Logiikka ja laskenta.

Olettakaamme että olemme tutkimassa jonkinlaisen systeemin S käyttäytymistä. Systeemissä on erilaisia muuttujia, joita voimme ehkä mitata, emme ehkä täydellisesti mutta voimme kuitenkin saada jotain tietoa. Oletetaan että nämä muuttujat ilmaistaan symbolilla x. Tämä on siis periaatteessa vektori kaikesta siitä, mikä systeemissä on olennaista. Oletan tässä että meillä on lisäksi käsite aika, joka on yksi muuttuja, mutta yksinkertaisuuden vuoksi oletan että se ei ole mukana mainitussa x:ssä.

Systeemin tila on jollakin ajanhetkellä muuttujan x arvo. Jos tunnemme systeemin tilan kahtena ajanhetkenä, niin oletamme että systeemi on siirtynyt ensimmäisestä tilasta toiseen; se, miten systeemi siirtyy tilasta toiseen, määrittää systeemin dynamiikan. Melko yleisiä systeemien dynamiikan kuvaamiseen käytettyjä formalismeja ovat esimerkiksi differentiaaliyhtälöt. Jos x koostuu komponenteista x1, x2, ..., xn, niin meillä on tyypillisesti useampia differentiaaliyhtälöitä jotka kuvaavat sitä miten muuttujien kehitys ajan suhteen riippuu toisistaan. Esimerkiksi voisi olla vaikkapa kahden muuttujan systeemi, jossa x1' = x2 ja x2' = -x1. Tämä on hyvin yksinkertainen systeemi, jossa siis x1 kasvaa sitä nopeammin mitä suurempi x2 on ja x2 taas pienenee sitä nopeammin mitä suurempi x1 on; tällainen systeemi on oskilloiva, mutta se ei nyt ole olennaista.

Differentiaaliyhtälöillä kuvataan järjestelmiä, jotka ovat jatkuvia. Jatkuvuus viittaa siis siihen, että aika etenee tasaista tahtia ja muuttujat ovat tyypillisesti reaali- tai kompleksilukuja. Differentiaaliyhtälöillä kuvataan lisäksi järjestelmiä jotka ovat deterministisiä, eli niiden toiminta on tarkalleen määrätty kun tila tunnetaan. Deterministisen sijaan järjestelmä voi olla esimerkiksi stokastinen, jolloin sen toimintaan liittyy jokin satunnainen komponentti, esimerkiksi differentiaaliyhtälössä voi esiintyä satunnaismuuttujia, jolloin saatu yhtälö ei kuvaakaan järjestelmän tilaa ajan funktiona vaan ainoastaan tilan jakaumaa. Kolmas vaihtoehto on, että järjestelmä on epädeterministinen, mikä tarkoittaa että sillä on aidosti useita eri polkuja; tätä käytetään erotuksena stokastisesta siten, että epädeterminismi tulee esimerkiksi mukaan malliin tuntemattomien vuorovaikutusten kautta.

Jatkuvan sijaan järjestelmä voi olla myös diskreetti. Diskreetin järjestelmän tilan määrittämät muuttujat saavat diskreettejä arvoja kuten kokonaisluku- tai boolean arvoja (tosi/epätosi). Järjestelmää jossa on sekä diskreettejä että jatkuvia muuttujia nimitetään hybridijärjestelmiksi. Diskreetin järjestelmän dynamiikkaa voidaan aina kuvat tilasiirtymärelaatiolla, joka kertoo mihin muihin tiloihin jostakin tietystä tilasta voidaan päätyä. Tämä relaatio on funktio jos järjestelmä ei ole epädeterministinen, ja jos järjestelmä on stokastinen, niin funktion arvoina ovat jakaumat tilojen yli. 

