sunnuntai 5. heinäkuuta 2015

Abstraktio ja kuvaukset.

Tylsää asiaa seuraa; kirjoitan myöhemmin ruokavaliosta, mutta olin viikonlopun kiinni ensin pojan syntymäpäiväjuhlia järjestäessä ja sitten ystäväni häissä. Lastenkutsut kestivät yön yli, ja elin täytekakulla, vaahtokarkeilla, makkaralla, kanansiivillä ja kahvilla perjantaiaamusta lauantai-iltapäivään. Esiteini-ikäiset pojat viihtyvät suunnattoman hyvin, kun näille antaa projektiiliaseita ja yksinkertaiset säännöt joiden puitteissa kavereiden ampuminen tuottaa pisteitä. Vaahtomuoviammukset lentelivät pitkälle yöhön. Osaksi tästä syystä kärsin univajeesta ja myöhästyin häistä tunnin. Jaksoin sentään yhteentoista asti illalla, sillä ruoka oli hyvää.

Näiden kaikkien asiantilojen seurauksena tämän päivän treeni jää kevyeksi ja keskityn hieman eteerisempiin asioihin, kuten abstraktioon.

Minua on jo pitkään vaivannut se, miten voitaisiin esittää jokin yleinen teoria abstrahoinnista. Intuitiivisesti abstraktio on jotain mikä hävittää informaatiota ilmiöstä, ja jättää jotain "olennaista" jäljelle. Matemaattisten struktuurien välillä voidaan toki aina ajatella, että isomorfia on abstraktio joka takaa että kahdesta struktuurista voidaan valita "yksinkertaisempi" joka on isomorfinen jossakin tietyssä mielessä, mutta tämä ei oikeastaan sano mitään, koska se "tietyssä mielessä" on tämän kuvauksen ulkopuolinen asia, eikä kuvauksen parametri.

Esimerkiksi voimme toki sanoa että luonnolliset luvut on isomorfinen joukon 2,3,4,5,... kanssa, jos isomorfian täytyy säilyttää vain järjestys. Tällöin ilmaisu "vain järjestys" on leivottu sisään siihen mitä tarkastelemme, olemme abstrahoineet kaiken muun pois. Tämä karakterisointi on kuitenkin epätyydyttävä.

Voimme toisaalta ajatella homomorfismia eräänlaisena abstraktiona. Ajatellaan jäännösluokka-aritmetiikkaa modulo 3 ja kokonaislukuja. Voimme karakterisoida jäännösluokat homomorfismin f(x) avulla, missä f(x) on x:n jakojäännös luvun 3 suhteen. Tämä todella on rengashomomorfismi kokonaislukujen renkaalta jäännösluokkien renkaalle, koska f(x + y) = f(x) + f(y) pätee, samoin kuin f(xy) = f(x)f(y). Tällöin maalijoukko ja homomorfismi karakterisoivat abstraktion "luvusta on olennaista vain sen jakojäännös kolmosen suhteen", eikä tätä tarvitse sanoa erikseen vaan se on mukana kuvauksessa.

Struktuurien homomorfismi ei kuitenkaan yleisessä tapauksessa pysty vangitsemaan *kaikkea* sitä mikä on olennaista. Oletetaan esimerkiksi että haluamme abstrahoida kokonaislukuja siten että ne kuvaavat "pseudolukumääriä" (myös negatiiviisia) siten että maalijoukko tulkittaisiin "-monta, miinus yksi, nolla, yksi, monta".  Tällöin kokonaislukujen järjestetyltä renkaalta ei ole homomorfismia maalijoukolle; tämä on helppo osoittaa: Olkoon f mielivaltainen homomorfismi. On selvää, että kaikissa mielekkäissä tulkinnoissa f(5) = "monta". Samaan tapaan on selvää, että f(-4) = "-monta".  Tällöin f(5-4) = f(1) pitäisi olla "monta-monta", ja tämä selvästikään ei voi pitää paikkaansa, sillä myös f(5-5) = f(0) pitäisi olla "monta-monta", ja luvut 0 ja 1 pitäisi kuvat arvoiksi "nolla" ja "yksi", jotta abstraktio vangitsisi sen mitä pitää.

