Field of Dreams

Oletetaan että meillä on vektoriavaruus U jonkin kunnan F yli. F on useimmiten joko reaali- tai kompleksilukujen kunta, mutta voi olla toki jokin muukin. Tällöin V:n alkioille x ja y, ja kunnan F alkioille a ja b voidaan esittää vektorioperaatioita, kuten skalaarilla kertominen, ax ja yhteenlasku x + y. Näille pätevät tietyt melko luontevat algebralliset lait kuten se että a(x + y) = ax  + ay. Vektoriavaruudesta löytyy ns nollavektori, jolle pätee että a0 = 0 ja x + 0 = x. Jokaiselle U:n alkiolle on vasta-alkio siten että x + (-x) = 0.  0-vektorilla ja kunnan F 0-alkiolla on väistämättä tällöin se suhde että 0x = 0. (Oikeasti F:n alkio 0 on tietenkin eri asia kuin U:n alkio 0, mutten jaksa nyt kirjoittaa niitä eri symbolilla) Vektoriavaruus on normiavaruus jos jokaisella alkiolla on normi ||x||, joka on ei-negatiivinen reaaliluku siten, että ||x|| = 0 jos ja vain jos x = 0, ||ax|| = |a|*||x|| ja ||x + y|| on korkeintaan ||x|| + ||y||. Normiavaruudessa kerroinkunta luonnollisesti on jotain sellaista että kerroinkunnan alkiolla on mielekäs tulkinta ei-negatiivisena reaalilukuna. Normiavaruus on Banach-avaruus jos se on täydellinen, eli jos jokainen Cauchy-jono suppenee.

Vektorikenttä on matemaattinen rakennelma, joka toimii seuraavalla tavalla. Vektoriavaruuden (oletamme sen nyt Banach-avaruudeksi) U jonkin osajoukon S jokaiseen alkioon x liitetään vektori V(x), eli V: S → U. Vektorikenttä on jatkuva, jos se on funktiona normin mielessä jatkuva jokaisessa pisteessä x, eli jokaiselle 𝜀 > 0 on olemassa 𝛿 > 0 siten että jos ||x -y|| < 𝛿 niin ||V(x) - V(y)|| < 𝜀

Yleisesti jatkuvissa vektorikentissä voidaan määritellä asioita kuten integraaleja tiettyjä polkuja pitkin. Vektorikenttä on konservatiivinen jos on olemassa jokin derivoituva skalaarifunktio 𝜙(x) siten että V(x) on  𝜙:n gradientti pisteessä x. Konservatiivisella vektorikentällä pätee, että polkuintergaali kentän pisteestä toiseen ei riipu reitistä, vaan ainoastaan loppupisteistä.  Konservatiivinen vektorikenttä esimerkiksi kuvaa voimia systeemissä jossa energia säilyy. Klassisen mekaniikan gravitaatiokenttä esimerkiksi on konservatiivinen vektorikenttä.

 Itselläni on nyt noin 20 vuotta aikaa siitä kun opiskelin vektorikenttien matematiikkaa. Jouduin nyt syksyllä hiukan asioita kertaamaan, koska lineaariset differentiaaliyhtälöjärjestelmät voidaan ajatella vektorikenttinä. Tulin siihen tulokseen että näiden ominaisuuksien pyöritteleminen on varsin mukavaa.