Predikaattiabstraktio viittaa siihen, että osa muuttujista korvataan predikaateilla. Predikaatti on totuusarvoinen väittämä joka koskee muuttujaa tai muuttujajoukkoa. Esimerkiksi jos meillä on muuttujat x ja y, niin väittämät x < y, x+y > 3, x < 0 jne ovat predikaatteja jotka puhuvat muuttujista x ja y. Tyypillisesti jos me käsittelemme jatkuvaa järjestelmää, predikaattiabstraktio on yksi tapa muuttaa järjestelmä diskreetiksi. Jos esimerkiksi x ja y ovat jatkuvia muuttujia, järjestelmän tilaa saatettaisiin abstrahoida esittämällä se kolmen predikaatin avulla: x < 0, y < 0 ja x² + y² < 9. Tällöin meillä olisi kahdeksan erilaista "tilaa" sen mukaan, missä kvadrantissa x ja y ovat ja sen mukaan ovatko ne 3-säteisen ympyrän sisällä vai eivät. Predikaattiabstraktio tuottaa epädeterminismiä vaikka alkuperäinen järjestelmä olisi kuvattu deterministisellä differentiaaliyhtälöllä. Esimerkiksi kun x = 5 ja y = 1, järjestelmä kehittyy niin, että y muuttuu negatiiviseksi, mutta pysyy ympyrän ulkopuolella ja kun x = 1 ja y = 5, y pienenee mutta pysyy positiivisena niin, että järjestelmä siirtyy ympyrän sisäpuolelle. Kumpikin arvoiyhdistelmä on kuitenkin mainittujen predikaattien kannalta "sama", eli abstraktio samastaa eri tavoin käyttäytyviä tiloja.

Jos tunnemme järjestelmän "riittävän hyvin" ja meillä on "riittävän hyvät" abstraktiot siten, että laadullisesti abstraktion tuottama malli kertoo meille "riittävästi", voimme luoda järjestelmän toiminnasta diskreetin mallin ja ennustaa, onko alkuperäisellä systeemillä jokin tietty abstrakti tila johon se päätyisi. Esimerkiksi voiko käydä niin, että sekä x että y ovat negatiivisia ja ympyrän ulkopuolella.

Sivuutan tässä nyt sen problematiikan joka liittyy tilasiirtymärelaation esittämiseen. Huomautan lisäksi että yleisessä tapauksessa tällaiset abstraktiot sisältävät potentiaalisesti satoja tai tuhansia predikaatteja siten, että järjestelmän diskreettienkin tilojen määrä on suurempi kuin koko maailmankaikkeudessa olevien atomien määrä; tällaisen järjestelmän kaikkien tilojen tutkiminen on yksinkertaisesti mahdotonta.

Voimme kuitenkin käyttää tähän logiikkaa, niin erikoiselta kuin se kuulostaakin. Yksi takavuosien menestyksekäs metodi oli niin kutsuttu rajoitettu mallintarkastus eli bounded model checking. Sen ideana on, että me esitämme järjestelmän alkutilan predikaattien avulla, esimerkiksi p1 & p2 & not p3 jne. Tämän lisäksi esitämme tilasiirtymärelaation logiikan kaavana siten, että jos tämänhetkisessä tilassa puhutaan predikaatista p, niin jälkimmäisessä puhutaan predikaatista p'. Esimerkiksi jos p on predikaatti joka vaihtaa totuusarvoaan jokaisessa siirtymässä, tätä merkitään p -> p', joka taas sievenee muotoon  not p or p'.

Oletetaan, että "virheellinen tila" voidaan ilmaista kaavalla Y. Jos meillä on jotakin tilajoukkoa kuvaava kaava X ja tilasiirtymän kaava P( ), niin sitä tilajoukkoa joka saavutetaan joukosta X käsin, voidaan ilmaista P(X). (Tämä on siis taas kaava). Kaikki predikaatit esiintyvät tässä kaavassa (se voi olla hyvinkin suuri) pelkkinä propositioina. alkutilan ollessa x, tarkistamme onko kaava X = (x tai P(x) tai P(P(x)) tai ....) yhdessä kaavan Y kanssa mahdollista tehdä todeksi, eli onko kyseinen kaava X ja Y satisfiable eli SAT. Valitettavasti X voi kuvata vain äärellisen määrän askelia (siitä nimitys "bounded") joten tämä menetelmä voi kyllä löytää virheitä, muttei voi todistaa että järjestelmässä ei sellaisia ole.

SAT on NP-täydellinen ongelma, mutta modernit SAT-ratkaisijat ovat niin tehokkaita, ja todellisista järjestelmistä peräisin olevat mallit ovat niin strukturoituja että SAT-ratkaisijat kykenevät ratkomaan tuhansien ja jopa miljoonien klausuulien mittaisia kaavoja, joissa on kymmeniä tuhansia tai satoja tuhansia muuttujia. Toki on aina patologisia tapauksia jotka tyystin tukahduttavat ratkaisijat, mutta ne ovat todellisen maailman malleissa hyvin harvinaisia.

