Kuplista

Tämän kirjoitushetkellä Bitcoinin hinta on $16615.81, eli noin 15k€. En ota varsinaisesti kantaa siihen, onko Bitcoinin hinta "liian korkea". Moni epäilee näin, sillä sen arvo on noussut huimasti viimeisen vuoden aikana. Hiukan suoraksi mutkia vetäen, sen hinta on noin 16-kertaistunut vähän alle vuodessa. Alaspäin arvioiden, hinnan tuplaantumisväli on ollut noin kolme kuukautta, mutta syyskuusta alkaen nousu on nopeutunut.

Myönnän että olen hivenen harmissani. Noin vuosi sitten eräs internet-tuttavani pyysi minua bulvaaniksi hankkimaan hänelle muutamalla sadalla eurolla bitcoinia, ja sain muutaman kympin välityspalkkiota. Silloin ajattelin että voisin muutaman satasen ihan huvin vuoksi sijoittaa Bitcoiniin ja katsoa mitä tapahtuu. En kuitenkaan koskaan saanut aikaiseksi. Jos olisin tuolloin ostanut suunnittelemani 200 euron edestä Bitcoinia, sen arvo olisi nyt noin 4000€, eli noin 20-kertainen, sillä hinta oli tuolloin noin 800 euron paikkeilla per bitcoin. 

Eräs toinen tuttavani kertoi että hän ei varsinaisesti ole sijoittanut BC:iin, mutta omistaa sitä pienen määrän ja myy pois tipoittain sitä mukaa kun sen hinta nousee. Tämä sai minut miettimään asiaa laajemmin eräänalaisena sormiharjoituksena.

Oletetaan että meillä on jokin varallisuuden laji, esimerkiksi bitcoin tai jokin osake tms. Oletetaan että tiedämme että sen hinnassa on meneillään kupla. Nyt on syytä hieman huomauttaa rahoituksen teoriasta ja yleisemmin markkinataloudesta. Nimittäin, on melko tavallista olettaa ns. Efficien Market Hypothesis, tai ainakin jokin sen muoto. EMH:n variantteja tunnetaan myös nimellä "No money on the Table",  tai TANSTAAFL (there ain't no such thing as a free lunch). Nämä kaikki sanovat tavalla tai toisella, että vapailla markkinoilla ei ole mahdollista tehdä helppoja voittoja myymällä ja ostamalla.

Kirjoitan EMH:n tahallani tuolla tavalla, sillä se voidaan ymmärtää monella tavalla lähtökohtaisesti. Vahvin EMH:n muotoilu on että "vapailla markkinoilla kaikki hinnat ovat aina oikeita". Tämä siis tarkoittaa että kaikki tieto joka on julkista, on hinnoissa mukana niin, ettei esimerkiksi aitoja kuplia voi syntyä ilman että vallitsee yleinen väärinymmärrys,  tai joku huijaa tai pimittää informaatiota. Tämä vahvin muotoilu on uskoakseni väärä, koska on helppo osoittaa peliteoreettisesti että voi syntyä tilanne jossa kaikki uskovat että jonkin tietyn arvopaperin hinta on liian korkea mutta riittävän monet myös uskovat että se vielä nousee jonkin verran; Tällöin meneillään on eräänlainen mustapekka-peli, jossa ihmiset lyövät vetoa siitä, koska kupla puhkeaa, tietäen että se puhkeaa ennen pitkää.

En väitä nyt, että Bitcoinin kohdalla kyse on tästä. Koko Bitcoin-markkinan arvo on tällä hetkellä 281 miljardia dollaria. Tämä ei globaalin valuutan kokonaisarvona ole kovin suuri. Mutta se on paljon rahaa, joten on ymmärrettävää jos moni uskoo että BC romahtaa jossain vaiheessa esimerkiksi kymmenesosaan (tai alle) nykyisestä.

Tehdään yksinkertaisehko malli. Oletetaan että meillä on kupla, joka alkaa paisua ajanhetkellä t=0. Alussa arvopaperin hinta on 1 yksikkö, ja hinta kasvaa eksponentiaalisesti tahtia e^(ta), missä a on jokin positiivinen vakio. Käytännössä niin, että t_d = log(2)/a on arvon tuplaantumisaika, eli a = log(2)/t_d Esimerkiksi jos oletamme että BC tuplaantuu kolmessa kuukaudessa (eli 1/4 vuodessa), niin a on noin 2.77.

Kupla kestää jonkin aikaa, mutta emme tiedä kuinka kauan; oletetaan että kupla puhkeaa äkillisesti ja arvo putoaa nollaan. Oletetaan lisäksi että markkinahinta on hivenen kohinainen, eli hinnassa on kohinatermi joka aiheuttaa pieniä laskuja ja nousuja lyhellä välillä, mutta niistä ei tarvitse välittää tässä analyysissä. Oletamme siis, että kun t kasvaa, e^(ta) on koko ajan parempi approksimaatio suhteellisesta hinnasta ajanhetkellä t verrattuna ajanhetkeen 0 (jolloin hinta on 1). Kuplan puhkeamisen ajankohta olkoon b, ja oletamme että se tapahtuma joka on olennaisilta osin poisson-jakautunut mutta emme tunne sen jakaumaa.  Olennaista on vain se, että emme voi päätellä puhkeamisen ajankohtaa siitä, kauanko aikaa on jo kulunut.

Puhkeamisen ajanhetkellä arvopaperin arvo on siis e^(ba), mikä on siis maksimaalinen arvo. Paras sijoitusstrategia olisi tietenkin se, että ostaisi paperin hetkellä t=0 ja myisi sen ajanhetkellä t=b-epsilon, eli mahdollisimman lähellä puhkeamisen ajankohtaa. Emme kuitenkaan tiedä puhkeamisen ajankohtaa, joten emme voi varautua tähän.

Oletetaan että voimme joka ajanhetki myydä (tai ostaa) kyseistä arvopaperia ilman transaktiokustannuksia mielivaltaisen pienissä erissä. Tämä oletus on toki vahva, mutta tutkitaan sitä nyt jotta saadaan jonkinlainen kuva asiasta.. Oletetaan lisäksi että ajanhetkellä t=0 pidämme hallussamme yhtä yksikköä arvopaperia, ja sitä mukaa kun arvopaperin arvo kasvaa, kevennämme salkkuamme niin, että meillä on hallussamme kullakin ajanhetkellä k(t) yksikköä. Ideaalitilanteessa k(t) = 1, kun t < b ja k(t)=0 kun t = b, sillä myymme kaiken pois juuri ennen romahdusta.

Tehdään kuitenkin lisäoletuksia. Ensinnäkin, oletetaan että k(t) on jatkuvasti äärettömän monta kertaa derivoituva, eli että se on analyyttinen, ja että k'(t) < 0 kaikilla t > 0.  Jos lyhykäisyyden vuoksi merkitään hintaa v(t), niin kokonaiskassavirta jonka kuplan kasvun aikana ulosmitataan on integraali -k'(t)v(t) dt, missä t käy nollasta b:hen. Haluamme maksimoida tämän, mutta huomionarvoista on, että me emme voi tietää mikä b on; meidän on etsittävä sellainen muoto k(t):lle, jossa b ei esiinny lainkaan.

Eräs ystäväni ehdotti sellaista strategiaa, jossa k(t)*v(t) -- eli siis hallussa olevan arvopaperin markkina-arvo -- kasvaa kuplan mukana noin suhteessa hinnan neliöjuureen. Tällöin strategia on, että k(t) = 1/sqrt(v(t)). Tällöin -k'(t)*(v(t)) = v'(t)/(2*sqrt(v(t))), eli kassavirta on sqrt(v(b)) - 1. Jos v(t) = e^(at), kuten oletimme, niin tämä on e^(ab/2) - 1. Tällä strategialla pääsee omilleen, jos e^(ab/2) > 2, eli jos hinta ehtii nelinkertaistumaan alkuperäisestä.

Voidaanko pärjätä paremmin? Kuvitellaan strategiaa, jossa portfolion arvo pidetäänkin koko ajan vakiona, jolloin sitä mukaa kun hinta nousee, hinnanousu ulosmitataan kokonaisuudessaan. Tällöin k(t)*v(t) = 1, eli k(t) = 1/v(t), ja -k'(t) = v'(t)/v(t)^2, ja -k'(t)v(t) = v'(t)/v(t), jonka integraali on log(v(t)). Kassavirta on kokonaisuudessaan siis yksinkertaisesti ab. Tässä pääsee omilleen jos ab > 1. Tämän tulkitseminen on jo vähän vaikeampaa, mutta esimerkissämme a=2.77, jolloin b > 0,361, eli hieman yli neljä kuukautta, so. kun hinta on hieman yli tuplaantunut.

Tämä on esimerkki niinsanotun variaatiolaskennan ongelmasta. Ns. Euler-Lagrange-yhtälö on muotoa, jossa etsimme funktiota q(t) siten, että meillä on annettuna funktio L(t, q(t), q'(t)) ja etsimme funktionaalin S(q) = integraali L(t, q(t), q'(t)) dt stationaarista pistettä, eli pistettä jossa S(q + ez) < S(q) kaikilla ei-triviaaleilla funktioilla z ja pienillä e>0. Tässä ez on q:n variaatio, eli jokin pieni muunnelma q:sta. Intergaali tässä on määrätty integraali jollakin annetulla välillä; esimerkissämme se on 0:sta b:hen.

Variaatiolaskennassa on monta eri tapaa lähestyä ongelmaa, ja en nyt ala tässä niitä käsitellä. Jos kuitenkin rajoitumme eksponenttifunktioiden perheeseen, eli k(t) = e^(ct), niin k'(t) = ce^(ct), ja yleinen muoto integroitavassa funktiossa on -ce^((a+c)t), niin tulos on (hiukan hankalasti tulkittava) muotoa - c(e^(c(a+b)) - 1)/(a+b). Jos katsomme, milloin tässä pääsee omilleen, niin merkitsemällä tämän suuremmaksi kuin 1, saamme -ce^(c(a+b)) > a+b+1, mistä nyt ei tule mitään kovin kilttiä funktiota. Jos meillä on arvio a:sta ja jokin uskomus b:stä, niin voimme asettaa c:n siten, että tämä toteutuu.

En edes esitä että tällä olisi mitään todellista sovellusta. Ongelma vain on mielenkiintoinen.