keskiviikko 7. heinäkuuta 2010

Tämä teksti alkaa sanalla "tämä".


Itseviittaavuus oli jonkinlainen tosi iso juttu, populaarikulttuuriin se ui viimeistään 80-luvulla tv-sarjan Konnankoukkuja kahdelle myötä. Itseviittaavuus on myös taustalla käytännössä kaikissa matemaattisissa paradokseissa. Aiheesta kirjoitti Juho jonkin aikaa sitten.

Toisin kuin makkaratukat, mystikot ja muut aivonsa huumeilla pilanneet tuntuvat usein kuvittelevan, itseviittaavuudessa ei ole mitään maagista, se ei kerro mitään "todellisuudesta", eikä se aseta mitään fundamentaalisia rajoituksia matematiikan soveltamiselle. Se asettaa toki rajat sille, millaisia äärellisiä ilmaisuja voidaan esittää, mutta tämä on eri asia. Sivuan problematiikkaa tässä.

Klassisin paradokseista on Russelin paradoksi, joka voidaan muotoilla myös parturin paradoksina: Kylässä on miespuolinen parturi. Kaikkien miesten parrat leikataan. Parturi leikkaa parran tarkalleen niiltä miehiltä, jotka eivät leikkaa partaa itseltään. Kuka leikaa parturin parran?

Tämä näyttää jotenkin mystiseltä ja erinomaisen hienolta, ja voin jo kuvitella, kuinka joku julistaa miten "looginen ajattelu on niin rajoittunutta". Formaalisti ajateltuna tässä ei oikeastaan ole mitään ihmeellistä. Predikaatti "leikkaa itse oman partansa" on otettu määriteltynä, vaikka se ei olekaan; Parturin parranleikkuut yritetään sitten määritellä tällaisen kelluvan määritelmän avulla. Riippumatta käytetystä formalismista, tässä on kyse vain siitä, ettei rekursiivisella funktiolla "parturi leikkaa X:n parran" ole kiintopistettä. Big deal.

Yleisemmin ongelma on mitätön ilmaisuvoiman rajoitus. Jos negaatio tai komplementti sallitaan rekursiivisen määritelmän sisällä, ei kaikilla rekursiivisilla määritelmillä ole kiintopistettä. Esimerkiksi BNF-määritelmälle ei voi yleisessä tapauksessa määritellä komplementti-operaatiota, joka olisi toteutettavissa BNF:n itsensä avulla. Tämä ei ole mitenkään yllättävää, sillä BNF:lle on hyvinmääritelty semantiikka ja toisaalta määritelmät ovat rekursiivisia.

Formalismin ideana on pitää kaikkea matematiikkaa vain merkkijonojen säännönmukaisena manipulaationa, vailla "sisältöä". Tämä käsitys on sinänsä mielekäs, mutta se on vajaa. Toisaalta platonismi, jonka mukaan matemaattisilla struktuureilla on jokin "korkeampi" olemisen ja olemassaolon muoto, on ainakin minusta käsittämätön, ts. järjetön, vailla mieltä.

Matemaattinen struktuuri on mielekäs, jos meillä on sille mielekäs tulkinta, eli mielekäs semantiikka. Tällä tarkoitetaan vain jotakin "tunnettua" struktuuria, jonka palasina ja johdannaisina määritelty struktuuri voidaan ymmärtää. Historiallisesti mielekkäistä semantiikoista on ollut paljon kiistoja. Jotkut kiihkomielet ovat esimerkiksi pitäneet ainoana mielekkäänä semantiikkana kuvauksia luonnollisille luvuille. Onneksemme esimerkiksi sähköinsinöörit eivät ole tällaisesta kuulleet, vaan ovat esimerkiksi käyttäneet kompleksilukuja.