Meidän ei ole kuitenkaan aivan pakko tyytyä siihen ettemme koskaan saisi todistettua järjestelmää täysin oikeaksi. On nimittäin mahdollista toisinaan löytää induktiivisia invariantteja jos sovelletaan abstraktiota luovasti.

Ensimmäinen, yksinkertainen tapa on yrittää löytää ns kiintopiste. Jos kaava X kuvaa kaikkia niitä tiloja joihin voidaan päästä n:llä tai sitä pienemmällä määrällä askelia, ja jos kaava (P(X) tai X) on yhtäpitävä kaavan X kanssa, tiedämme, että kaava X itseasissa kuvaa jo kaikki mahdolliset saavutettavat tilat; jos kaava (X ja Y) on ristiriitainen, ei järjestelmä voi saavuttaa tilaa jossa Y pätee. 

Tällainen kiintopiste voi olla kuitenkin niin monen askeleen päässä -- tai mikä pahempaa, järjestelmällä voi olla ääretön määrä mahdollisia tiloja (mikä tosin ei ole mahdollista jos käytämme tiukkaa predikaattiabstraktiota, mutta sivuutan sen nyt) -- että meiltä loppuu muisti tai aika ennenkuin löydämme kiintopisteen. Jos olemme nyt -- jonkin askelmäärän jälkeen -- todenneet että X kuvaa siihen mennessä saavutettavia tiloja, ja X ja Y ei ole SAT, voimme aina löytää tälle kaavalle niinsanotun interpolantin. Interpolantti on kaava Z, joka sisältää vain X:lle ja Y:lle yhteisiä symboleja, X implikoi Z:n ja Z on ristiriidassa Y:n kanssa.

Interpolantti Z voidaan nyt abstrahoida, siis tehdä siitä heikompi, kunhan se on edelleen ristiriidassa Y:n kanssa. Jos tätä merkitään kaavalla Z' niin sopivalla abstraktion valinnalla saatamme esimerkiksi pystyä osoittamaan että kaava Z' onkin kiintopiste -- se on siis induktiivinen invariantti, kaava joka kerran todeksi tultuaan pätee vaikka tekisimme kuinka tilasiirtymiä. Jos tällainen abstraktio löydetään, olemme kertakaikkisesti osoittaneet että Y ei voi toteutua järjestelmässä.

Pohjanmaan roadtrip.

Kävimme perheen kanssa pienellä pohjanmaa-roadtripillä viikonloppuna. Tarkalleenottaen matkasta suurin osa taittui Etelä-Pohjanmaalla ja Pohjanmaalla.  Ajoimme kolmostietä Vaasaan, missä vietimme päivän Tropiclandiassa. Käyskentelimme vähän aikaa Vaasan keskustassa ja yövyimme leirintäalueella. Aamusta lähdimme verkkaiseen tahtiin ajamaan kohti PowerPark- huvipuistoa Alahärmässä, joka on nykyisin osa Kauhavaa. PowerParkista suuntasimme takaisin Tampereelle Alavuden Tuurin kautta, missä pysähdyimme jäätelölle kuuluisan Kyläkaupan luona.

Pohjanmaan maakunnat ovat syntyvyyden puolesta Suomen hedelmällisimpiä maakuntia. Keski- ja Pohjoispohjanmaan maakuntien nettohedelmällisyysluku on ainoina maakuntina selvästi yli uusiutumisrajan, ja Etelä-Pohjanmaa on siinä hilkulla (samoin Kainuu, mutta en ole tottunut laskemaan sitä osaksi "Pohjanmaata", vaikka moni muu niin tekeekin). Eteläpohjalainen murre jakaa mielipiteitä. Siinä kuuluu joitakin piirteitä hämäläismurteista, mutta siinä selkeästi myös pohjoisempia piirteitä, jopa ripaus itämurteita. Yleisesti eteläpohjalainen murre assosioidaan ns häjyihin eli puukkojunkkareihin, jotka olivat eräänlainen suomalainen vastine gangsta-kulttuurille 1800-luvun Suomessa, bling-blingeineen kaikkineen. Huumekaupan sijaan poltettiin viinaa, ja kromattujen pyssyjen sijaan oli koreasti helattuja puukkoja. Eteläpohjalaiseen kulttuuriin liittetään merkityksiä kuten kunniantunto, väkivaltaisuus, pelottomuus ja tietynlainen korskeus ja suurieleisyys. Tästä kielivätkin nykypäivänä vieläkin niin PowerPark kuin Keskisten kyläkauppakin. Ilmiö ja kulttuuri on joillekin vastenmielinen, mutta esimerkiksi Pohjanmaan, Keski-Pohjanmaan ja Etelä-Pohjanmaan talousluvut ovat useimpina vuosina olleet selkeästi muuta maata paremmat ja työttömyys alhaisempi kuin maassa keskimäärin.

