Mallit vol 2.

Moni käsittää logiikan jonkinlaisena kaavojen manipulaationa, jolla ei ole sen kummempaa merkitystä. Puhtaan formalistisessa mielessä näin onkin, mutta tämä ei ole koko totuus. Joskus aikanaan käsittelin kirjoituksissani runsaasti operationalisoinnin käsitettä. Operationalisoinnilla tarkoitetaan karkeastiottaen sitä, että kun meillä on jokin teoria, niin teorian käsitteet kytketään havaittavissaoleviin suureisiin tai tapahtumiin, jonka jälkeen voimme ikäänkuin verrata teorian ja todellisuuden käyttäytymistä.

Logiikassa operationalisoinnin vastine on mallin käsite. Malli loogisessa mielessä ei suinkaan tarkoita mallia siinä mielessä kuin esimerkiksi "pienoismalli" tai "mallinnos", vaan kyse on pikemminkin loogikkojen kummallisesta huumorintajusta: Malli on struktuuri jonka käsitteistöön logiikan symbolit operationalisoidaan; se on siis pikemminkin ns todellisuuden vastine. Filosofisemmat loogikot puhuvatkin toisinaan "maailmoista", mitä pidän hieman turhan juhlavana. Malliteorialla tarkoitetaan sitä matemaattisen logiikan osa-aluetta, joka tutkii sitä, miten eri mallien "ominaisuudet" riippuvat loogisten konstruktioiden ominaisuuksista.

Craig:n interpolaatio on yksinkertainen lause joka pätee ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Yksinkertaisesti ilmaistuna se tarkoittaa sitä, että jos loogisesti pätee, että A:sta seuraa B, niin on olemassa kaava C siten, että C on seuraus A:sta ja B on seuraus C:stä, ja C ottaa kantaa vain niihin asioihin jotka ilmenevät sekä A:ssa että B:ssä. Interpolaatioteoreemasta voidaan johtaa myös sellainen mielenkiintoinen teoreema, että jos väittämä "A ja B" on ristiriitainen, niin voidaan löytää välikaava C siten, että C on seuraus A:sta, "C ja B" on ristiriitainen, ja C viittaa vain niihin asioihin jotka ilmenevät sekä B:ssä että A:ssa. Malliteoreettisesti voidaan ajatella tämä niin, että kaavalla A on jotain malleja, kaavalla B on jotain muita malleja; koska "A ja B" on ristiriita, niillä ei ole yhteisiä malleja. C:n voi ajatella rajaukseksi, joka sulkee pois tarkalleen ne mallit jotka ovat B:n malleja, eikä mitään niistä malleistä jotka ovat A:n malleja: koska C on A:n seuraus, niin jokainen A:n malli on C:n malli ja koska C ja B ovat ristiriitaisia, niin mikään C:n malli ei ole B:n malli. Koska C ottaa kantaa vain niihin käsitteisiin jotka ilmenevät sekä A:ssa että B:ssä, se ei rajaa pois malleja jotka eivät jollakin tapaa "liity" B:hen.

Interpolaatioteoreema ei vaikuta kovin syvälliseltä kun sitä tutkii tarkemmin. Itseasiassa sama pätee matemaattisessa logiikassa noin ylipäänsä: Kun jonkin tuloksen ymmärtää todella, niin päällimmäinen kokemus ei ole juuri koskaan että asia on syvällinen, vaan käytännössä kaikki todistukset ovat puhtaasti "teknisiä". Yksi esimerkki tällaisesta tuloksesta on Herbrandin teoreema, joka voidaan muotoilla monella eri tavalla, mutta joka periaatteessa palauttaa ensimmäisen kertaluvun logiikan propositionaaliseksi päättelyksi. Jotta teoreeman voi ymmärtää, tarvitaan hieman pohjustusta. Sivuutan tässä muutamia yksityiskohtia ja olen hieman epätäsmällinen - yritän keskittyä olennaiseen.

Jokainen suljettu predikaattilogiikan kaava voidaan esittää ns klausaalisessa muodossa, eli joukkona klausuuleja joissa ei esiinny kvanttoreita. Jos kaava ei ole tässä muodossa, se voidaan siihen saattaa: Kaikki kvanttori siirretään kaavan eteen, tarvittaessa uudelleennimeämällä muuttujat. Tämän jälkeen olemassaolokvanttorit poistetaan Skolemisoinnilla. Kvanttorivapaa osa kaavasta saatetaan Konjunktiiviseen normaalimuotoon. Tämän lisäksi täytyy ymmärtää niin sanottu ground instanssin käsite.  Ground termi on termi, jossa ei esiinny muuttujia, vaan ainoastaan funktioita ja vakioita; ground term on termi jonka arvo periaatteessa aina tunnetaan (kun malli on tiedossa).  Kaavan kvanttorivapaassa osassa on predikaatteja joissa on vapaita muuttujia, siis esimerkiksi muotoa P(x).  Ground instanssi tästä on esimerkiks P(f(a)) missä a on jokin vakio.

Herbrandin teoreema sanoo, että mielivaltainen joukko klausuuleja on ristiriitainen jos ja vain jos siitä voidaan ottaa äärellinen joukko ground instansseja siten, että se on puhtaasti syntaktisesti ristiriitainen; siis niin, että kukin syntaktisesti erilainen ground instanssi tulkitaan omaksi propositiosymbolikseen ja kaavaa kohdellaan tämän jälkeen kuten propositiologiikan kaavaa yleensäkin. Kyseessä on siis puhtaasti merkkijonomanipulaatioon perustuva kikka.

Herbrandin teoreema perustuu siihen, että jokaisella klausaalimuodolla jolla ylipäänsä on malli, on olemassa niinsanottu Herbrandin malli. Herbrandin malli on puhtaasti syntaktinen konstruktio. Se rakennetaan niin, että yksinkertaisesti oletetaan että jokainen symbolinen esitys ground termeille on mallissa esiintyvä oma alkionsa. Herbrandin mallit ovatkin tyypillisesti äärettömiä, koska ground termejä on ääretön määrä jos kaavassa on yksikin funtiosymboli. Koska skolemisointi tuottaa funktiosymboleja, niin niiden kaavojen joukko joille Herbrandin malli on äärellinen, on hyvin pieni.