Kun vaadimme jokaiselle formalismille mallin, ongelmamme vähenevät. Mystikot, makkaratukat ja kaikenlaiset taivaanrannanmaalarit toki edelleen kiinnostuvat itseviittausten avuilla aikaansaaduista muotovirheistä. Ja toki ne ovat hauskoja. Mutta ne muuttuvat lopulta tympeiksi samaan tapaan kuin jokainen amerikkalainen vitsi alkaa aina "Pappi, rabbi ja kumiankka", ja päättyy "Ja kameli vastasi: Hanki oma tyttöystävä". Välissä ei ole mitään muuta kuin iso aukko, jonka me täytämme mielikuvituksemme tuotteilla, haihattelulla. Se on kuin talo, jonka piirrustuksissa on tällaiset seinät. Tai tietokone-ohjelma, joka kaatuu tai jää ikuiseen silmukkaan.

Jokaisessa formalismissa on sama ominaisuus: Semanttisesti mielekkäiden ilmaisujen joukko on pienempi kuin syntaktisesti oikeannäköisten ilmaisujen joukko. Jos näin ei olisi, ei periaatteessa olisi mielekästä tehdä eroa syntaksin ja semantiikan välillä lainkaan. Se, että emme mieti semantiikkaa valmiiksi, on ihmisen aivojen ominaisuus.

Toinen asia on sitten se, että teoriassa formaalilla ilmaistavuudella on rajat. Nämä rajat ovat kuitenkin aivan tavattoman löyhät ja laajat. Jokainen väittämä, tyyliin "matematiikka ei riitä asian X ilmaisemiseen" tai sen variantti "binäärinen logiikka on liian rajoittunutta asian X ilmaisemiseen", on tyhmä. Se on tyhmä siinä merkityksessä kuin tätä pejoratiivia käytetään arkikielessä, so. vähä-älyinen, tietämätön, perustelematon, huolimaton, harkitsematon ja epäasiallinen.

Ps. Sain kotiin jonkinlaisen nettitikun väliaikaisratkaisuksi. Lupasivat useamman megan 3G-verkosta kaistaa, mutta nopeus on aneeminen, pikemminkin parisataa kilobittiä ja lisäksi mötikkä kuumenee aivan järjettömästi käytössä. Onneksi saan palauttaa sen kahden viikon sisällä, minkä teenkin, viimeistään sitten kun ADSL alkaa taas toimia.

21 kommenttia:

Otso kirjoitti...

Ps. Sain kotiin jonkinlaisen nettitikun väliaikaisratkaisuksi.

Mietinkin, että kovin pian poissaoloilmoituksen jälkkeen alkoi tekstiä ilmaantua enemmänkin kanssa.

Itselläni on myös nettitikku, joka tuli ADSL-diilin kylkiäisenä tarjouksessa, mutta itse asiassa en ole sitä käyttänyt kertaakaan. Broidilla se oli pari kuukautta remontin katkaiseman netin korvikkeena ja muulloin naisella luentonettailukäytössä. Ei siis turha vehje ollenkaan, mutta ei kyllä korvaa ADSL:ää.

Niin, ja itseviittauksilla luodot paradoksit ovat juurikin hauskoja. Ehkä minussa on kohtuullinen osa taivaanrannanmaalaria, kun jaksan aina viehättyä niistä.

Merkitystähän niillä ei toki ole kuin merkkeinä formalismin väärinkäytöstä ja vihjeinä sen ilmaisuvoiman rajoista. Jos formalismin rajat ymmärretään jo, eivät ne enää kerro mitään uutta.

Utumies kirjoitti...

The world is but a stage, sanoo Elviskin. Oletko lonesome tonight, Macbeth? Furious anger. Väliaika.

Tiedemies kirjoitti...

Olen kotona väijymässä futista illalla. Tule käymään. OPM.

Juho kirjoitti...

Jokainen väittämä, tyyliin "matematiikka ei riitä asian X ilmaisemiseen" tai sen variantti "binäärinen logiikka on liian rajoittunutta asian X ilmaisemiseen", on tyhmä. Se on tyhmä siinä merkityksessä kuin tätä pejoratiivia käytetään arkikielessä, so. vähä-älyinen, tietämätön, perustelematon, huolimaton, harkitsematon ja epäasiallinen.

Tällainen ilkamointi johtunee jonkinlaisesta matematiikkaan kohdistuvasta ahdistuksesta ja sivistymättömyydestä, joka on vihdoin löytävinään purkautumiskanavan. Ilmiöhän on yleinen kaikenlaisessa fanittamisessa ja dissaamisessa.

