Haarautuvien polkujen puutarha.

Asun jalkapallokentän vieressä. Kenttä ei ole valaistu, mutta sinne johtaa lyhyt valaistu tie, joka syksyisin peittyy lehtiin. Tie nousee ylöspäin, ja juuri ennen kentän laitaa siinä on portti. Portin takana avautuu aamuisin ja iltaisin näin syksyllä ja sydäntalvella lähes täydellinen pimeys, koska tietä kävellessä silmä mukautuu melko kirkkaisiin katuvaloihin. Tänä aamuna sää oli erityisen sumuinen niin, että porttia tuskin erottui tien toisesta päästä. Puiden reunustama, lehtien peittämä ja pimeyden ympäröimä valaistu tie, joka päättyi pimeyteen avautuvaan porttiin oli kuin jonkinlainen itse elämän metafora.

Kirjoitin aiemmin havaintoekvivalenssista. Kuten totesin operationaalisen semantiikan ihmisille "havaintoekvivalenssi" merkitsee haarautuvan ajan (asiaa on käsitelty myös kaunokirjallisuudessa) semantiikkaa. Ja kuten todettu, tämä on arkipäivän operationalisoinnissa niin hienojakoinen ekvivalenssi, että tarkalleen samoihin havaintoihin voidaan sovittaa useita eri ekvivalenssiluokkia.

Käytännössä siis niin, että vaikka kaksi järjestelmää olisi "oikeasti" erilaisia havaintoekvivalenssin mielessä, meillä ei yksinkertaisesti ole mitään keinoa niiden erottelemiseen toisistaan, jos ne on suljettu ns. mustan laatikon sisälle. Lineaarisen ajan semantiikat pyrkivät korjaamaan tämän asian, eli niissä ekvivalenssiluokkien rajat noudattavat oikeasti havaittavissaolevia eroja.

Probabilististen järjestelmien osalta olen siis tutkinut MDP-mallien reduktiota niin, että havaintoekvivalenssi säilyy. Viime viikolla jättämäni paperi käsitteli MDP:n redusoimista kahdella eri tavalla, säilyttäen kuitenkin haarautuvan ajan ekvivalenssin. Oxfordin ryhmän kanssa tekemäni tutkimus taas käsitteli erästä toista reduktiota, jossa säilytetään eräs melko suppea lineaarisen ajan ominaisuusluokka, eli ns. terminaaliset turvallisuusominaisuudet reiluusoletusten vallitessa.

MDP-mallit esitetään usein kompositionaalisesti, eli kokoelmana prosesseja, joiden tapahtumat siirtävät informaatiota mallien välillä synkroinoimalla keskenään. Tällöin toimitaan mallinnettaessa esimerkiksi järjestelmää, jossa on rinnakkaisuutta, tai usean eri toimijan keskinäistä vuorovaikutusta. Otan esimerkiksi hyvin hyvin yksinkertaisen mallin, joka on tuttu jalkapallokisojen pelinavauksesta. Meillä on kolme pelaajaa: Tuomari ja kaksi kapteenia. Tuomari heittää kolikon, ja jompi kumpi kapteeneista sanoo "kruuna" tai "klaava", ja tuomari paljastaa kolikon, ja jos arvaus on oikein, pelaaja "voittaa" pelin.

Järjestelmässä on kaksi epädeterminististä aspektia: se, kumpi pelaajista sanoo jotain, ja se, mikä kolikonheitto on. Pelaajien sanomiset voidaan mallintaa niin, että toinen pelaaja (olkoon hän "A") sanoo aina "kruuna" jos vain ehtii, ja toinen pelaaja (olkoon hän "B") sanoo "klaava", jos ehtii ensin. Mallinnamme vain kolikon heiton todennäköisyyden avulla, se on 50/50, eli kolikko on "reilu".

Pelaajien MDP on yksinkertainen. Pelaaja voi alkutilassaan kuulla toisen sanovan jotain, jolloin pelaaja itse lukkiutuu, tai sitten pelaaja voi itse sanoa oman arvauksensa, jolloin hän lukkiutuu myös. Nämä ovat symmetrisiä; informaatio liikkuu puhuvalta pelaajalta sille, joka ei ehtinyt sanoa mitään, ja kun jompi kumpi puhuu, molemmat ovat sen jälkeen hiljaa.

Kolikon MDP on myös yksinkertainen: Se ottaa vastaan tiedon, että se on heitetty, ja menee 50/50-todennäköisyydellä kahteen eri tilaan; toisessa se ilmoittaa olevansa "kruuna" ja toisessa "klaava".

Tuomari taas voi kuulla pelaajien arvauksen (vain toisen) ja heittää kolikon ja ottaa vastaan sen tiedot. Jos arvaus ja kolikonheitto ovat samat, niin tuomari julistaa voittajan, jos ne ovat eri, niin tuomari julistaa häviäjän. Ei muuta.

Epädeterminismi, erityisesti se, missä järjestyksessä eri tapahtumat tapahtuvat, täytyy ratkaista. Tätä varten meillä tarvitsee olla skedulointi (en huijaa, tätä termiä käytetään suomessakin, pahoittelen sitä). Skedulointistrategioita on yhtä paljon kuin tapahtumien mahdollisia permutaatioita; tämä määrä on hurja, ei siitä sen enempää. Ns. reilut skedulerit eivät viittaa tässä pelin sääntöjen noudattamiseen, vaan syklisten prosessien osalta siihen, että skeduloija loputtomiin laita yhtä prosesseista pyörimään.

