perjantai 10. heinäkuuta 2009

Epätarkka hypoteesi.

Nopeasti havainnoiden olen tullut johtopäätökseen, että jos ihminen ei ole opiskellut koskaan matematiikkaa tai sitä sivuavaa alaa, hänellä on paljon pienemmällä todennäköisyydellä jotain mielenkiintoista sanottavaa. Epäilen, että kausaalinen selitys menee jotenkin toisin, mutta käytännössä sillä ei ole väliä.

Tämä tuntuu toimivan myös kirjailijoiden kohdalla, joskin heikommin.

37 kommenttia:

Mikko kirjoitti...

Kiinnostavaa, mistä tämä tuli mieleesi?

Tiedemies kirjoitti...

En oikein tiedä pidemmältä aikaväliltä, minusta on jo vuosia tuntunut tältä. Akuutimmin ajatus nousi taas, kun huomasin kuinka paljon parempi kirjailija Vinge on verrattuna Simmonsiin (Tosin en tiedä, onko Simmons opiskellut matematiikkaa).

H-Baari kirjoitti...

Medeis ageometretos eisito.

Mikael Maaton kirjoitti...

H-Baari: Niin ja runoilijat piti kai teljetä ihanneyhteiskunnan ulkopuolelle.

Matematiikka ainakin antaa tietyn arvoista vapaan keinon osoittaa Totuus.
Samoin siinä on suhteellisen kiinteä symbolijärjestelmä.

Itse olen ollut huomaavinani, että matemaatikot ovat poliittisissa kannanotoissaan kärkevämpiä.

No, matematiikan kyvylle jalostaa ajattelua voi keksiä monia perusteita, mutta ehkä matematiikan luonne kyetä rakentamaan "eheitä todisteluketjuja"
edesauttaa taipumusta rakentaa pitkälle meneviä ajatuksia ilman, että matkan varrella kompastuu kyseenalaistamaan niitä.

Omaa ajattelun kömpelyyttäni todistelee, etten uskonut, että kukaan voisi sanoa ääneen "sosialistinen libertarismi", ennenkuin totesin wikipediasta, että joku on puhunut siitä n. 1960 -luvusta lähtien. (Hänkin oli kielitieteilijä.)

Tai ehkä paremmin, en oikein osannut änkyttää vastaavia ajatuksiani äänekkäille libertaristi-matemaatikoille.

Markku kirjoitti...

Chomsky ilmeisesti preferoi vallankäyttöä, joka on "up close and personal" eikä mitään brutalisoivaa institutionaalista vallankäyttöä. Ainakin minä valitsen mieluummin institutionaalisen vallankäytön kohteeksi joutumisen, vaikka sitten väärinkäytön, kuin sen, että joku paskiainen käyttää valtaansa meikäläiseen ja naureskelee tyytyväisenä. Persoonattoman byrokratian väärinkohtelemaksi joutuminen on jotenkin paljon vähemmän häpeällistä kuin jonkun toisen yksilön kaltoinkohtelemaksi joutuminen. Henkilökohtainen vittuilu on aina pahempaa kuin yleinen vittuilu. (Tämä on sukua sille, että ihmiset alistuvat mieluummin Jumalalle kuin Yhteisölle, vaikka käytännössä Jumala ja Yhteisö ovat aivan ekstaktisti yksi ja sama asia.)

Tiedemies kirjoitti...

Tähän ei liity mitään eksplisiittistä karsintakriteeriä. Useimmat ihmiset eivät koskaan opiskele mitään kovin matemaattista, mutta monilla sellaisilla on paljon mielenkiintoista asiaa.

Chmosky on teräväsanainen ja jyrkän antiautoritaarinen. En oikeastaan ole kovin kiinnostunut Chomskyn poliittisista kannanotoista - olen niitä muutamia lukenut, eivätkä ne ole erityisen vakuuttavia - mutta miehessä on jotain tavattoman sympaattista. Se, että häntä inhotaan sekä oikeiston että vasemmiston parissa, on jotenkin virkistävää.

Panu kirjoitti...

Chomsky jos kuka on ylikansallinen brändi. Pidän kunnia-asiana olla lukematta hänen jorinoitaan. Kielitieteen puolellakin hän on pikemminkin häiriöksi.

Mikael Maaton kirjoitti...