Oikeastaan minäkin koen matematiikan hieman ahdistavaksi, ja ehkä minunkin kirjoituksessani oli ripaus ilkamointia.

Juho kirjoitti...

Itseviittaavien paradoksien tympeydestä olen muuten eri mieltä. Joukossa on sellaisia, jotka jaksavat kutkuttaa ainakin minun mieltäni, kuten Curryn paradoksi.

Kari Visala kirjoitti...

TM: "Jokaisessa formalismissa on sama ominaisuus: Semanttisesti mielekkäiden ilmaisujen joukko on pienempi kuin syntaktisesti oikeannäköisten ilmaisujen joukko. Jos näin ei olisi, ei periaatteessa olisi mielekästä tehdä eroa syntaksin ja semantiikan välillä lainkaan."

Tarkoitatko tyypittyviä ilmaisuja semantiikan sijaan yllä? Siis jos meillä on vaikka syntaksi, joka sallii eri mittaisia merkkijonoja "a"-kirjainta:

::= "a" | ++ "a"

Niin voidaanhan näille antaa helposti erilaisia semantiikkoja. Esimerkiksi jonossa olevien a-kirjainten määrä voidaan tulkita kassissa olevien omenoiden määräksi tai vaikkapa tietokoneohjelman koodaukseksi jne., vaikka kaikki syntaksin sallimat merkkijonot saavat merkityksen molemmissa tapauksissa. (Tietenkin jos semanttinen domain on suurempi kuin syntaksin sallimien ilmaisujen joukko, niin sitten niitä ei voi kaikkia ilmaista ko. syntaksilla.)

Paradokseista puheenollen, jotkut ovat yrittäneet kokeellisesti tutkia, voiko "isoisänsä tappaa ennen syntymäänsä"-aikamatkustusparadoksia:

http://arxiv4.library.cornell.edu/pdf/1005.2219v1

(juu, en tiedä kuinka huuhaata tuo on :) )

Utumies kirjoitti...

...

Ei pysty. Lunttasin kässäriä jo tunteja sitten ja siellä luki että ilta vieraalla maalla kaukaana.

Mikko kirjoitti...

Jonkin verran mystiikkaan viime aikoina perehtyneenä väittäisin, että "todelliset" mystikot, joita on historiassa melko vähän, eivät koskaan sanoisi, että "matematiikka ei riitä asian X ilmaisemiseen". Asia on luultavasti jopa täysin päinvastoin. Mystiikkaan liittyy paljonkin numerologiaa.

Esimerkiksi Pythagoras, nyt varsinkin oli mystikko joka initioitui suureen määrään esoteerisia uskontoja ympäri lähi-itää. Pythagoraan uskonnonharjoittajien nimi oli mathematikoi. Nämä olivat muuten vegaaneja ja oppilaita opetettiin verhon takaa. Joka tapauksessa Pythagoraan uskonnossa numerot kuten 1 ja 10 olivat pyhiä.

Markku kirjoitti...

Nämä olivat muuten vegaaneja ja oppilaita opetettiin verhon takaa. Joka tapauksessa Pythagoraan uskonnossa numerot kuten 1 ja 10 olivat pyhiä.

Kaikenlaisia leikkejä ihmiset leikkivätkin kääntääkseen huomionsa toisaalle ahdistuksestaan.

Panu kirjoitti...

Matematiikan ja luonnontieteiden oppimisvaikeuksiin on tosiaan usein syynä ahdistus, koska monet niihin liittyvät asiat ovat intuitionvastaisia. Esimerkiksi se, että kompleksilukuja voidaan hyödyntää teknisesti, on monille nimenomaan suhteellisen rationaalisille ihmisille niin vaikeasti maailmankuvan vastaista, että sen liika funtsiminen vaarantaa mielenterveyden. Rohkenen jopa olla sitä mieltä, että "matemaattisessa lahjakkuudessa" on oleellista sellainen luonne, joka ei ahdistu tämäntyyppisistä asioista.