Tässä yhteydessä kompositionaalisuudella ja siihen liittyvällä abstraktiolla on eräs ongelmakohta, joka on (toistaiseksi) luonteeltaan mallinnosfilosofinen pikemmin kuin tekninen. Nimittäin, reilujen skedulerien joukossa on sellaisia, jotka ovat kaikissa mielekkäissä tapauksissa terveen järjen vastaisia. Esimerkkimme pelissä tällainen skeduleri toimisi niin, että se laittaisi tuomarin heittämään kolikon, ja sitten pakottaisi juuri sen pelaajan tekemään arvauksen, joka olisi arvannut väärin.

Tyypillisesti erilaisten lopputulosten todennäköisyyksistä annetaan minimaalinen ja maksimaalinen kaikkien reilujen skedulerien yli. Valitettavasti se on tässä yhteydessä nolla ja yksi; skeduleri voi yksinkertaisesti päättää pelin lopputuloksen, koska sillä on ikäänkuin liikaa informaatiota.

Haarautuvan ajan semantiikassa tätä ongelmaa ei tunnusteta, eikä sitä reduktioissa ole, koska haarautuvan ajan semantiikka voidaan ikäänkuin tuoda suoraan aina todennäköisyyksien maailmaan: jokainen kohta, jossa järjestelmä voi tehdä valinnan, vaikka sitten tavalla, jota on täysin mahdoton havaita tai johon mahdoton vaikuttaa, säilyy. Lineaarisen ajan semantiikassa sensijaan haarautumista ei voi varsinaisesti havaita, emme voi havaita jonkun tapahtumaketjun päässä, olisiko se voinut tapahtua toisin; jos meillä on tapahtumaketju "abcd" ja tapahtumaketju "abef", emme tiedä, tapahtuiko haarautuminen tapahtuman "a" vai tapahtuman "b" jälkeen.

Tämä synnyttää lineaarisen ajan reduktiolle ongelman: perinteiset lineaarisen ajan reduktiot eivät sellaisenaan säilytä näitä "epärehellisten" skedulereiden minimaalisia ja maksimaalisia strategioita. Sellaisenaan sovellettuna lineaarisen ajan reduktio laittaisi joko kolikonheiton tai kolikon valinnan ensin, ja tapahtumaketjun ajateltaiisin johtavan aina voittoon tai tappioon todennäköisyydellä 50/50. Tämä onkin ns. tervejärkinen tulkinta tässä tapauksessa, mutta onko se sitä yleisessä tapauksessa? Eli onko tämä keissi vain ad hoc- esimerkki, vai onko taustalla jokin syvällisempi teoreettinen tulos? Alunperin ongelma ratkaistiin pakottamalla ylimääräinen ehto: jos teemme reduktion, todennäköisyyksiä sisältäviä valintoja ei voi lykätä kauemmas tulevaisuuteen kuin sellaisia valintoja, jotka skeduleri joutuu tekemään. Eli, jos meillä on probabilistista haarautumista, sen pitää manifestoitua ennen kuin skedulerin on pakko tehdä valintansa. Näin skedulerille jää mahdollisimman vapaat kädet. Mutta miksi näin pitäisi tehdä, ja onko tämä muka tyydyttävä mallinnosfilosofisesti? Onko tämä yleisesti pakko tehdä, vai onko jokin keino karakterisoida skedulerit paitsi klassisen prosessireiluuden, myös tämän hajautetun informaation suhteen?

Ongelma on osittain itseasiassa ratkaistu. Tunnistamalla ns. hajautettujen skedulerien luokka, voidaan ikäänkuin turvallisesti puhua reduktiosta perinteisessä mielessä; ehto ei enää pakota lykkäämään kaikkia skedulerien valintoja, vaan ainoastaan ne, jotka tehdään yksittäisen prosessin sisällä. Koska tuomari ei ole aloitteellinen pelaajien valinnoissa, tuomarin toimintaa ohjaavan skedulerin ei tarvitse lykätä pelaajien ilmoituksia tulevaisuuteen, vaan tuomari voi heittää kolikon vasta kun pelaajat ovat ilmoittaneet valintansa. Koska informaatio kolikon tilasta ei "vuoda" pelaajille näiden rehellisten skedulerien luokassa, voimme ikäänkuin säilyttää pelin hengen.

En malta olla tekemättä tässä eräänlaista naturalistiseen filosofiaan liittyvää tulkintaa, ja esittää kysymystä: onko esimerkiksi EPR-"paradoksi" ilmaistavissa tässä formulaatiossa? En tunne fysiikkaa riittävän yksityiskohtaisesti, mutta minua silti kiinnostaa asia, koska MDP tai jokin vastaava probabilistinen malli - esimerkiksi CTMC - voidaan esittää aivan vaivattomasti esimerkiksi jonkin fysikaalisen hiukkasen mallina, ja se voidaan operationalisoida. Näkymä on tietenkin kovin abstrakti, mutta yhtä kaikki kysymys on: voidaanko ns. fysikaalinen todellisuus mallintaa tyhjentävästi lineaarisen ajan semantiikalla, vai vaaditaanko haarautuvan ajan semantiikkaa? Toisin kuin moni kuvittelee, tämä kysymys, vaikka luonteeltaan viime kädessä matemaattinen ja fysikaalinen, on kuitenkin myös hengellinen kysymys.