perjantai 14. tammikuuta 2011

Sivistys ja vauraus.

Radiossa mainostettiin koululaisten "tutorointipalvelua" tai jotain, lyhyessä pätkässä lapsi kysyy ilmeisesti nukkuvalta isältään, että "hei isi, miten derivoidaan".

Funktion derivaatta on oikeastaan sen lokaali linearisointi. Tämä tarkoittaa sitä, että derivaatan arvo jossain pisteessä on oikeastaan lineaarikuvaus, jonka avulla funktiota voidaan approksimoida ko. pisteessä. Siis, jos meillä on funktio f: X &rarr Y, niin pisteessä x funktion f derivaatta f' on lineaarikuvaus f'(x)[]: X &rarr Y, siten että f(x + &Delta x) = f(x) + f'(x)[&Delta x] + &omicron, siten, että &omicron / &Delta x lähestyy nollaa, kun &Delta x lähestyy nollaa. Tässä siis f'(x) on itsessään lineaarikuvaus, jonka parametri on hakasulkeissa.

Tästä voi johtaa derivaatan määritelmänä tarjotun erotusosamäärän, jota sitäkään ei kouluissa yleensä oikeasti opita muistamaan. Siitä voi myös johtaa paljon abstraktimpia käsitteitä, esimerkiksi vektoriavaruuksissa reaaliarvoisen funktion gradientti on tällainen (ja lineaarikuvaus on pistetulo) ja vektoriarvoisten funktioiden kohdalla se on matriisi jne.

Kirjoitan tästä siksi, että olen useammin kuin kerran nähnyt esitettävän jonkinlaisen vastakkainasettelun matemaattispainotteisen tieteellisen koulutuksen ja sivistyksen välille, nimenomaan niin, että "joku derivointi" esitetään kontrastina sille, että on lukenut tiettyjä kirjoja tai osaa nimetä tiettyjä taiteilijoita ja taidesuuntia.

Tämän rinnalle voi ottaa kaksi käsitystä vauraudesta, nimittäin suhteellisen ja absoluuttisen. Suhteellinen vauraus on jotain sellaista, että on rikkaampi tms kuin muut. Tällaisella tavalla ajateltuna feodaaliajan rosvoparoni tms. oli vauraampi kuin yksikään nykypäivän superrikkaista ihmisistä. Tällainen feodaalinen vauraus ei juurikaan lisäänny materiaalisen yltäkylläisyyden lisääntyessä, vaan pikemminkin se on historiallisesti tupannut pienentymään. Absoluuttinen vauraus taas viittaa niihin resursseihin, joita ihmisellä on käytettävissään. Tietysti ceteris paribus, absoluuttisen vaurauden lisääntyminen lisää yksilön suhteellista vaurautta, mutta yhteiskunnassa voi kaikkien absoluuttinen vauraus lisääntyä.

Jos ajattelemme sivistystä, sitä voidaan hahmottaa samoin. "Joku derivointi" on eräänlaista absoluuttista sivistystä, koska se on tietoa vain suhteessa struktuurien ja maailman ymmärtämiseen. Tieto siitä, milloin pikkusormen kuuluu olla pystyssä ja milloin kravatin pitää olla tumma ja milloin vaalea, tarvitaan ennenkaikkea toisten ihmisten manipuloimiseen. Tämän perusteella tiedon tai "sivistyksen" voi jakaa kahteen kategoriaan (vähän niinkuin tiedonintresseihin).

Tämä ei tietenkään kerro ihmisen motiivista hankkia tietoa, esimerkiksi fyysikko tai insinööri saattaa haluta asiantuntijuuden tuomaa mainetta ja arvostusta, ja toisaalta taidehistorioitsija saattaa olla yksinkertaisesti kiinnostunut tiedosta itsestään.

Itse tietenkin mielelläni näkisin, että "joku derivointi" olisi osa yleissivistystä, koska senkaltainen ymmärrys rikastaa ihmisen näkemyksiä oikeastaan mistä hyvänsä ilmiöstä. Hätkähdän toistuvasti sitä, miten vajavaisesti ihmiset hahmottavat asioiden muutosta ja eri suuntaisten muutosten keskinäisiä suhteita. "Joku derivointi" - merkityksessä siis perustavanlaatuisten matemaattisten tosiasioiden ymmärtäminen - olisi erittäin hyödyllistä suurimmalle osalle ihmisiä. Tämä pätee usein myös niihin, jotka uskovat omaavansa jotenkin hienostuneen ja punnitun maailmankuvan.

33 kommenttia:

Panu kirjoitti...

Mun täytyy kyllä sanoa, että "joku derivointi" on puhtaasti matluonteknisten alojen ulkopuolella käytännössä tarpeettomampaa kuin tilastotiede. Kuitenkin lukion matikka ainakin omana aikanani korosti matemaattista analyysia niin suvereenisti, että tilastotiedettä oli vain puoli kurssia koko lukion laajassa oppimäärässä.

Jos tilastotiedettä olisi enemmän, jengi ehkä oppisi yleisemminkin pitämään matematiikkaa käyttöosaamisena, ei jonain dramaattisena salatieteenä, jonka oppineet kuuluvat johonkin ruusuristisalaseuraan.

Tiedemies kirjoitti...

En ole itseasiassa eri mieltä. "Joku derivointi" oli oikeastaan vain jonkinlainen abstraktio. Parempi olisi varmaan "joku korrelaatio" tai jotain sellaista.

On jokseenkin hassua, että todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede esitettiin aikanaan lukiomatematiikassa jonkinlaisina kombinatorisena nysväämisenä (tyyliin todennäköisyys nopanheitolle tai "vedetään palloja pussista"), kun taas olennaisempaa olisi esittää jakaumaoletuksia ja erilaista yksinkertaista tilastollista päättelyä.

Gc kirjoitti...

Tilastotieteessä juuri tarvitsee derivointia, jos käsittelee jatkuvia jakaumia niin kuin esimerkiksi norrmalijakauma. Se tiheysfunktio 1/sqrt(2pi)(e^(-x^2)/2)on juuri sen kertymäfunktion derivaattafunktio.
Miten voi kertymäfunktiota ymmärtää ilman integraalia, jota ei oikein ole järkevää opettaa ilman derivaattaa?

Tiedemies kirjoitti...

Panun pointti oli kuitenkin sikäli kohdallaan, että analyysi ylikorostuu usein kun puhutaan matematiikasta. Olin itse ihan järkyttynyt yliopistoon mennessäni siitä, kuinka kehno lukion laaja matematiikka oli. Sitä oli sentään mitä, 11 kurssia? Luulisi, että siitä ainakin puolet olisi voinut opettaa oikeaa matikkaa.

Toki on niin, että innostuin matematiikasta vasta vanhalla iällä, eli yli parikymppisenä.

Gc kirjoitti...

Algebra on Suomessa alikorostunut. Sitä en ymmärrä miksi euklidista geometriaa opetetaan lukiossa.
Se (ja ehkä tuo toden. ja tilasto) vaikuttaa näin jälkeenpäin hyvin turhalta kurssilta.Ehkä tarkoitus on opetaa todistamista jollain yhtenevät kulmat plaa plaa...jutuilla.
Mutta euklidisessa geometriassahan ei oleteta koordinaatistoa! Ei kukaan oikeasti tee asioita noin. Kaksi kurssia lineaarialgebraa höystettynä algerbralla olisi poikaa.

Tiedemies kirjoitti...

En ole eri mieltä.

Käsitteiden pedagoginen "bootstrap" on oikeasti kuitenkin vaikea ongelma. Lineaarialgebra on hyödyllistä tilastollisessa päättelyssä ja analyysissä, mutta esimerkiksi matriisien ymmärtäminen "raakana" on monelle iso kynnys. Meillä esimerkiksi TUT:in laajassa matematiikassa aloitettiin analyysikurssilla, johon lätkäistiin juuri sen verran lineaarialgebraa, että saatiin "Joku derivaatta" näppärästi määriteltyä; käytännön laskuja varten tarvittiin matriisit, ja ne tuntuivat joillain menevän jotenkin ohi. Osa jutuista avautui vasta kun olin oppinut kompleksisista vektorikentistä, tilastomatematiikasta ja reaalianalyysistä.

Olen täysin vakuuttunut, että minkä tahansa tieteenalan opiskelu on helpompaa, jos ottaa pohjille tuhdin matikan perussetin. Veisin tämän jopa niin pitkälle, että en kutsuisi oikeaksi tieteeksi sellaista, mihin tuollainen setti ei ole hyödyksi.

Tomi kirjoitti...

Suomessa myös yliopistomatematiikka on juuri sitä analyysia.
Suomen matematiikka kantaa Rolf Nevanlinnan perintöä, jote sen vahvuusalue on analyysi.

Lukiomatematiikasta, itse kävin sitä 18-19 kurssia (olin lumalukiossa), ja myöhemmin olen huomannut, ettei siellä oikeata matematiikkaa juurikaan oppinut.

Panu kirjoitti...

käytännön laskuja varten tarvittiin matriisit, ja ne tuntuivat joillain menevän jotenkin ohi.

Count me in. Muistelen, että omat matematiikanopintoni tyssäsivät juurikin matriiseihin.

Tomi kirjoitti...

TM lineaarialgebra on myös hyödyllinen fysiikassa.

Fysiikan operaattorit ovat lineaari kuvauksia.

Tomi kirjoitti...

Pitää vielä huomauttaa, että todennäköisyysteoriaa ei pidä samaitaa tilastotieteeseen.

Todennäköisyysteoria on osa mitta- ja integraaliteoriaa eli reaalianalyysia.

Tilastotiede vain käyttää hyväkseen todennäköisyysteoriaa.

Sidemiete kirjoitti...

Btw. silmukkapainovoimatyyppi John Baez on vaihtanut ilmastotieteeseen.

http://johncarlosbaez.wordpress.com

http://www.azimuthproject.org/azimuth/show/HomePage

Gc kirjoitti...

Tomi:
"Todennäköisyysteoria on osa mitta- ja integraaliteoriaa eli reaalianalyysia."

Ei aivan. Esimerkiksi diskreeteillä todennäköisyyksillä ei ole mitään tekemistä reaalianalyysin kanssa.
Mitan voi määrittää myös monille muille joukoille kuin reaaliluvuille, kuten luonnolliselle luvuille.
Teknisessä mielessä todennäköisyysteoria on minustakin osa mittateoriaa, mutta sen kysymyksen asettelu ja ongelmat ovat tietysti toiset.

Tomi kirjoitti...

Gc, reaalianalyysi käsitteenä pitää sisällään kaiken mittateoria, myös kompleksiset ja abstraktit (myös diskreetit) mitat.
Diskreetti summa voidaan aina kirjoittaa integraalina (esim mittana summa Diracin mitoista).

Teemu kirjoitti...

Eiköhän sen derivoinnin maine vastakohtana aivotoiminnalle johdu ihan vaan siitä että sitä pakkotankataan ylioppilaskirjoituksiin. Jos Suomen opiskelu olisi sitä että opeteltaisiin kielioppisääntöjä ulkoa niin varmaan sitäkin pidettäisiin aivottomien robottien puuhana. :)

Niin ja käytöstapojen idea ei ole manipuloida ihmisiä vaan se että kaikilla olisi kivempaa. Toki kun ihmisillä on kivempaa niin he ovat vastaanottavampia manipulaatiolle.

Gc kirjoitti...

Tomi minusta ei pidä, niillä ei ole sisäkkäinen luokittelu.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_Subject_Classification
Reaalianalyysi perustuu reaaliluvuille. Mutta tämä kaikki on aika epäolennaista semantiikka, jos ymmärrät ettei reaalilukujärjestelmä ole yleisen mitta ja integraaliteorian kannalta mitenkään perustava.
Diskreetti summa voidaan kirjoittaa integraalina R:ssä, totta, mutta se voidaan myös kirjoittaa integraalina N:ssä.

Tiedemies kirjoitti...

Mutta tämä kaikki on aika epäolennaista semantiikka, jos ymmärrät ettei reaalilukujärjestelmä ole yleisen mitta ja integraaliteorian kannalta mitenkään perustava.

No ei tietenkään ole. Eihän sen osajoukoista edes ole sigma-algebraksi...

Tämä on minusta jo vähän diibadaabaa, koska luokittelukin on täysin keinotekoinen. Käsitteethän yleensä opetellaan "ihan väärin päin", eli ei aloiteta joukko-opista ja abstraktista algebrasta, vaan opitaan laskemaan ensin kokonaisluvuilla, sitten rationaaliluvuilla ja jossain vaiheessa kompleksiluvuilla.

Euklidista deduktiivista geometriaa opetetaan kai siksi, että vaikka se on "hyödytöntä", se kehittää kykyä ymmärtää abstraktien käsitteiden loogisia suhteita, ja käsittääkseni on evidenssiä siitä, että sen opettelu on hyödyllistä myöhemmän oppimisen kannalta.

Tiedemies kirjoitti...

Jos Suomen opiskelu olisi sitä että opeteltaisiin kielioppisääntöjä ulkoa niin varmaan sitäkin pidettäisiin aivottomien robottien puuhana.

Hä? Näin sitä meillä lukiossa opetettiin. Meillä oli jokaisessa äidinkielen kurssissa kaksi koetta: yksi itse aiheesta, ja toinen kielioppisäännöistä. Oma kokemukseni todellakin oli se, että äidinkielen - muidenkin kielten - opiskelu on aivottomien robottien touhua.

Gc kirjoitti...

"No ei tietenkään ole. Eihän sen osajoukoista edes ole sigma-algebraksi..."

Mikä tahansa potenssijoukko on aina sigma-algebra, mutta tarkoitat varmaan etteivät ne ole kaikki Lebesgue-mitallisia.

Tiedemies kirjoitti...

Mikä tahansa potenssijoukko on aina sigma-algebra, mutta tarkoitat varmaan etteivät ne ole kaikki Lebesgue-mitallisia.

Joo, sekoilin kun yritin olla vitsikäs.

Tomi kirjoitti...

Gc, jos otat minkä tahansa kirjan, jonka aiheena on reaalianalyysi se sisältää kaiken mittateorian, missä tahansa sigma-algebrassa.

Reaalianalyysi on historiallinen nimi, satakunta vuotta sitten integraaliteoria käsitettiin vain reaaliluvuilla tapahtuvaksi.

Tiedemies kirjoitti...

Tavallaan Tomi on oikeassa, mutta sekin on epäolennaista. Royden on ainoa reaalianalyysin kirja, jonka olen lukenut (oikeasti lukenut, enkä vain "lukenut") ja se on melkein pelkkää mittateoriaa.

Meille "reaalianalyysin" nimellä toisaalta opetettiin lähinnä metristen avaruuksien teoriaa ja pistejoukkotopologiaa. Sitten kun siirryttiin spesifimpiin juttuihin ja operaattoriteoriaan, sitä alettiin nimittää "funktionaalianalyysiksi". Senkin nimi on hiton harhaanjohtava, tai pikemminkin ei kuvaa juttua oikein mitenkään. Joku moniston käsitekin tipahti mukaan täysin vähäisenä juttuna ilman sen kummempaa pohdintaa, vaikka monistot ovat suunnilleen relevanteita tavaraa soveltajille.

Minua hämää oikeassa matematiikassa lähinnä sellainen asenne, että "syvällisyys" on jotain tavoittelemisenarvoista kun taas oikeasti asian ymmärtämistä - sanan sellaisessa merkityksessä kuin ei-matemaatikot sitä käyttävät - väheksytään. Kärsin itsekin tästä taudista monta vuotta, mutta minusta näyttää, että se on vain jonkinlaista ylimielisyyttä. Sillä tunnutaan jotenkin peittelevän sitä tosiasiaa, että valtaosa matemaatikoista on kauhean kiinnostuneita sellaisista yksityiskohdista, jotka näyttävät useimmista maallikosta vähämerkityksellisiltä.

Tarkoitan tässä jotain sellaista, että Fermat'n suuri lause ei näytä sinänsä kovin tärkeältä, mutta siitä tuli lukuteorialle ja laajemminkin algebralle jonkinlainen fetissi.

Luen itseni oikeastaan vain "erittäin oppineeksi maallikoksi" mitä matematiikkaan tulee; vaikka minulla on tutkinnossa pääaineena matematiikka, en ole mikään "matemaatikko", vaikka useimpien alaa tuntemattomien mielestä varmaan sellainen olenkin.

Tiedemies kirjoitti...

Fermat oli tarkemmin ajatellen huono esimerkki, koska se oli fetissi jopa suurelle yleisölle.

Parempia esimerkki voisi olla vaikka Poincaren konjektuuri.

Tomi kirjoitti...

TM osa syy varmaan tuohon yksityiskohtien kanssa nysväilyyn on se, että matematiikka on lähes täysin abstraktia eikä kytkeydy olemassa olevaan maailmaan.

Tuo fetissin omaisuus sopii Poincaren konjektuuriin varsin hyvin, mutta vielä paremmin Riemannin hypoteesiin, se on matemaatikkojen pyhä lehmä.

MariaK kirjoitti...

Tiedemies: Näin sitä meillä lukiossa opetettiin. Meillä oli jokaisessa äidinkielen kurssissa kaksi koetta: yksi itse aiheesta, ja toinen kielioppisäännöistä. Oma kokemukseni todellakin oli se, että äidinkielen - muidenkin kielten - opiskelu on aivottomien robottien touhua.

Kielioppisäännöt ja matematiikan kaavathan voi molemmat joko ymmärtää ja osata tai sitten opetella ulkoa kuin aivoton robotti. ;)

Tiedemies kirjoitti...

Kielioppisäännöt ja matematiikan kaavathan voi molemmat joko ymmärtää ja osata tai sitten opetella ulkoa kuin aivoton robotti.

Kielioppi on teoria siitä, miten kieli toimii. Äidinkielen opetus vielä lukiossa oli kuitenkin sitä, että kielioppi on kielen ominaisuus. Fysiikassa sentään selitettiin jo lukiossa suhteellisuusteorian, Newtonin painovoimalain esimerkein, että fysiikassa teoria on aina abstraktio ja approksimaatio.

Matematiikassahan on kyse näiden abstraktioiden esittämiseen tarvittavista työkaluista. Tämä kytkeytyy Tomin esimerkkiin: Matematiikan sisällä ei ole esitettävissä mitään kytköstä "olemassaolevaan" maailmaan, mutta se ei tarkoita, etteikö matematiikka olisi hyödyllistä.

Tuo ajatus kytköksen puutteesta on esiintynyt perusteluna mm. sille, että matematiikan opetusta pitäisi vähentää, koska "kaikista ei voi tulla matemaatikkoja". Matematiikka on kuitenkin etupäässä ajattelun ja ilmaisun apuväline, hieman samaan tapaan kuin kielet - tätä analogiaa ei kuitenkaan pidä viedä liian pitkälle.

Kari Visala kirjoitti...

Kielioppi on teoria siitä, miten kieli toimii.

Kielioppi on myös normatiivinen.

Teemu kirjoitti...

Hä? Näin sitä meillä lukiossa opetettiin. Meillä oli jokaisessa äidinkielen kurssissa kaksi koetta: yksi itse aiheesta, ja toinen kielioppisäännöistä. Oma kokemukseni todellakin oli se, että äidinkielen - muidenkin kielten - opiskelu on aivottomien robottien touhua.
Oikeesti? Toki kielioppiakin oli, mutta tuo painotus kuulostaa oudolta. Mulla on semmoinen mielikuva että me ollaan suurin piirtein saman ikäisiä. Toisaalta Suomessa opettajilla on lukiossa aika paljon valtaa päättää itse mitä opettaa, ts. opetussuunnitelma on niin maailmaa syleilevä että sen puitteissa vapausasteet ovat suuret.

Antti kirjoitti...

Kari:

Kielioppi on myös normatiivinen.

Kielioppia pidetään nykyään kuvailevana, ei normatiivisena.

Ks. Iso suomen kielioppi: http://scripta.kotus.fi/visk/etusivu.php?s=esipuhe

Tiedemies kirjoitti...

Kielioppi on toki normatiivinen, jos sitä sellaisena käytetään. Mutta ihmiset eivät opi kieltä oppiessaan opi mitään kielioppia, vaan jotain ihan muuta.

MariaK kirjoitti...

Pointtini ei sinänsä mitenkään liittynyt kieliopin luonteeseen, sen suhteeseen kieleen tai asemaan kielen oppimisessa vaan yleisemmin ymmärtämisen kautta syntyvään osaamiseen verrattuna puuduttavaan pinnalliseen pänttäämiseen. Kieliopista voi ymmärtää, miten kielen eri elementtejä ja niiden välisiä suhteita voi tunnistaa, kuvata, nimetä, jaotella ja luokitella. Ilmiöiden ja niiden välisten suhteiden hahmottamisestahan siinä on pohjimmiltaan kyse.

Ari Timonen kirjoitti...

Matematiikka on tärkeää. Otetaan esimerkiksi Sally Clark tapaus. Kuinkahan moni lakimies tai tuomari on koskaan kuullutkaan Bayesin teoreemasta? Matemaaattinen ymmärtämättömyys voi tuottaa jopa ruumiita.

Mutta useissa asioissa matematiikalla on toki aika 'dimnishing returns' eli matematiikka pitää ymmärtää aika paljon ennen kuin voi ymmärtää soveltaa sitä järkevästi. Esimerkiksi (olettaen että ulkoistaminen ei ole mahdollista) kesän autoreissu ympäri Suomea mahdollisimman tehokkaasti on jossain määrin redusoitavissa TSP-tyyppiseksi ongelmaksi, mutta tähän ratkaisun kehittäminen vaati lievästi sanottuna vuosien opiskelua matematiikassa.

Matematiikka on vain yksi asia mikä parantaa "maailmaa". Mutta jotta odotetut hyödyt voidaan suhteuttaa jotenkin kustannuksiin, on meillä hieno keksintö nimeltä hintajärjestelmä. Politiikassa tätä ei ole, mutta se taas onkin sellaista voodootiedettä.

Tarkoitus oli omassakin blogissa mainita jotain Richard von Miseksen suhteesta positivismiin ja todennäköisyyslaskentaan.

Tiedemies kirjoitti...

Maria: Tietenkin noin, en väitä, ettei kielioppia pitäisi opiskella, vaan väitän, että ihmisten suhde siihen olisi terveempi, jos kieliopin ja kielen suhteesta ei valehdeltaisi.

Ari: Tietenkin on niin, että rajahyöty laskee. Kyvystä laskea kymmeneen on enemmän hyötyä kuin kyvystä laskea sataan jne. Bayes on hyvä esimerkki matematiikasta jota ihmiset ylenkatsovat ja joka sivuutetaan jonain ihme nysväyksenä, vaikka se on yksi tehokkaimmista keinoista oman rationaalisuuden lisäämiseen.

Panu kirjoitti...

Tietenkin noin, en väitä, ettei kielioppia pitäisi opiskella, vaan väitän, että ihmisten suhde siihen olisi terveempi, jos kieliopin ja kielen suhteesta ei valehdeltaisi.

Tarkoittanet, että normatiivisen ja deskriptiivisen kieliopin ero pitäisi selittää alusta saakka?

Normatiivinen kielioppi on se, jota opitaan, jotta osattaisiin käyttää standardikieltä. Deskriptiivinen kielioppi on se, joka kuvaa kielen tosiasiallisen käytön riippumatta siitä, kuinka hyvin se on linjassa normatiivisen kanssa.

Näiden kahden ero ei ole aina selvä kielitieteilijöillekään, koska piireissä raivoaa joskus naurettavia muotoja saava sota normatiivisuutta vastaan.