 Pidin Pohjanmaan maisemista. Teitä oli miellyttävä ajaa pääsääntöisesti. Pysähdyimme matkalla PowerParkista Alavudelle erään maatilan pihaan, koska tien varressa mainostettiin kahvilaa. Tuvassa oli termospullosta ihan hyvää kahvia euron take-away-pahvimuki, ja ihmiset vaikuttivat tavattoman ystävällisiltä. Muutoinkin kotimatka sujui pahemmitta ongelmitta. Pirkanmaalle saavuttuamme tie 65 oli hivenen ruuhkainen ja muutamat kuljettajat tekivät hieman vaarallisenoloisia ohituksia.

Voin suositella näitä kohteita lapsiperheille. Tropiclandia oli hieman pettymys kun on tottunut Singaporen tarjontaan, ja PowerParkissa ongelmaksi tuli se, että nuorempi poika on hivenen alle 130 senttiä, joten iso osa hurjimmista laitteista jäi häneltä väliin. Lapsen temperamentistä, hurjapäisyydestä, ja koosta riippuu, kannattaako siellä käydä; hurjapäinen mutta alle 130 senttinen pettyy kyllä.

Tänään podenkin sitten ensimmäistä kertaa vuosikausiin kesäflunssaa. Hiostava ilma, kuumeinen olo, kurkkukipu ja nivelsärky ovat varsin epämiellyttävä yhdistelmä.

Terveiset Wienistä.

Olen parhaillaan Wienissä, Itävallassa, osallistun Vienna Summer of Logic- konferenssikollektiiviin. Wien on miellyttävä kaupunki, mutta juuri tällä hetkellä täällä on melko kuuma; päivämaksimi on 33 astetta. Ilma ei ole kostea kuten Singaporessa, joten se ei ole yhtä tukala (jos pysyttelee varjossa), ja TU-Wienin konferenssitilat ovat ilmastoituja.

Eilen entinen ohjaajani palkittiin tutkimuksestaan yhdessä kolmen kilpailijan kanssa. Päätin väitöskirjaa tehdessäni että pysyttelen tästä nimenomaisesta aiheesta erossa, mutta post-doc vaiheessa ajauduin siihen kuitenkin. Aihe on kokenut eräänlaisen renessanssin liki 20 vuoden tauon jälkeen, ja täällä olen törmännyt useampaankin ryhmään joka haluaa soveltaa teorioitamme.

Toivoa sopii että pienestä kiinnostuksesta tulee isompi "uusi aalto", sillä olen viimeisen viiden vuoden aikana penkonut aihepiirin jotakuinkin kokonaan ja epäilen että olen tällä hetkellä maailman johtava asiantuntija tällä kovin kapealla saralla. En julkaisujen määrässä, mutta väittäisin tietäväni aiheesta oikeasti enemmän kuin kukaan muu. Olen viime vuodet tosin yrittänyt pyristellä aiheesta eroon, koska koen kolunneeni sen kokonaan jo läpi, mutta se vähäinen maine mitä minulle on kertynyt, on valitettavasti leimannut minut jo nyt.

Esitelmä on tänään iltapäivällä, ja koska konferenssi on alan numero ykkönen ja kaikki isommat nimet ovat paikalla, tänään leimaudun lopullisesti joko aihetta tutkivinaan olevaksi pelleksi tai sitten asiantuntijaksi. Välimuotoa tuskin on olemassa...

Lisäpöytäkirja: Hauskana yhteensattumana mainittakoon, että ensimmäisen kerran CAV-award myönnettiin vuonna 2008 kahdelle tutkijalle jotka kehittivät reaaliaikajärjestelmien formalismit sille tasolle että niitä voitiin alkaa algoritmisesti verifioida. Tänä vuonna palkinto myönnettiin osittaisjärjestysreduktioiden kehittäjille. Mikä tekee yhteensattuman on, että meidän tämänpäiväinen esitelmämme (ja paperimme) käsittelee sitä, miten osittaisjärjestyreduktiot saadaan toimimaan reaaliaikajärjestelmien formalismeille; tätä ei ollut kukaan todella aiemmin tehnyt. 