Markku: Häpeä on subjektin statuksessaan, roolissaan ja toimintamahdollisuuksissaan kokema masennustila. Syndikalistisessa jaksotuksessa kyse on enemmän, mihin toimijoihin sinulla on yhteys -- millaisia mahdollisuuksia sinulle tarjoutuu. Itse olen ikuinen välineagnostikko, mutta tässä kohti verkolla saattaa olla rooli markkinoiden avaamisessa.

En mitenkään erityisesti kannata valtion alasajoa, mutta valtion ja yksilön välisissä velvoitteissa olisi aika uusjaolle. Keskeisesti yhteiskuntajärjestyksen tulee voimallisesti keskittyä eri toimijoiden välisen vallan hillitsemiseen.

Kirosanojesi kohdalla hieman eksyin, mutta jos tarkoitat, että et halua, että työtön joutuu siivoamaan it-työläisen kotivessaa henkensä pitimiksi, niin siihen suuntaanhaan tässä ollaan menossa. Mutta jos meillä on järjellinen perustulojärjestelmä ja tarjolla on riittävästi muita tekemisen vaihtoehtoja, niin it-työläinenkin saa opetella käytöstapoja.

Tämä on tietysti vähemmän kuin viitteellistä, enemmäin kuin utooppista ja liittyy hyvin vähän matematiikkaan, mutta ehkä abstraktion taso on oikeutettavissa alkuperäisen otsikon ja META -tagin kannustamina. Ja kun kerran aloitin.

Panu: Tiedemies sanoikin sen minusta jo hyvin: ikoni, mutta sympaattinen ikoni. Hän hieman kuin toimii omana kuvainkaatajanaan. Ihailtavaa!

Onnistuin flunssatoipilaana pääsemään kirjastoon ja poimimaan Jeremy Rifkinin "Työn Loppu" -kirjan. Katsotaan onko siitä mihinkään. Hauska huomata että Ahtisaari on kirjoittanut siihen esipuheen. Vaikka hieman karsastankin käsitettä kolmas sektori; kun ei I ja II kelpaa.

PS. Vaikka aika- ja tilasyistä välttelinkin käteentuntuvien täkyjen tarjoamista, tein jatkokeskustelua varten Markulle kaatopaikan. Pidetään Tiedemiehen seinät siisteinä. :-)

IDA kirjoitti...

Itse arvostan Chomskyä vain sen takia, että hän on jaksanut MIT:ssä. Poliittisille mielipiteille en laita paljoakaan arvoa.

Luulen, että tuo matematiikan ja kirjallisuuden yhteys on geometrisoinnissa, eikä sillä loppujen lopuksi ole yhteyttä varsinaisen matematiikan harjoittamiseen.

Teemu kirjoitti...

Itse olen ajatellut luultavasti samaa asiaa niin että olennainen osa älyllistä kasvua on uskoa että asia on itsestäänselvästi näin, tutkia sitä, ja todeta että oma näkemys on, jossei nyt täysin väärä, niin ainakin tyhjän päällä. Tällainen älyllinen nöyryytys on olennaisin osa ja anti tieteen opiskelussa. Liike-elämän puolella osa vakuuttavaa ansioluetteloa on se että on ainakin kerran sössinyt ja kunnolla.

Tomi kirjoitti...

Kiinnostavaa on yllätyksellinen. Freakonomics ja Supercrunchers todistivat, että matematiikkaa opiskelleetkin saavat aikaan ainakin joskus jotain yllätyksellistä. Taitaa olla tulevaisuuden trendi, että tilastoista kaivetaan kaikenlaista kiinnostavaa.

Muutenhan matematiikka on tautologiaa. Mutta ymmärrän kyllä, että tautologiat ovat joistakuista kiinnostavia.

Meistä muista maailmaa ei koskaan saa vangittua matemaattiseen kaavaan. Teoriani mukaan se johtuu siitä, että maailma on kaaos, josta raukat ihmisaivot luovat hupsuja likiarvoja. Kiinnostavimmat likiarvot syntyvät humanistien päässä. Matemaattisesti suuntautuneilta tulee yleensä sitä iänikuista jorinaa "tosiasioista".

kattoratsastaja kirjoitti...

Likiarvoilla mennään vaikka kuuhun.

Tiedemies kirjoitti...

Matematiikka on tietenkin tautologiaa, mutta se on loppujen lopuksi vain teknologia, jonka avulla voimme rakentaa toimivampia koneita ja osoittaa, mitä kaikkea on tullut suljettua pois, kun jotain on oletettu.

Ei matematiikan selitysvoima perustu siihen, että todellisuus ilmaistaan matematiikan avulla tai että matematiikka on "todellisuuden kieli". Sen selitysvoima perustuu siihen, että oletukset ja sanomiset esitetään selkeästi.

