Opitaan laskemaan

Ihmiset oppivat taitoja koko elämänsä, mutta yksi asia jonka käytännössä jokainen oppii jo hyvin varhain on laskutaito. Aikanaan -- en tunne tarkkoja vuosilukuja, enkä viitsi nyt tarkistaa, koska se ei ole olennaista -- ajateltiin että matematiikan opiskelussa olisi syytä oppia hyvin varhain joitain abstraktimpia asioita kuin pelkkä laskeminen, joten lapsille opettiin, ja varmaan vieläkin (joskin vesitetysti) opetetaan jonkin verran joukko-oppia.

Joukko-oppi voidaan esittää lapsille vain intuitiivisesti ja esimerkkien kautta, sillä lapsilla ei ole sellaista koneistoa jolla he voisivat ymmärtää esimerkiksi Zermelo-Fraenkel-joukko-opin aksiomia. Mutta miksi laskeminen on muka jotakin vähemmän abstraktia? Ei se oikeastaan ole, mutta sen ongelmana on että abstraktion esittäminen on vielä vaikeampaa kuin ZF-joukko-opin tms aksiomatisointi.

 Mitä oikeastaan opimme, kun opimme laskemaan? Lähdetään siitä, että pienet lapset oppivat aluksi laskemaan sormillaan. Sormilla laskeminen onnistuu kun ei tarvitse laskea yli kymmeneen. Sivuutetaan tämä problematiikka nyt hetkeksi. Lukija voi ajatella joko niin, että meillä on tarvittaessa enemmänkin sormia (esim varpaat jne) tai niin, että emme käytännössä ainakaan vielä kohtaa mitään tilannetta jossa sormia tarvittaisiin enemmän.

Sormilla laskiessamma voimme esimerkiksi osoittaa yhdellä sormella jotakin laskettavan joukon (ja kyllä, se on joukko) alkiota ja laittaa tämän alkion sivuun, ja nostaa sitten kyseisen sormen pystyyn sen merkiksi, että olemme huomioineet sen. Jos meillä on esimerkiksi pussillinen karkkia, voimme laskea ne ottamalla pussista aina karkin kerrallaan ja nostamalla pystyyn sormen joka aiemmin oli koukussa. Kun pussi on tyhjä, näemme mitkä sormet ovat pystyssä, ja tämä kertoo meille, montako karkkia pussissa oli.

Tämä on jo hyvin abstrakti lähestymistapa, vaikka ne näyttää äkkiseltään "lapselliselta". Ensinnäkin, lapsikin huomaa että ei ole lainkaan väliä, missä järjestyksessä karkit otetaan pussista, eikä myöskään sillä, mitä sormia käytetään. Esimerkiksi, on merkityksetöntä, laskemmeko "ykkösen" peukalolla, etusormella, vai peräti pikkusormella.

Tässä kohtaa on syytä pysähtyä, koska tämä on oikeasti syvällinen havainto. Peruutetaan taaksepäin niin paljon, että oletetaan että meillä on vain YKSI sormi, ensimmäinen. Voimme edelleen laskea, mutta vain kovin vähän; näemme, että jos otamme pussista karkin, sormi nousee pystyyn. Jos karkkia ei ole, pussissa ei ole karkkia. Lisäksi jos käy niin, että jos pussissa on karkkia vielä kun sormi on pystyssä, havaitsemme että sormet loppuivat kesken. Kun sormia sitten on enemmän, niin tämä kesken loppuminen ei ole ongelma, ennen kuin karkkeja on liikaa.

Huomaamme että karkkipusseja on kolmenlaisia: Niitä, joita laskettaessa sormia jää käyttämättä, niitä joissa jokainen sormi nousee pystyyn, sekä niitä, joissa sormet loppuvat kesken. Sormilla ja (erilaisilla) karkkipusseilla on aina jokin näistä kolmesta suhteesta voimassa.

Eräs laskemisen sovellus, jota lapset käyttävät mielellään, ja etenkin jos heillä on sisaruksia, on sen toteaminen, onko toisella yhtä paljon karkkia kuin minulla. Tämän voi hoitaa siten, että laskemme minun karkkini (esim kuusi sormea) ja kaverin karkit (seitsemän sormea) ja toteamme, että kaverilla oli enemmän. Mutta hetkinen; mistä me tiedämme että kaverilla oli enemmän karkkeja? Me tiedämme tämän itse asiassa siitä, että jos otamme käyttöön ne sormet, joilla minä laskin omat karkkini (emmekä mitään muuta), niin kaverilla on karkkeja liikaa. Aivan kuten edellä, jos yritämme laskea kaverin karkit niillä sormilla joilla laskimme omat karkkimme, sormemme eivät riitä.

On kuitenkin toinenkin tapa, ja se toimii vaikka sormia ei olisi ensinkään riittävästi; nykyisin nimittäin karkkipussit ovat aika suuria, ja niissä on usein enemmän karkkia kuin sormilla pystyy laskemaan. Tämäkin tapa on yksinkertaisehko: Sormien sijaan käytän laskemiseen omia karkkejani. Jos omat karkkini riittävät kaverin karkkien laskemiseen, olen tyytyväinen, mutta jos omat karkkini eivät riitä, niin se on epistä. (Tai epääää, kuten nykyajan lapset sanovat).

Jos joukon A -- nämä olkoon minun karkkejani -- alkiot "riittävät" joukon B alkioiden laskemiseen, niin tämä tarkoittaa että me voimme ottaa kaikki joukon B alkiot ja jokaiselle niistä voidaan antaa oma alkio joukosta A. On aivan sama, mikä A:n alkio nimetään millekin B:n alkiolle, lopputulos on sama. Sitä tapaa jolla B:n alkioon liitetään jokin A:n alkio nimitetään injektioksi tai injektiiviseksi kuvaukseksi joukolta B joukolle A. Jos tällainen injektio on olemassa, niin joukossa A on "riittävästi" alkioita; joukossa A on siis, arkikielen tasolla "vähintään yhtä monta" karkkia kuin joukossa B.

Jos meillä on injektio B->A ja injektio A->B, niin joukoissa on yhtä monta alkiota. Tällöin alkioille on puolin ja toisin tasan yksi "pari". Ja tässä kohtaa ei ole lainkaan merkitystä sillä, miten alkiot on paritettu, vaan ainoastaan sillä, että tällainen kuvaus voidaan löytää. Jos injektio (kummin tahansa päin) liittää jokaiseen A:n alkioon yhden B:n alkion ilman että mitään jää yli, sanomme että se on bijektio. Bijektio voidaan ajatella parituksena, eli voidaan muodostaa (jäännöksettä) joukko pareja niin, että toinen pari on joukosta A ja toinen joukosta B.

Kun lapsi sormilla laskiessaan huomaa, että sormien järjestyksellä ei ole väliä, hän löytää abstraktion, eli sen, että itse kuvauksella ei ole merkitystä, vaan sen bijetiivisyys-ominaisuudella, itse asiassa lapsi etsii sellaisen sormien osajoukon, että kuvaus on bijektio.  Ei ole väliä, mitkä sormet ovat pystyssä, tai missä järjestyksessä ne on nostettu pystyyn; eri sormien joukotkin ovat keskenään saman suuruisia jos niillä lasketaan saman suuruisia joukkoja. Jos esimerkiksi pussissa on viisi karkkia, niin on aivan sama käytämmekö vasemman vai oikean käden sormia. Ja lisäksi huomaamme, että vaikka karkkeja ei olisi ensinkään, voimme laskea vasemman käden sormet oikean käden sormilla, ja toisin päin.

Aivan samaan tapaan, voisimme käyttää mitä hyvänsä viiden alkion joukkoa, ja löytäisimme bijektion. Näissä joukoissa on siis jotain samaa jollakin äärimmäisen abstraktilla tasolla. Meillä on sille nimi "sama lukumäärä", mutta sama lukumäärä tarkoittaa hyvin konkreettisella tasolla tuollaisen bijektion olemassaoloa. Bijektion käsite itseasiassa sitoo äärimmäisen abstraktin asian empiriaan: Me voimme koska hyvänsä löytää empiirisesti jonkin näistä bijektioista ja tämän jälkeen todeta että kyseinen bijektio kuuluu siihen äärimmäisen laajaan kuvausten kategoriaan johon kuuluvat kaikki bijektiot viiden alkion joukkojen välillä.

Bijektion olemassaolo on esimerkki ekvivalenssirelaatiosta joukkojen välillä. Ekvivalenssirelaatiolle on olennaista kolme ominaisuutta: Ensiksikin,  sen pitää olla refleksiivinen. Tämä tarkoittaa että joukossa itsessään täytyy olla saman verran alkioita kuin siinä on. Tämä kuvaus on tietysti triviaali löytää, sillä kuvaus joka asettaa jokaisen alkion omaksi parikseen on tietenkin bijektio. Toisekseen, sen pitää olla symmetrinen, eli jos joukossa A on sama määrä alkioita kuin joukossa B, niin myös joukossa B on sama määrä alkioita kuin joukossa A. Bijektiossa olevat parit voidaan lukea kummin tahansa päin, ne silti parittavat joukon A ja B alkiot keskenään jäännöksettä. Kolmas ominaisuus on transitiivisuus: Jos joukossa A on sama määrä alkioita kuin joukossa B, ja joukossa B sama määrä kuin joukossa C, niin myös joukossa A on sama määrä kuin joukossa C. Tämäkin onnistuu, koska vaihtamalla A-B- parista A:n alkion pariksi sen alkion joka on B-C- parissa, saamme A-C parin.

Luonnollisten lukujen joukko tässä kohtaa on vain kaikkien tällaisten bijektioiden luokka. Me voimme toki formalisoida ne muillakin tavoilla, mutta abstraktio "viisi" on oikeastaan vain bijektio annetun joukon ja (toisen käden) sormien välillä.

Entä sitten laskeminen merkityksessä "1 +2  = 3"?  Lähdetään siitä, että yksinkertaisin karkkipussi tässä suhteessa on tyhjä karkkipussi. Me emme yksinkertaisesti voi nostaa ensimmäistäkään karkkia tyhjästä karkkipussista. Jos me otamme kaksi karkkipussia, joista toinen on tyhjä, emme tarvitse enää yhtään sormea.  Meillä ei ole ainuttakaan kuvausta joka kuvaisi tyhjän karkkipussin miksikään, koska ei ole mitään mikä olisi minkään pari. Merkitään symbolilla "0" tätä triviaalin karkkipussin sisältöä, ja sitä vastaa nyrkki, josta ei olen ostettu yhtään sormea jne. Tämän voidaan ajatella olevan kaiken laskennan lähtökohta.

Kun sitten alamme muodostaa bijektiota (eli laskea), voimme koska tahansa keskeyttää laskemisen. Jo laskettujen alkioiden joukko ja vielä laskemattomien joukot ovat pistevieraat, eli niissä ei ole yhteisiä alkioita; jokainen alkuperäisen karkkipussin karkki on joko otettu ulos tai ei ole otettu. Kun keskeytämme laskennan, niin meillä on kaksi joukkoa, jotka voimme laskea erikseen. Jälleen kerran, ei ole väliä mitkä alkiot oli otettu kun laskenta keskeytettiin, ainoastaan sillä, miten pitkälle oli päästy. Ja jos alkioita on vielä jäljellä, niin kumpikin joukko on pienempi kuin alkuperäinen.

Jos meillä on neljä joukkoa, A, B, C ja D, siten että A ja B ovat pistevieraita, samoin C ja D, ja meillä on bijektiot A-> C ja B->D, niin meillä on myös bijektio A:n ja B:n yhdisteeltä C:n ja D:n yhdisteelle. Tämä bijektio saadaan helposti, koska voidaan vain ottaa parit bijektioista sellaisenaan. Näin saatu bijektio kuuluu johonkin ekvivalenssiluokkaan; jos bijektio A->C kuului luokkaan "x" ja bijektio B->D luokkaan y, niin tämä uusi yhdistelmäbijektio kuuluu luokkaan x+y. Luonnollisesti, jos y (esimerkiksi) on 0, niin x+y on sama kuin x.