Tämän abstraktion ongelma tietenkin on se, että jälkimmäinen struktuuri, siis maalijoukko, ei itseasiassa enää ole lainkaan saman luokan struktuuri kuin lähtöjoukko, joten ei ole ylipäätään mieltä puhua homomorfismeista, vaan tarvitaan jokin kategoriateorian morfismi. Jälkimmäisessä struktuurissa yhteenlasku ei ole enää operaatio, vaan yleinen kolmipaikkainen relaatio "p", jossa pitää toimia että jos x + y = z on lähtöjoukossa, niin maalijoukosta löytyy a, b ja c siten että f(x) = a, f(y) = b ja f(z) = c ja p(a,b,c) pätee, ja toisaalta, jos on olemassa alkiot a,b,c maalijoukossa siten että p(a,b,c), niin lähtöjoukosta löytyy arvot x, y ja z siten että x+y = z. Jos leivomme predikaatin p osaksi jälkimmäistä joukkoa, niin abstraktio on morfismi f:(X,q) --> (Y,p) jolle pätee, että q(x1,...,xn) jos ja vain jos p(f(x1),...f(xn)).  Se on oikeastaan kyllä homomorfismi, mutta ainoa ero on, että vaikka q olisikin operaatio tai funktio tms, niin p ei välttämättä sitä ole.

Järjestetyille struktuureille abstraktiota vastaava rakenne on usein Galois'n kytkentä, joka on kuvauspari: jos X on "konkreettisempi" joukko ja Y on "abstraktimpi" joukko, ja < on osittaisjärjestys, niin Galois'n kytkentä on kuvauspari (f,g) siten että kun a kuuluu X:ään ja b Y:hyn, niin  f(a) < b jos ja vain jos a < g(b). Esimerkissäni Galois'n kytkentä  ei kuitenkaan oikein toimi, tämä voidaan jättää harjoitustehtäväksi.

3 kommenttia:

Kumitonttu kirjoitti...

Aivan oman ymmärrykseni äärirajoilla liikutaan, joten pakko on pyytää, että voisitko jotenkin konkretisoida maallikolle paremmin ymmärrettävään muotoon tämän dilemmasi. Se vähä mitä ymmärsin oli todella mielenkiintoista, mutta asiantuntemattomuuteni jäi koukuttamaan todella pahasti.

Et muuten enää kommentoi politiikkaa ollenkaan. Olisi kiva kuulla siitäkin jotain, koska mielipiteesi ovat olleet kiinnostavia, vaikka emme olekaan olleet monista asioista samaa mieltä.

Tiedemies kirjoitti...

Tämä dilemma on oikeastaan vain siinä, että jos monimutkainen teoria kuvataan yksinkertaisemmaksi teoriaksi, niin menetetään väistämättä yksikäsitteisyys. Jos monimutkaisessa teoriassa asioilla on funktionaalinen riipuvuus, tyyliin tilanteesta X seuraa tarkalleen Y, niin abstraktimmassa teoriassa se, mikä edustaa tilannetta X, voi edustaa myös tilannetta Z josta seuraisi vaikkapa U.

"Hyvä" abstraktio on sellainen, jossa siitä, että X:llä ja Z:lla ei ole "eroa", seuraa myös se, että Y:llä ja U:lla ei ole "eroa". Matemaattisilla struktuureilla ei välttämättä voida esittää tällaisia abstraktioita; esimerkiksi renkaiden (se on sellainen jossa on yhteen- ja kertolasku) homomorfismit -- jotka ovat kuvauksia jotka säilyttävät "olennaisen" yhteen- ja vähennyslaskuista -- eivät pysty ilmaisemaan sellaista abstraktiota kuin "yksi vs monta" yksikäsitteisesti.

En ole kommentoinut politiikkaa pitkään aikaan, koska en jaksa seurata sitä. Kommentoin sitten kun jokin herättää minussa mielenkiinnon. Muutoinkin pidän blogiani ylipäätään asioista jotka kiinnostavat ja juuri nyt politiikka ei kiinnosta tippaakaan.

Gc kirjoitti...

Minua taas ei ole kiinnostanut matematiikka enää pitkään aikaan :D Mutta yksi tähän liittyvä asia jäi kiinnostamaan, nimittäin kategoriateoriasta luonnollisen isomorfismin käsite. Muutenkin tuntuu että juuri kategoriateoria käsittelee nämä abstraktointiasiat paremmin kuin joukko-oppi. Esimerkiksi vektoriavaruus ja sen duaali ovat isomorfisia, mutta eivät luonnollisesti isomorfisia.