Markku kirjoitti...

Matemaattiseen lahjakkuuteen kuuluu ilman muuta osatekijänä, ettei reagoi liian tunteenomaisesti ja takertuen intuitioonsa eli ennakkoluuloihinsa. Tähän kuuluu sekin, että jos homma ei etene, ei saa jäädä hakkaamaan päätä seinään vaan pitää osata peruuttaa ja katsoa rauhassa asiaa toisesta näkökulmasta. Samaa luonteenpiirrettä voi hyödyntää vaikkapa hajonneen traktorin vaihteiston korjaamisessa.

Tiedemies kirjoitti...

Niin, intuitionvastaisuus on katsojan silmässä, tai oikeastaan intuitiossa. Esimerkiksi minusta ei ole ollut koskaan vaikeaa hyväksyä, että mitä mielikuvituksellisimmilla konstruktioilla on hyödyllisiä sovelluksia.

Ehkä kyse tosiaan on enemmän temperamentti- tai persoonallisuuskysymyksestä kuin varsinaisesti mistään muusta lahjakkuudesta. Sivumennen sanoen, en ole koskaan ollut mikään wunderkind matematiikassa. En ollut lukiossa edes - ainakaan koemenestyksellä mitattuna - luokkani paras matematiikassa. Koska luokalla oli kolmisenkymmentä oppilasta, on melko varmaa, että kuulun "lahjakkuuden" osalta korkeintaan ns. top-kymmeneen prosenttiin, mahdollisesti ainoastaan kahteenkymmeneen.

Markku kirjoitti...

Ehkä kyse tosiaan on enemmän temperamentti- tai persoonallisuuskysymyksestä kuin varsinaisesti mistään muusta lahjakkuudesta.

Varmaa on, että kyse on muustakin. Sopiva temperamentti on varmasti yksi perusedellytyksistä mutta raaka kognitiivinen kyvykkyys on varmasti toinen puoli asiasta. Oikeanlainen temperamenttikaan ei auta, jos ei vain hahmotu.

Gc kirjoitti...

Ainoa asia mikä yliopisto matematiikassa oikeasti merkitsee on tutkimuspotentiaali. Esimerkiksi päästääkseen jatko-opintoihin joissain huippuyliopistossa tämä on se asia mikä pitää pyrkiä osoittamaan. Siksi kaikenlaiset suosituskirjeet ovat niin suuressa roolissa. On olemassa tyyppeä paljon tyyppejä joilla on ollut täydelliset arvosanat, mutta jotka ovat epäonnistuneet täysin tutkimuksessa, eivätkä ole julkaisseet lyhyehköksi jääneellä urallaan yhtään mitään. On tietysti totta, että suhteellisesti suurempi osa tutkijoista suunnilleen aina kuuluu ylempään arvosana portaaseen, mutta tämä on näin sanoaksemme vain korrelaatio.
Lisäksi tentissä on aikaraja, joten jos keskittymiskyky ei ole huippuluokkaa, tässä selvästi antaa toisille paljon tasoitusta.
Ei kannata tuijottaa epäolennaisia mittareita matematiikassa menestymiseenkin, kun oikeasti merkitseviäkin mittareita on. Suomessa joku proffa sanoi, että hänestä parhaat tutkijat tulevat usein niistä, joilla ei ollut aivan kaikista parhaat arvosanat.

Mikko kirjoitti...

Markku: Kaikenlaisia leikkejä ihmiset leikkivätkin kääntääkseen huomionsa toisaalle ahdistuksestaan.

Tuolle on helppo nauraa meikäläisten näkökulmasta, mutta kun kaivaa pintaa syvemmältä, näkökulma on kiinnostava.

Oma tulkintani on, että pytharoralaisten mukaan esim. ihmisten ajattelu pohjautuu muutamiin stereotypioihin, joita yhdistellään eri tavoilla. Nämä numerot sitten edustavat näitä stereotypioita, eli ne eivät ole pelkästään satunnaisia abstrakteja symboleita asioille.