Futisfinaali...

Katselin eilen hetken aikaa pronssipeliä, mutta en jaksanut oikein innostua. Brasilia oli henkisesti romuna jo valmiiksi ja Hollanti tavoitteli sekä van Gaalin, että minun mielessäni vain finaalipaikkaa ja -- epätodennäköistä -- voittoa. Pronssiottelu on, eräänkin bloggaajan sanoin, höntsäilyä. Brasilian tunnepitoinen jalkapallo osoitti jälleen alennustilansa, hermoheikot pelaajat ja epäyhtenäinen joukkue eivät mahtaneet mitään Hollannille.  Seuraamattomuuteni syynä oli myös se, että olimme sukumme kesämökillä viettämässä poikani 10-vuotisjuhlia. Lapsia oli yhteensä 10, ja heidän piti yöpyä toisessa rakennuksessa kuin missä televisio on. Pojat menivät nukkumaan ja me aikuiset menimme katsomaan jalkapalloa, kun pian pojat alkoivat panikoida. Kuulemma "joku" (myöhemmin kukaan ei myöntänyt) oli nähnyt että ikkunan takana oli joku kyttäämässä. Pojat olivat menneet paniikkiin ja uskoivat että metsässä vaanii murhamies. Menin poikien kanssa mökkiin, mutta pari pojista ei rauhoittunut millään, vaan vaativat päästä kotiin. Yhden pojan äiti haki nämä kaverukset sitten yöllä kotiin, mutta minulta jäi ottelu väliin. En ollut siitä erityisen harmissani näin jälkikäteen ajatellen. Itse synttärit sujuivat kyllä loistavasti, ja toinen kotiinlähteneistä pojista toisteli lähtiessään että hänellä oli kyllä hurjan hauskaa, mutta että hän nyt vain on kovin herkkä ihminen. En voi kuvitella että olisin itse 10-vuotiaana kyennyt ilmaisemaan mitään niin vivahteikasta tunnetilaa...

Toisin oli Argentiinan laita välierässä. Sanotaan pelistä mitä hyvänsä -- usein esimerkiksi valitetaan että maalittomat ottelut ovat tylsiä -- nautin suuresti jännitysnäytelmästä jonka Hollanti - Argentiina muodosti. Robbenia on syytetty (aiheesta, myönnän) kovaksi filmaajaksi, mutta välierässä sitä ei näkynyt juurikaan. Argentiinan peli oli mielestäni hieman munattomampaa. Kummassakin joukkueessa puolustus teki tehtävänsä, ja pudotuspeleissä nyt vaan ei otetan yleensäkään riskejä, joten maaliton peli- ja jatkoaika oli odotettu. Rankkarikisojen mielekkyydestä noin yleensä voidaan olla montaa mieltä, mutta jos nyt hyväksymme sen jonkinlaiseksi keinoksi ratkaista peli, niin Argentiina oli kiistatta parempi rankkareissa. Van Gaal teki emämunauksen kun otti van Persien ylipäätään kokoonpanoon. Ylipäänsä pudotuspelien aikana van Persie kunnostautui lähinnä olemalla joka välissä paitsiossa, mitä voi pitää laiskan miehen merkkinä.

Epäilen että tänään Argentiina ottaa nenäänsä Saksalta. Saksan suurimmat riskit liittyvät siihen että maalitilanteita tuhritaan koska Müller yrittää liikaa. Sivumennensanoen, tämä oli Hollannin yksi riskeistä Robbenin kanssa, mutta toisin kuin Robben, joka lähinnä juoksee kovaa ja kääntyy nopeasti, Müller pelaa sentään esimerkiksi päälläänkin joskus. Messi on ehkä maailman paras pelaaja, mutta joukkueessa on 11 miestä. Argentiinan maalivahtipelin vahvuus näkyi Hollantia vastaan rankkarikisassa ja Saksallakin Neuer on ollut ilmiömäinen ja lisäksi hyvin monipuolinen pelaaja.

