Kommentoin tähän eleganssi versus opettelu, että parhaiten minulle ovat toimineet matematiikan kirjat, joissa substanssi sisältää upotettuna "elegantin" esityksen, mutta jossa teoreemojen ja määritelmien välissä on esimerkkejä. Jo aiemmin mainitsemani Jalavan Moderni analyysi toimi tässä suhteessa loistavasti. Minusta "teoreematylytystä" tarvitaan jossain määrin myös oppikirjoissa.

En usko, että bourbakilaisuudessa(kaan) on kyse kryptisyydestä tai yrityksestä sulkea ketään pois niinkään kuin jonkinlaisesta minimalismista, joka oli joskus 1900-luvun alkupuolella jonkinlainen arvo sinänsä. Luulen, että formalistit ajattelivat oikeasti, että minimaalinen elegantti esitys on "parempi".

Soveltavan ja puhtaan matematiikan ero näkyy tässä jutuss muuten myös, vaikka raja on vähän häilyvä. Soveltava matematiikkahan on, kuten tiedämme, matematiikan soveltamista johonkin muuhun matematiikkaan. Soveltavalla puolella "teoreematylytyksen" tarkoituskin on ihan toinen: Jokin keskeinen teoreema on itseasiassa ikäänkuin "valmiiksi naurettu", se on siis se, mihin kaikki tähtää. Teoreeman todistus ei ole niinkään todistus siitä, että teoreema pätee, vaan siitä, että se seuraa valituista lähtökohdista, eli että teoria - siis ne määritelmät ja apulauseet joista jokin keskeinen teoreema koostuu - on relevanttia tutkittavan ilmiön kannalta.

Kyse on siis yleensä tarkoituksenmukaisten abstraktioiden hallinnasta. Jos ja kun jokin mielekkään sovelluksen osoittava teoreema saadaan todistettua, se on ennemminkin osoitus abstraktion relevanssista, ei niinkään teoreeman "totuudesta".

Juho kirjoitti...

substanssi sisältää upotettuna "elegantin" esityksen, mutta jossa teoreemojen ja määritelmien välissä on esimerkkejä.

Nimenomaan tämä on minustakin hedelmällisin kommunikointitapa. Matemaattinen eleganssi tulee toki säilyttää, mutta vain osana (epäeleganttia) kerrontaa. Hyvä kertoja osaa tietysti tuoda tämän jaottelun selkeästi esiin. Tätä voisi kutsua kerronnalliseksi eleganssiksi.

On tietysti luonnollista, etteivät kaikki hallitse kerronnallista eleganssia, ja että matematiikassa on jonkinlainen työnjako askeetteihin ja opettajiin.