Kertolasku on hivenen hankalampi, muttei oikeasti kauhean paljon vaikeampi. Jos meillä on useita samankokoisia joukkoja, voimme "laskea" näiden alkioiden sijaan näiden joukkojen määrän. Esimerkiksi, jos meillä on viisi karkkipussia (laskemme nämä sormilla), joista jokaisessa on kaksi karkkia (nämäkin laskettu sormilla), niin meillä on nyt kaksi luokkaa, "viidet" ja "kahdet". Montako karkkia tällöin on?

Laitetaan nämä bijektiot pussiin; nyt meillä on siis pussillinen bijektiota karkkien sijaan. Aina kun otamme pussista bijektion, saamme karkkeja sitä vastaavan kategorian verran (tässä siis kaksi).  Muistetaan, että voimme keskeyttää tämän (bijektioiden) laskennan koska tahansa. Kun olemme laskeneet a bijektiota, niin jäljellä on b bijektiota, siten että "pussissa" oli y = a + b bijektiota (esimerkissämme y = 5). Koska jokainen bijektio on "samaan suuruinen", olkoon se vaikkapa x (esimerkissämme 2), niin meidän tulisi saada joka kerta sama määrä karkkeja. (Tämä voidaan toki empiirisesti todeta, eli jos keskeytämme laskemisen jossakin kohtaa, ja jatkamme sitä alusta, niin saammeko saman tuloksen?)

Kertolaskun pitäisi siis toimia niin, että (a+b)*x on sama, riippumatta siitä, mitä a ja b ovat, kunhan a+b = y. Aivan erityisesti, jos laitamme bijektiot kahteen eri pussiin, meidän pitäisi saada (a+b)*x = a*x + b*x, sillä molemmissa pusseissa on samanlaisia bijektioita. Aivan erityisesti, jos b = 0, niin meidän pitäisi saada että 0*x = 0, koska muutoin tämä samansuuruus ei päde; Jos olemme laskeneet jo a*x alkiota, niin yhtään ei pitäisi olla jäljellä; jos meillä on a*x sormea, niin sormet jotka riittivät  (a+0)*x:n laskemiseen eivät riitä a*x + 0*x:n laskemiseen, jos 0*x ei ole nolla.

Toisaalta, jos meillä on aluksi pussilinen bijektioita (viisi kahden karkin pussia!) niin täytyisi jotenkin myöskin perustella että tässä olisi sama määrä karkkia kuin kahdessa viiden karkin pussissa. Tässä kohtaa voimme laskeakin asian "takaperin". Laitetaan pussit riviin ja muodostetaan uudet pussilliset seuraavalla tavalla: Yksi pussi muodostetaan niin, että otetaan vuorollaan jokaisesta pussista  yksi alkio. Tässä siis käytetään se määrä sormia, joka kertoo montako karkkia kussakin pussissa oli (2). Jos johonkin pussiin jää enemmän karkkia tai jostakin loppuu kesken, niin emme olleet alunpitäenkään ottaneet samankokoisia karkkipusseja, joten voimme olettaa että näin ei tapahdu. Meillä on siis yhdessä pussissa yhtä monta karkkia kuin pusseja oli (5) ja pusseja taas on nyt yhtä monta kuin alkuperäisia karkkeja (2).  Täytyy siis jotenkin olla niin, että x*y = y*x.

Otetaan yksi tärkeä luku luvun 0 lisäksi, ja se on pienin pussi jossa on jotain. Eli sellainen joka ei ole tyhjä, mutta  josta on injektio mihin tahansa ei-tyhjään pussiin. Nimitetään tällaisten joukkojen välisten bijektioiden luokkaa luvuksi 1.  Eli, jos meillä ylipäätään on karkkipussi, niin vaikka laittaisimme tämän karkkipussin tyhjään pussiin, karkkeja on edelleen saman verran: 1*x = x.

Ja niin edelleen.