Todennäköisyystehtävä.

Laadin opiskelijoille tehtävän, jota en itse osannut ratkaista vielä. Tarkoitan, että osaan kyllä teoriassa ratkaista sen, mutta se ei ole käytännössä helppoa. Asetelma on seuraavanlainen:

Meillä on tikkataulu, jonka virkaa saa tässä tehtävässä hoitaa yksikköympyrä (x,y)-koordinaatistossa, eli niiden pisteiden joukko jotka ovat korkeintaan etäisyydellä 1 origosta. Pisteet toteuttavat epäyhtälön x^2 + y^2 =< 1 (pahoittelen että käytän tätä notaatiota, yläindeksinotaatio HTML:ssä on vain liian työlästä)

Nyt, meillä on kaksi pelaajaa, "räiskijä" ja "tähtääjä". Räiskijä heittää tikkaa aina siten, että hänellä on tarkalleen yhtä suuri todennäköisyys osua mihin tahansa taulun pisteeseeen. Todennäköisyyslaskennan keinoin tämä voidaan ilmaista niin, että otosavaruus räiskijän osumapisteelle on yksikköympyrä, ja tiheysfunktio on 1/Pi. Ympyrän pinta-ala on Pii, joten tämän integroiminen ympyrän yli tuottaa 1.

Tähtääjä puolestaan heittää kohti jotakin pistettä (a,b), ja hänen osumansa on myös jakautunut pisteen (a,b)-keskiseen ympyrään siten, että tiheysfunktio f(x,y) = 2(1 - (a-x)^2 - (b-y)^2)/pi. Jokainen voi tarkastaa että kun tätä funktiota integroidaan (a,b)-keskisen 1-säteisen ympyrän yli, tulos on 1. Tähtääjän todennäköisyys osua kymppiin on paljon suurempi kuin räiskijän, koska paljon suurempi osa tähtääjän "todennäköisyysmassasta" on ympyrän keskellä -- olettaen että hän tähtää keskelle.

Pelaajat laitetaan kuitenkin pelaamaan toista peliä: Heidän tehtävänään onkin osua numeroon 1. Oletamme, että numeroita on kymmenen, ne ovat origokeskisiä ympyrän "kaistaleita" joiden leveys  on 1/10.  Kymppi on siten ympyrä, jonka säde on 1/10, kehät 9 ja 10 muodostavat ympyrän jonka säde on 2/10, jne.

Räiskijän todennäköisyys on helppo laskea, sillä se on 1 - (9/10)^2 eli 19/100. Tämä johtuu siitä, että 9/10 säteestä on numeroiden 2-10 kehiä, ja pinta-ala kasvaa neliöllisesti.

Mutta tähtääjän todennäköisyys riippuu tähtäyspisteestä. Koska ympyrä on symmetrinen, voimme olettaa että tähtääjällä on vain yksi parametri, b, joka sekin on ei-negatiivinen.

Jos tähtääjä tähtää kekselle, niin todennäköisyys on yksinkertaisinta laskea napakoordinaattien avulla, eli x = r*cos(p) ja y = r*sin(p), missä p on kulma ja r on etäisyys origosta. Tällöin pitää muistaa että pinta-ala-differentiaali on r*dr dp.  Merkitään f(r,p,b) (hiukan notaatiota pahoinpidellen) tiheysfunktiota napakoordinaateissa kun tähdätään pisteeseen b, niin saamme integraalin f(r,p,0)*r dr dp, missä r saa arvot välillä  [9/10, 1] ja p arvot välillä [0, 2pi].

Itse integraalilauseke sinänsä ei muutu, eli integroidaan edelleen f(r,p,b)*r dr dp: tä, mutta rajat valitettavasti muuttuvat, sillä kun tähtääjä tähtää ylemmäs taululla, ykköskehää jää taulun alaosassa pois mahdollisten osumakohtien joukosta.  Integraalin rajoja en ole onnistunut johtamaan täysin. Kun b = 1/10, tähtääjän ylipäätään mahdollisten osumakohtien raja koskettaa ykköskehää taulun alareunassa. Tällöin (rajalla), kun p = -pi/2, pitäisi r:n integraali olla [9/10,9/10], eli supistua kokonaan pois, sillä tuossa pisteessä alueet vain koskettavat toisiaan.

Yleisestiottaen, r:n pitäisi kulkea arvosta 9/10 arvoon max(9/10, min(1, z(p))), missä z on (0,b)-keskeisen ympyrän reuna suunnassa p. p saa puolestaan kulkea kyllä [0,2pi], koska r:n integraali menee nolliin niissä kulmissa joissa ykköskehä on osuma-alueen ulkopuolella.

En saanut tätä kuitenkaan vielä sellaiseen muotoon, jossa olisin saanut sen edes numeerisesti murjottua. Tästä pitäisi löytää se b:n arvo, joka maksimoi integraalin arvon. Kyse on jonkinlaisesta variaatiolaskennan tms tehtävästi, ja se on vahvasti ei-triviaali.