Esimerkiksi Jung päätyi samanlaisiin ajatuksiin viimeisinä vuosinaan (luonnolliset luvut vastaavat arkkityyppejä, ja siksi matemaattinen intuitio on mahdollinen). Viitteitä mystiikkaan löytyy myös useilta kuuluisilta matemaatikoilta.

Lokki kirjoitti...

"Paradokseista puheenollen, jotkut ovat yrittäneet kokeellisesti tutkia, voiko "isoisänsä tappaa ennen syntymäänsä"-aikamatkustusparadoksia"


Loogisin selitys aikamatkustajan paradoksille jonka keksin on se, että "matkustettaessa ajassa" oikeastaan vain manipuloitaisiin universumin muodostumisketjua asettamalla tiettyyn ajankohtaan ja paikkaan olio, joka on identtinen myöhemmin kausaali- ja kvanttiketjussa olleen olion kanssa.

"Isoisäparadoksi" on tyhmien ihmisten versio tästä. He eivät ymmärrä, että on aivan sama menetkö menneisyyteen ampumaan isoisäsi vai vain kävelemään pellolla - kumpikin on materiaalisen eli ainoan olemassa olevan maailman manipulointia.

Jos aikaa vain "edetään", ja se on tosiasiallisesti ollut vakaa "aina" (kieli on ikävästi sidottu aikamuotoihin), ei aikamatkustusta prosessina oikeastaan ole - tietynlainen kasa materiaa syntyy fysiikan lakeja väistellen, ja myöhemmin ketjussa samanlainen kasa häviää taaskin fysiikkaa rikkoen.

Tällöinkään isoisäparadoksi ei tuo mitään lisää aikamatkustajan paradoksiin - aikamatkustaja tekee menneisyydessä sitä mitä tekee eikä mitään muuta. Personifioinnin sijaan asia kannattaa yksinkertaistaa abstraktilla aikajanan manipuloinnilla.

Toisaalta jos maailmaa todellakin hallitsee kvanttien todennäköisyysfunktio, ei maailma ole voinut olla "aina" olemassa, vaan se on rakentunut edetessään. Se on kuin, jonka seinät on suunniteltu kun lattian ollessa valmis.

Jos aikamatkustus on tässä tapauksessa mahdollista, "voi" tietenkin tappaa vaikka itsensä lapsena, eikä siitä seuraa mitään (se riippuu siitä, tappaako itsensä lapsi-version vai ei). Aikamatkustaja "syntyi" tullessaan Terminator-pallon sisällä alastomana – ”vanha menneisyys” on jo kuollut.

Mielenkiintoisempaa sen sijaan on kysymys siitä, mitä aikamatkustajan aikakaudelle tapahtuu aikamatkustuksen yhteydessä; jääkö ”vanha tulevaisuus” elämään hännättömänä vai luhistuuko se?

Olkoot kolme ajanhetkeä 1, 2 ja 3. Ajanhetkestä 3 manipuloidaan ajanhetkeä 1. Tämän jälkeen ei ole mitään, mistä ajanhetki kaksi olisi muodostunut. Häviääkö siis ajanhetki 2 (ja 3)? Riippuu siitä, ajatellaanko ajanhetkien muodostavan korttitalon vai jälkipolvia, eli tarvitsevatko myöhemmät osat aiempia ollakseen olemassa.

En äkkiseltään keksi mielekkäitä argumentteja kummankaan tueksi.

Lokki kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Lokki kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Lokki kirjoitti...

(Triplat)

Petteri kirjoitti...

Nyt täytyy kysyä, onko Tiedemies (Brouwerläinen) konstruktionisti vai jopa (Jaynesläinen) finitisti.

Tiedemies kirjoitti...

Nyt täytyy kysyä, onko Tiedemies (Brouwerläinen) konstruktionisti vai jopa (Jaynesläinen) finitisti.

En kumpaakaan. Olen jonkinlainen formalisti, so. matematiikka on symbolimanipulaatiota. Mutta en pidä mielekkäänä väittää, että matematiikka ei ole mitään muuta. Kysymykseen "mitä muuta?", voidaan toki kontekstista riippuen antaa erilaisia mielekkäitä vastauksia.