Finaali herättää monilla muistoja 1986 legendaarisista "Maradonan kisoista", kun  Argentiina nousi, lähinnä Maradonan egon -- ja "jumalan käden" voimalla -- ensin välieriin ja lopulta maailmanmestariksi. Vuoden 1986 kisat olivat ensimmäiset joita itse seurasin, mutta kannatin tuolloin Ranskaa, koska isoäitini teki niin. Vuoden 1990 kisat Italiassa vei -- samasta finaaliparista -- Saksa. Uskoisin niin kyllä käyvän nytkin, mutta yllätyksiä tapahtuu.

Onneksi kisat päättyvät. En pidä urheilun, varsinkaan joukkueurheilun, herättämästä joukkueuskollisuudesta, mutta vanhalla iällä olen alkanut suhtautua siihen leppoisasti. Ensi viikolla lähden Wieniin. 

Miten homma toimii: Luonnovalinta ja dysgenia.

Törmäsin artikkeliin jossa esitetään huolestuneeseen sävyyn miten ihmiset ovat nykyisin heikompia ja tyhmempiä kuin antiikin ihmiset tai paleoliittisen kauden ihmiset.

Tässä on eräs luonnonvalintaan kohdistuva väärinymmärrys, joka on niin yleinen että se on syytä korjata erittäin huolellisesti. Korjaus tapahtuu ymmärtämällä huolellisesti seuraava tosiasia:

Luonnonvalinta ei piittaa keskiarvoista, eikä evoluutio perustu keskiarvon kehitykseen vaan hajontaan.

Mitä tämä tarkoittaa? Artikkelissa mainitaan pituus, joten käsittelen sitä. Paleoliittisen ihmisen keskipituus oli noin 177 senttimetriä, kun se modernin ajan valkoihoisilla miehillä on noin 175 senttimetriä. Paleoliittisia ihmisiä oli kuitenkin muutamia miljoonia. Maailmassa on tällä hetkellä kymmeniä miljoonia valkoihoisia miehiä jotka ovat yli 180 senttimetriä pitkiä.

Luonnonvalinta ei operoi keskiarvoilla, vaan ääripäillä. Ihmislajin sisällä on nykyisin paljon enemmän "evoluutiopotentiaalia" kuin paleoihmisillä. Ei ole mitään dysgeniaa joka heikentää "ihmisrotua", vaan on vain suurempi varianssi, joka takaa että poikkeuksellisia yksilöitä on enemmän. Jos ulkoinen paine uhkaisi hävittää modernin ihmisen, niin nykypopulaatiosta jonkun jälkeläiset selviävät paljon todennäköisemmin kuin jos me kaikki olisimme fyysisiltä ja henkisiltä ominaisuuksiltamme paleoihmisiä. Homogeenisyys on riski, ei rikkaus, jos tarkastellaan ihmislajia. 

Syytä on huomata, että tämä on eri asia kuin sosiaalinen ja poliittinen eugenia tai dysgenia, eli yhteiskunnan toimivuuden näkökulmasta tarkasteltu "väestönlaatu". Esimerkiksi yksittäinen kansakunta tai pienempi yhteisö toki pärjää paremmin sosiaalisesti ja taloudellisesti ja usein tämä riippuu juuri keskiarvosta. Esimerkiksi keskimääräinen sairastavuus on se, joka on olennaista sairauden aiheuttaman taloudellisen rasituksen kannalta, eikä tähän paljon vaikuta, onko tervein 10 prosenttia ihmisistä täysin immuuneja tietyntyyppisille sairauksille, vai ainoastaan sairastaa melko harvoin; Ensimmäisessä tapauksessa letaali pandemia ei pysty pyyhkäisemään koko populaatioita, jälkimmäisessä pystyy, mutta letaalit pandemiat ovat harvinaisia, ja päivittäisessä tai vuosittaisessa saldossa näkyy vain keskiarvo. 

Tämä teksti on toki helppo tulkita aivan väärin, joten sanon nyt tässä suoraan: Tämä ei ole mikään monikulttuuripuffi, eikä mikään "diversiteetti on hyvästä"- argumentti siinä merkityksessä kuin asia on kiistanalainen nyky-yhteiskunnassa. En siihen kiistaan ota kerrassaan mitään kantaa. Sensijaan totean, että kun operoidaan abstraktiotasolla jossa "nykyihminen on sitä tai tätä", keskiarvojen ottaminen vertailuun paleoliittisten ihmisten kanssa on virhe.