Runoilijat sun muut taivaanrannanmaalarit, jotka halveksuvat matematiikkaa, ovat ymmärtäneet koko metodin idean väärin. Luonnollinen kieli ja ihmisen aivo pakkavat informaatiota häviöllisesti ja huonosti. Lisäksi aivo tekee päättelyä ilman matematiikkaa "väärin", siis se luo uusia väittämiä. Siihen perustuu aivojen käyttäminen noin ylipäätään ja siksi meidän aivomme vaikuttavat niin hyviltä selvittämään asioita: ne tuottavat uskottavia selityksiä asioihin, jotka ne ovat jo valmiiksi suodattaneet itseleen sopiviksi.

Matematiikka taas perustuu siihen, että väittämät ovat lahjomattomia, so. niiden merkitystä ei voi muuttaa omin päin miten sattuu, vaan niiden merkitys kokonaisuudessaan on se, mikä se on.

Sovelluksiin liittyy tietenkin tulkintaa, esimerkiksi mikä arvo laitetaan mihinkäkin muuttujaan, mutta kuu-esimerkki yllä oli tarkoitettu viittaamaan, näiden ongelmat ovat verraten vähäisiä verrattuna niihin tulkintaongelmiin joita on vähemmän matemaattisilla malleilla.

Sovellukset ovat aina myös epätäydellisiä, ja syitä tähän on useita. Tärkein on se, että kun realistisuuden astetta nostavia oletuksia lisätään tai parametrien määrää kasvatetaan, niin mallit tukehtuvat, niistä ei saada enää pihalle oikein mitään analyyttisiä tuloksia, so. sellaisia, jotka voitaisiin muuttaa helposti "ymmärrettäviksi" (eli sanamaagisiksi) selityksiksi.

Tomi kirjoitti...

Minä en ole koskaan opiskellut matematiikkaa. Tosin kerran opettelin ohjelmoimaan ja tein joitakin sovelluksia, jotka, kröhm, päätyivät osin kaupalliseen käyttöön.

Terminologia saattaa siis olla hiukan hakusessa, mutta joka tapauksessa olen sitä mieltä, että formaalinen logiikka ei tavoita inhimillisestä todellisuudesta kuin aivan pienen osan. "Inhimillinen" tuossa tarkoittaa, että kyllä sillä logiikalla kuuhun pääsee. Likiarvoilla.

Tuo pieni osa inhimillisestä todellisuudesta kyllä aukeaa kurinalaisesti.

Tiedän, että matemaatikot ja mitkä lie filosofit ovat kovasti yrittäneet tehdä työtä sen eteen, että logiikka etenisi muutenkin kuin kyllä--ei-logiikan kautta. Ehkä sieltä joku mullistava oivallus vielä syntyy tai on jo syntynyt, tapa "selittää" pohjimmiltaan ehkä kaoottista maailmankaikkeutta ja ihmisyyttä siinä sivussa.

Niin tai näin, siihen asti -- eli arvaten ikuisesti -- humanismi rulettaa. Mennään nääs mutu-pohjalta, runoillen, mutta sivistyneesti ja asiaan syvästi perehtyneinä.

Joku Anne Applebaum,jonka kirjaa Gulagista satun juuri lukemaan, on meikäläiselle aina mielenkiintoisempi kuin joku matematiikan kanssa sähläävä tietokirjailija. Jokunen poikkeus tosin on.

(Oletko muuten kirjoittanut feminismistä jossain? En nimittäin pidä sinua matemaattisesta taustastasi huolimatta ihan mielenkiinnottomana ja lukisin käsityksiäsi mielelläni ;-)

Tiedemies kirjoitti...

Pahoittelen, minulla on puppusuodatin, joka muuttaa kaiken tunnistamattomaksi muminaksi heti, kun joku alkaa kritisoida kaksiarvologiikkaa.

Mikael Maaton kirjoitti...

Matematiikka on ilmaisuvoimainen.

Itse tunnen matematiikkaa marginaalisesti. Arkipäivässä manailin tätä aivan oma-avusteisesti noin kuukausi sitten, kun ihmettelin itse kehittämääni muistiinpanojen lyhenne- ja symbolikäytäntöjä. Kuinka paljon parempia ne voisivat ollakaan.

Koulutus on ajattelun jalostamista ja viestinnän opettelua. Ongelmia tulee, jos käsitteistö on kovin esoteerinen.

Yhteiskunnassa on omasta mielestäni kyettävä näkemään muodostuvat tilanteet, jos ei ennakoiden, niin ainakin ymmärtäen muutosta ajassa. Suuret yhteiskunnalliset kriisit (siis ne, joissa syntyy myös hävikkinä inhimillistä kärsimystä) ovat nähdäkseni syntyneet juuri liian nopeista muutoksista.

Kannatan vahvasti myös matematiikan tutkimusta, mutta joskus mietin myös, voitaisiinko järjestää vapaaehtoisia yleissivistyksen -- eli tässä yhteydessä viestinnän -- kertausharjoituksia. Toisen vai onko se nyt sitten kolmannen asteen lukio. Muistuttaisi korkeatieteilijöitäkin nöyryydestä ja yksinpuhelu vähenisi? Tietysti jälkilukion pitäisi olla henkilötasolla räätälöity ja kaikkea sellaista, mutta utooppisesti.

Toisaalta, ehkä se on niinkin, että opiskelu on jatkuvaa ja hyvätasoiset blogitkin huolehtivat osaltaan tästä tehtävästä.

Tomi kirjoitti...

"Pahoittelen, minulla on puppusuodatin, joka muuttaa kaiken tunnistamattomaksi muminaksi heti, kun joku alkaa kritisoida kaksiarvologiikkaa."

Höpön pöpön, lue vähän filosofiaa, ettei tarvitse itseään noin julkisesti nolata. Ai että että aika-avaruuden (todennäköinen) jakamattomuus selittyy binäärilogiikalla! Luulin sinua kiinnostavammaksi. Tarkemmin ajatellen älä kerro, oletko kirjoittanut feminismistä, lakkasi nimittäin äkkiä kiinnostamasta. Vastata toki voit tähän viestiin, mutta minä en sitä lue, honey ;-) (Kaikenlaisiin törppöihin sitä tulee aikaansa tuhlattua ...vai että ... muminaa muminaa ...)

Tiedemies kirjoitti...

Näitä vuodatuksia näkee aina välillä. Nuorempana opiskelin sumeita säätöjä ja tekoälyä, siellä oli arviolta kolmannes porukasta hörhöjä, joiden ajattelu oli juuri tuollaista "kosmista humanismia". Suurin osa niistä käytti huumeita aika rajusti.

Osa ihmisistä on kiinnostuneita saduista. Siinä ei ole mitään pahaa, tietenkään, sadut ovat kivaa ajanviihdettä. Kyllä ne minuakin kiinnostavat. Ongelmallisia ovat ne satuilijat, jotka kuvittelevat puhuvansa jotain suuria totuuksia, eivätkä osaa erottaa satuja todellisuudesta.

Matematiikkaa voi tietenkin käyttää myös satujen kertomiseen.

Mikko kirjoitti...

Mikähän tekoälyssä heitä vetää puoleensa? Olen kerännyt viimeisen vuoden aikana hyllyyni tekoälyä käsittelevät klassikot eikä sieltä löydy kosmista humanismia lainkaan.

Hauskaa, että Tiedemiehen "pyhä" löytyi :-).

Tiedemies kirjoitti...

Viitannet "pyhällä" kaksiarvologiikkaan. En pidä sitä pyhänä, mutta kun joku selittää, ettei silleen niinq diggaa matikkaa, koska kaksiarvologiikka on rajottunutta ja noin, niin en yleensä viitsi kuunnella enempää.

Luulen, että se on isoksi osaksi Bart Koskon vika. Ei sillä, että Kosko itse olisi hörhö, mutta hän on kirjoittanut paljon aiheesta kansanomaisesti ja syystä, jota en käy arvailemaan, kirjojen kansikuvissa on itämaista symboliikkaa ja/tai psykedeelisiä kuvioita. Lisäksi Koskolla on se ongelma, että vaikka hänen teksteissään on paljon järkeä, niin on niissä paljon satujakin ja jos lukija ei tajua taustalla olevaa matikkaa yhtään (se on tosin aika simppeliä), ei siitä jää muuta kuin se huumehörhöily jäljelle.

(Jos joku ei tiedä, niin Kosko on kirjoittanut paljon ns. sumeasta logiikasta)

jiriki kirjoitti...

Tiedemies on oikeassa; matematiikalla voi tehdä hyviä approksimaatioita hypoteesien todistamiseen, mutta ei se minusta silti ole ainoa tapa todellisuuden kuvastamiseen tai normatiivisten väitteiden tekemiseen.

Sen sijaan minä olen taas tullut siihen lopputulokseen, että jos henkilö ei ymmärrä taloudesta jotain perusteita, hänen ei välttämättä kannata ottaa tehdä kovin vahvoja yhteiskunnallisia kannanottoja. Varsinkin keskustelu helposti jämähtää oikeisto vs. vasemmisto -juoksuhautoihin, ja ajatukset sitten kategorisoidaan näiden perustella henkilön maailmankuvan mukaan hyviksi tai pahoiksi. Taloustieteiden käsitteiden ymmärtämisellä voi rakentaa jotain realistisia raameja propositioiden seuraamuksille sekä järkeviä syy-seuraussuhteita.

--

Tutkiessani neoklassisen ja itävaltalaisen taloustieteen metodologista sotaa (positivismi vs. praksaelogia), törmäsin Walter H. Blockin ja Bryan Caplanin artikkeleihin:
http://blog.mises.org/archives/000841.asp
http://mises.org/journals/jls/19_1/19_1_5.pdf

Sinulla on tuota epistemologista ajattelukykyä, joten olisi mukava kuunnella analyysisi noista.

IDA kirjoitti...

esimerkiksi mikä arvo laitetaan mihinkäkin muuttujaan,

Aivan loistavaa tekstiä. Tässä vaiheessa tuli kyyneleet silmiin.

Tiedemies kirjoitti...

Minusta tuntuu, että käsitykseni matematiikan roolista tai selitysvoimasta ymmärretään tahallaan väärin, mutta toki kyse voi olla siitä, että olen vain huono esittämään ajatuksiani.

Matematiikka nimenomaan ei kuvaa todellisuutta, vaan se on vain käytännöllinen työkalu sen esittämiseen, mitä todellisuudesta on väitetty, kun on esitetty jokin väite.

Luonnollisella kielellä ilmaistuissa väitteissä on ongelmana se, että ne voidaan selittää uudelleen ja uudelleen, eikä jokin teoria luonnollisella kielellä esitettynä ole koskaan kovin selkeä ja ennenkaikkea sen operationalisoinnit eivät ole yksikäsitteisiä.

Luonnollisella kielellä esitetyt väittämät voivat siis lyhyesti sanottuna tarkoittaa kovinkin monia konkreettisia asioita. Se, että tätä pidetään vahvuutena, on mielestäni virhe, jossa sotketaan epätarkkuus ja epätäsmällisyys.

Epätarkkuutta on kaikkialla ja aina, mittaukset eivät ole luotettavia, useimmat teoriat ovat liian abstrakteja, eli tuottavat likiarvoja jne.

Epätäsmällisyys puolestaan on sitä, että voidaan aina väittää että on tosiasiassa sanottu jotain muuta kuin mitä muut tulkitsivat.

Palaan tuohon epistemologiaan myöhemmin. Huomautan, että minusta matematiikan käyttäminen on epistemologinen kysymys lähinnä siinä mielessä, että sillä voidaan ratkaista tietyt kommunikaatiovaikeudet ja saavuttaa päättelyssä tietty varmuus. Varsinaisia fundamentaalisia epistemologisia kysymyksiä matematiikan käyttö ei ratkaise, se vain siirtää ne lähemmäs "todellisuuden" ja teorian rajapintaa.

Markku kirjoitti...

Höpön pöpön, lue vähän filosofiaa, ettei tarvitse itseään noin julkisesti nolata. Ai että että aika-avaruuden (todennäköinen) jakamattomuus selittyy binäärilogiikalla! Luulin sinua kiinnostavammaksi.

Sumealla logiikalla todistetaan sumeita teoreemoja. Sumeista teoreemoista rakentuu sumea teoria.

Tommi Uschanov kirjoitti...

En oikein käsitä tätä vastakkainasettelua logiikan ja luonnollisen kielen välillä. Jos halutaan, että ihmiset ymmärtävät logiikan kaltaisen metakielen käyttämät käsitteet ja niiden määritelmät (niin hyvin, että niissä on heille jotain sovellettavaa), ne on kuitenkin aluksi esitettävä heille jollakin luonnollisella kielellä (tai jollakin toisella metakielellä, jonka käsitteet on puolestaan määritelty luonnollisella kielellä).

Kaikki logiikan oppikirjat, joita olen lukenut, on kirjoitettu jollakin luonnollisella kielellä, ja kaikki logiikan luennot, joille olen osallistunut, on pidetty luonnollisella kielellä. Täten välillisesti myös logiikan lauseet "voidaan selittää uudelleen ja uudelleen", aivan kuten luonnollisen kielen lauseetkin - vain jonkin verran vaivalloisemmin. Totta kai matematiikassa on voimassa implisiittinen sosiaalinen sopimus, että käytännössä niitä ei selitetä uudelleen ja uudelleen, mutta tämä on toki jo aivan toinen asia.

Tai niin kuin Alfred Tarski totesi klassisessa artikkelissaan "Truth and Proof": "the only formalized languages that seem to be of real interest are those which are fragments of natural languages (fragments provided with complete vocabularies and precise syntactical rules) or those which can at least be adequately translated into natural languages."

Kannattaa kiinnittää huomio erityisesti tuohon loppuun, koska se on itse eräs todiste luonnollisen kielen epätarkkuuden kyvystä tunkeutua potentiaalisesti kaikkialle. Jokin "adequately translated" voi nimittäin eri ihmisille eri yhteyksissä tarkoittaa aivan eri asioita - minkä olen itsekin saanut omakohtaisesti huomata ammattimaisena kielenkääntäjänä.

Tiedemies kirjoitti...

Tommi U. puhuu hieman eri asiasta kuin minä.

Luonnollinen kieli on tietysti se, jolla me kommunikoimme, ja jolle tulkitsemme useimmat ajatuksemme "luonnostaan".

Matematiikalla ei voi "ilmaista" mitään sinänsä. Se on pääosin vain lasihelmipeliä. Se, mitä voidaan tehdä, on kaventaa rajapintaa epätäsmällisen ja täsmällisen välillä. Formalisoimalla - ja se, mitä formalisoidaan, täytyy tietenkin jotenkin sopia, ja sopiminen tehdään yleensä luonnollisella kielellä - jokin sopiva rajapinta, kaikki se, mitä teoria ilmaisee tämän rajapinnan formaalilla puolella, on yksikäsitteistä.

Logiikan tms. ilmaisuvoima perustuu nimenomaan tähän. Ei siihen, että "todellisuus" on jollain tavalla kytköksissä matematiikkaan tms, vaan siihen, että kun sopimukseen on päästy, voidaan olla täysin yksimielisiä siitä, mitä teoria sanoo.

tommi kirjoitti...

Itse näkisin niin, että logiikan ja matematiikan ilmaisut tietenkin periaatteessa kuuluvat luonnolliseen kieleen.

Ne ikäänkuin poimitaan kaikkien mahdollisten ilmaisujen joukosta sillä perusteella, että ne ovat yksikäsitteisiä eikä niillä ole sivumerkityksiä.

Sellaiset ovat tietenkin useimmiten simpppeleitä ja jopa triviaaleja, mutta niillä on se etu, että niistä voidaan sitten rakentaa loputtoman pitkiä ja monimutkaisia rakennelmia. Asia, mikä tavallisen luonnollisen kielen tapauksessa olisi täysin absurdia.

Normaalipuheessa yleensä viimeistään kahden tai kolmen päättelyn jälkeen jälki pitää siivota ja määritellä uudelleen jos kielellä ja ajattelulla halutaan saavuttaa jotain hyödyllistä eikä jäädä ihailemaan hassuja sivumerkityksiä ja muita jänniä pointseja jota siitä on sivutuotteena syntynyt.

Gc kirjoitti...

Minä katson, että puhdas matematiikka tutkii matemaattisia struktuureja ja teorioita. Siinä moni menee hiljaiseksi, jos aletaan kysymään näiden struktuurejen ontologista statusta suhteessa esimerkiksi fyysisiiin objekteihin. Yleensäkään matematiikan filosofia harvoin käsittelee ontologiaa, vaan usein tämän katsotaan kuuluvan puhtaaseen filosofiaan. Tietysti tämä on ongelmien väistämistä, mutta ei teoreettisen fyysikonkaan ole pakko yrittää selittää todellisuuden perimmäistä olemusta, vaikka moni heistä sitä yrittääkin. Useimmat loogikot nimenomaan haluavat olla matemaatikkoja - eivät filosofeja.
Yleinen kieli missä matematiikkaa (myös suurin osa logiikkaa) tehdään on ei ole logiikka, vaan matemaattinen englanti. Tämä englanti voidaan kääntää ajan, kahvin ja vaivan kanssa ehkä tyyppiteorian kielelle ja siitä toisen kertaluvun logiikkaan ja edelleen ensimmäisen kertaluvun joukko-oppiin. Idea tässä jälkimmäisessä käännöksessä käsittääkseni, on että kun sidottuja predikaattimuuttujia sisältävä kieli puhuu predikaattien kielellä, niin ensimmäisen kertaluvun joukko-oppi puhuu predikaattien ekstensioiden kieltä. Esimerkiksi seuraava totuus kääntyy EK joukko-oppiin seuraavasti (P)(x)(y) (P(x)=P(y) <=> x = y) saadaan
(x)(y)(z)((x /in z <=> y /in z) <=> x = y) eli ensimmäinen formalisointi sanoo, että jos millä tahansa kahdella oliolla on samat ominaisuudet ne ovat samoja ja päinvastoin. Toinen sanoo, että jos mitkä tahansa kaksi oliota kuuluvat kaikkiin samoihin joukkoihin ne ovat samat ja päin vastoin. Kun jokin ominaisuus käsitetään johonkin joukkoon kuulumiseksi niin käännöksestä tulee ymmärrettävä, vaikka se ei ihan sama olekaan johtuen logiikkojen eroavaisuuksista.
Nykyään on alkanut olla 300 sivuisia todistuksia, joita on väännetty kymmenen vuotta ja joiden tarkistamiseenkin menee ainakin vuosi, ainakin Wilesin, Feithin&Thomsonin, Perelmanin todistukset. Lisäksi on eräitä todistuksia jotka ovat syntyneet kollektiivisena ponnistuksena mm.äärellisten ryhmien luokittelu, muistaakseni n.10 000 sivua. Olisi hullua niiden harvojen ihmisten jotka näitä todistuksia ymmärtävät alkaa laittaa effortia näiden todistusten saattamiseksi formaaliin joukko-oppiin. Muutenkaan formalisoinnilla ei katsota saavutettevan hirveän paljon, kun kerran periaattessa tiedetään että se on mahdollista.

Gc kirjoitti...

Matematiikassa ei ole tule koskaan asinatuntijoiden välillä riitaa siitä onko joku päättely pätevää. Samoin luonnontieteissä tai matematiikassa jos alkaa semantiikalla kikkailemaan kaikki kyllä huomaavat sen, ja siitä aiheutuu vain itselle vahinkoa.
Tämä johtuu siitä, että kellekään jolla on niissä piireissä merkitystä, se ei mene läpi.
Pointti ei ole koskaan pelkästään voittaa väittelyä, vaan saada jotain rakentavaa aikaan.
Yleensäkin luonnollisen kielen monimerkityksisyys voi olla merkityksellistä vain kahdella tavalla 1) x yrittää oppia mitä y hänelle opettaa, mutta jokin luonnollisen kielen monimerkityksisyys on sille haittana.
2) Joku kikkailee semantiikalla. Tällöin kyseessä on joko a) huijaus tai b) vitsi.

Tiedemies kirjoitti...

Kun puhuin yllä "formalisoinnista", niin GC varmaan ymmärsi, että tarkoitin sitä, että jokin on periaatteessa formalisoitavissa. Siis niin, että vaikka kerrotaan englanniksi tms. että mitä ollaan tekemässä, niin jokainen asiansa osaava tietäisi periaatteessa, miten se "oikeasti" formalisoitaisiin.

Sama juttu pätee kaikilla matemaattisilla aloilla, ei vain puhtaassa matematiikassa. Jokainen tietää, ettei kaikkea formalisoida.

Ainakin meillä on tapana formalisoida sen verran, että määritellään struktuurit yksikäsitteisesti. Asian pihvi on lähes aina määritelmissä itsessään. Sitten ominaisuuksia voidaan todistaa esittelemällä päättely sanallisesti. Päättelystä ei tosiaan ole yleensä mitään erimielisyyttä tästä huolimatta.

Gc kirjoitti...

Formalisointi on siinä mielessä monimerkityksinen käsite, että sekin voidaan käsittää monessa eri tasossa. Tiukasti ottaen matematiikassa vain EK-logiikassa voidaan formalisointi oikeastaan tehdä, sillä vain tällöin looginen seuraussuhde voidaan formalisoida todistuvuutena. Oikeastaan joku toisen kertaluvun logiikka sen normaalilla semantiikalla ei tietyssä mielessä paljon eroa luonnollisesta kielestä.
Ohjelmistot (käsittääkseni) ovat tietysti niin formaaleja kuin voi olla. Mutta käsittääkseni esimerkiksi kvanttikenttäteoria fysiikassa ei ole formaali teoria, eikä tiedetä miten se voidaan formalisoida. Tässä formaalilla teorialla tarkoitan aksioomattista teoriaa, niin kuin epärelativistisen kvanttimekaniikan eri formalisoinnit, yleinen suhteellisuusteoria, Lagrangen mekaniikka tai Maxwellin teoria.
Fysiikassa oli ainakin ennen tyypillistä, että puuttui ns. rigouria, mikä on todellisen formalisoinnin vaatimus. Monet esimerkiksi Einsteinin ja Heisenbergin julkaisemat päättelyt eivät itse asiassa ole ollenkaan valideja, vaikka johtopäätökset ovatkin tosia ja myöhemmin vasta oikeasti todistettuja.

Mikko kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Mikko kirjoitti...

Gc: Muistelisin matematiikasta, että vaikka päättelyistä ei tulekaan riitaa, jotkut tavat päätellä tuntuvat matemaatikoista intuitiivisesti ikäviltä ja niitä vältellään mahdollisuuksien mukaan, esimerkiksi ristiriidan kautta todistaminen.

Kysymys siitä mikä on matematiikan, fysikaalisen maailman ja mielen rakenteen välinen suhde on kiinnostava. Kun asiaa penkoo, se ei ole välttämättä niin triviaali kuin äkkiseltään kuvittelisi. Esimerkiksi monet matemaattiset "innovaatiot" syntyvät ensin intuitiivisesti, jonka jälkeen niille kehitetään todistus.

Tämä tarkoittaa, että matemaatikoilla on oltava alitajuinen intuitiivinen kyky tehdä matemaattista päättelyä, joka on rationaaliseen päättelyyn nähden ylivoimaista.

Yksi selitys tälle voisi olla, että matemaattiset käsitteet korreloivat jotenkin erityisen hyvin sen kanssa miten tieto jäsentyy "alitajunnassa", mutta heikommin sen kanssa miten tieto jäsentyy rationaalisessa tajunnassa.

JJ kirjoitti...

Philosophy, Physics, Mathematics - “Dangerous Knowledge”

Gc kirjoitti...

Useimmat matemaatikot eivät vastusta ristiriidan kautta päättelyä. Tämä päättely perustuu yleisessä muodossaan kolmannen poissuljetun lakiin ja on kehitetty logiikkoja joissa kolmannen poisuljetunlaki ei ole validi, tunnetuimpana intuitivistinen logiikka. Hyvin selkeä vähemmistö matemaatikkojen joukossa on intuitionisteja tai konstruktionisteja, mutta aika monet merkittävät matemaatikot ovat tai ovat olleet heitä, ehkäpä useampi kuin vähemmän tunnetuista ammattimatemaatikoista.

Mikko kirjoitti...

Gc: En sanonut että vastustaa, sanoin, että välttelee. Havainto oli peräisin joltain matematiikan professorilta, muistaakseni Differentiaali- ja integraalilaskennan ykköskurssilla. Onko meillä dataa joka osoittaisi että välttelyä on tai ei ole?

Voisiko sanoa, että intuitiiviset matemaatikot ovat ns. algebrallisia matemaatikkoja ja loogiset matemaatikot ns. analyyttisiä matemaatikoita?

Edellisiä on käsittääkseni aika paljon esim. tämän ja tämän kirjoituksen perusteella.

Gc kirjoitti...

Yleensä nimenomaan analyytikot/geometrikot ovat intuitiivisia matemaatikkoja, algebrallisen puolen matemaatikot enemmän formalistisia. Tämä johtuu tietysti että edellä mainittu on visuaalisempaa kuin jälkimmäinen.
Matematiikassa ei koskaan vältellä todistuksia, mikä olisikin hullua. Todistuksien kaunella ja informativisuuksilla on kuitenkin eroja. Joskus pidetään rumana sitä, että todistetaan esim. jotkut ehdot täyttävän luvun olemassolo, mutta ei pystytä antamaan esimerkkiä sellaisesta luvusta. Ristiriidan kautta todistettaessa voi olla, että vastaoletus jonkun tietyt ehdot täyttävän luvun tai olion olemattomuudesta johtaa ristiriitaan, mutta tämä ei tarkoita että tälläinen vastaesimerkki olisi välttämättä samalla pystytty konstruoimaan.
Muuten, mikä sinusta voisi olla perusteena sille, ettei ristiriidan kautta todistus voisi olla aina paras mahdollinen ratkaisu?