Kirjoitan tässä eräästä matemaattisesti haastavasta kysymyksestä joka harjoitteluun liittyy. Aiheeseen liittyy paljon bro-sciencea, ja yllättävän vähän kovaa dataa ja tutkimuksia. Joitain papereita löysin, joissa oli pyritty sovittamaan suorituskykydataan mallia, mutta malli oli usein melko hatustavedetyn oloinen. Kehitän tässä mallin arvioinnille -- en väitä että malli on oikea -- ja luonnostelen menetelmän jolla arvioita voisi esimerkiksi visualisoida ja käyttää treenin edistymisen mittaamiseen.
Malli menee näin. Kun lihas tekee työtä jotakin tiettyä vastusta vasten niin se väsyy. Siksi, kun tehdään toistoja tietyllä painolla, tuo paino asettaa rajan sille, montako toistoa voidaan tehdä. Tässä täytyy esimerkiksi jalkakyykyssä laskea mukaan kehon oma paino, mutta parametrisoin mallin niin, ettei sillä ole nyt väliä.
Lihaksella on teoreettinen maksimivoima, F, jonka se kynenee tuottamaan. Tätä maksimivoimaa emme kuitenkaan pysty mittaamaan toistoja tekemällä. Teoriassa tämä voima saadaan tuotettua vain eksentrisesti, eli laskemalla paino alas; tällöin lihas pystyy ikään kuin ottamaan "kaiken voiman irti". Huomautan tässä että malli on puutteellinen eikä täysin vastaa fysikaalista todellisuutta, mutta tarkoitus onkin saada karkea suuntaa-antava malli.
Varsinaisessa nostossa on, nostosta riippuen, eksentrinen (jarruttava) ja konsentrinen (työtä tekevä) vaihe. Tämän vuoksi yksi ja sama malli ei edes teoriassa sovellu kaikkiin liikkeisiin. Eksentrisen työn osuus rasittaa lihasta ensin liikkeissä kuten kyykyssä ja penkkipunnerruksessa. Toisaalta eksentrinen osuus on melkein merkityksetön esimerkiksi maastavedossa, ellei sitten liikettä tehdä hyvin hitaasti jarrutellen paino alas laskien. Se, minkä osuuden lihasten maksimivoimasta kussakin liikkeessä saa käyttöön, riippuu siis liikkestä. Otamme liikekohtaisen parametrin r, joka kuvaa sitä osuutta voimasta F joka saadaan ns hyötykäyttöön. Samastan voiman ja massan tässä, olettamalla että työ tehdään aina suoraan gravitaatiota vastaan. Tällöin maksimivoima on rF, ja tästä saadaan maksimipaino jolla liike voidaan suorittaa.
Käytämme lähtökohtana seuraavanlaista mallia, joka perustuu ykköstoiston (rF) arviointiin. Siinä n toistoa painolla w tuottaa maksimivoiman arvioksi F = w / (k + e^(-hn)). Koska rF on se paino, jolla saadaan yksi toisto, pitää olla r / (k + e^-h) = 1, eli r = k + e^-h. Yleisemmin, jos w(n) on se paino, jolla saadaan n toistoa, niin w(n) = F*(k+e^(-hn)). Tämä funktio käyttäytyy siten, että n:n lähestyessä ääretöntä, w(n) lähestyy arvoa F*k. Tämä raja-arvo on täysin teoreettinen, sillä väsymysmalli menee rikki jossakin kohtaa; yksi keino on todeta että vaikkapa 20 toiston maksimi on F*k, sitä suuremmat toistomäärät eivät kerro enää mitään.
Jos oletamme, että tunnemme w(n):n arvon riittävän monessa pisteessä, niin voimme etsiä pienimmän neliösumman sovitteen parametreille F, k ja h. Teemme sovitteen epälineaarisella regressiolla. Kokeilen tätä ensin ja palaan asiaan myöhemmin.
EDIT: Tämä lienee parempi parametrisoida niin, että w(n) = A + B*e^(-Cn) ja etsiä tähän sovite. Se on paljon helpompaa. Gradienttimenetelmä on huomattavan yksinkertainen, ja voidaan valita alkuarvot siten että A = w(k) missä k on suurin datassa esiintyvä arvo, A + B*e^(-C) on w(1), jos tällainen luku on olemassa joten B*e^(-C) = w(1) - w(n). Tästä saadaan C arvioitua niin, että jos tunnetaan jokin kolmas piste, esim w(2), niin w(1)-w(2) on likipitäen CBe^(-C). Eli C on likipitäen (w(1)-w(2)) /( w(1)-w(n)). Tästä voidaan sitten gradienttimenetelmällä iteroida pari kertaa että löytyy paras sovite.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti